安徽省黄山市2020届高中毕业班第二次质量检测数学（理科）试题（解析版）.doc

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12个小题）1已知集合Ax|x26x+50，Bx|y=x-3，AB（）A1，+）B1，3C（3，5D3，52若复数z满足（z1）（i1）i，则z对应的点在第（）象限A一B二C三D四3已知log5a=25，b15=25，(25)c=5，则（）AabcBbacCcbaDacb4已知变量x，y满足约束条件x+y2x-2y+402x-y-40，若x2+y2+2xk恒成立，则实数k的最大值为（）A40B9C8D725已知函数f（x）的定义域为D，满足：对任意xD，都有f（x）+f（x）0，对任意x1，x2D且x1x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，则称函数f（x）为“成功函数“，下列函数是“成功函数”的是（）Af（x）tanxBf（x）x+sinxCf(x)=ln2-x2+xDf（x）exex6任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在421这个循环中，这就是世界数学名题“3x+1问题”如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N6，则输出的i（）A6B7C8D97an为等差数列，若a2019a2020-1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n（）A2019B2020C4039D40408在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲乙丙丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为39如图，角的顶点在坐标原点O，始边在y轴的非负半轴，终边经过点P（3，4），角的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tan2，则tanQOP的值为（）A2B-211C-112D-1210在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，平面过长方体顶点D，且平面平面AB1C，平面平面ABB1A1l，则直线l与BC1所成角的余弦值为（）A33B32C36D6611点F2是双曲线C：x29-y23=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：txy+t20与直线l2：x+ty+2t10的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为（）A8B53C9D6312设函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且x（0，+），f（f（x）ex+x）e若不等式2f（x）f（x）3ax对x（0，+）恒成立，则a的取值范围是（）A（，e2B（，e1C（，2e3D（，2e1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13（x+2）9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9，则a1+a2+a9 （用数字作答）14已知函数f（x）=x，x1log2(x-1)，x1，则函数yf（f（x）1的所有零点构成的集合为 15在ABC中，D为AB边的中点，C90，AC4，BC3，E，F分别为边BC，AC上的动点，且EF1，则DEDF最小值为 16已知点A（0，4），抛物线C：x22py（0p4）的准线为1，点P在C上，作PHl于H，且|PH|PA|，APH120，则抛物线方程为 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分17已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，且bcosC+3bsinC-a-c=0（1）求B；（2）若b2，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求ABC的面积18如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中BAD120，AECF，CF平面ABCD，AE=33，CF=3（1）求证：平面BDE平面BDF；（2）求二面角DEFB的大小19已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，PF1F2面积的最大值为4（1）求椭圆的方程（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆上任意一点，直线MC、MD分别交x轴于E、F，且满足AE2+BF2AB2，求证：AB2AD20在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为456P0.4ab其中0a1，0b1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），（i）设X5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；（ii）设某数列xn满足x10.4，xna，2xn+1b，若a0.25，求n的最小值21已知函数f（x）exa（x+1）（aR）（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）当a1时，不等式f（x）kx1n（x+1）在0，+）上恒成立，求实数k的取值范围选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosy=3sin（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin(+4)=22，且在极坐标下点P(1，2)（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知实数x，y满足x+4y2（1）若|1+y|x|2，求x的取值范围；（2）若x0，y0，求4x+1y的最小值参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）1已知集合Ax|x26x+50，Bx|y=x-3，AB（）A1，+）B1，3C（3，5D3，5【分析】分别求出集合A、B，从而求出AB即可解：集合Ax|x26x+50x|1x5，Bx|y=x-3x|x3，AB3，5，故选：D【点评】本题考查了集合的运算，考查二次函数以及二次根式的性质，是一道基础题2若复数z满足（z1）（i1）i，则z对应的点在第（）象限A一B二C三D四【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出z的坐标得答案解：由（z1）（i1）i，得z1=ii-1=i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=12-12i，z=32-12i，则z=32+12iz对应的点的坐标为（32，12），在第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3已知log5a=25，b15=25，(25)c=5，则（）AabcBbacCcbaDacb【分析】化对数式为指数式判断a1，求解b（0，1），化指数式为对数式判断c0，则答案可求解：由log5a=25，得a=525501，由b15=25，得b=(25)5（0，1），由(25)c=5，得c=log2550，cba故选：C【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查数学转化思想方法，是基础题4已知变量x，y满足约束条件x+y2x-2y+402x-y-40，若x2+y2+2xk恒成立，则实数k的最大值为（）A40B9C8D72【分析】已知x、y满足以下约束条件画出可行域，目标函数zx2+y2+2x是可行域中的点（x，y）到原点的距离的平方减1，求出最小值，然后求解z的最大值解：变量x，y满足约束条件x+y2x-2y+402x-y-40的可行域如图，x2+y2+2x是点（x，y）到（1，0）的距离的平方减1，故最小值为点P到（1，0）的距离的平方加1，zx2+y2+2x的最小值为：(-1-22)2-1=72若x2+y2+2xk恒成立，即72kk的最大值为：72故选：D【点评】此题主要考查简单的线性规划问题，是一道中档题，要学会画图考查转化思想的应用5已知函数f（x）的定义域为D，满足：对任意xD，都有f（x）+f（x）0，对任意x1，x2D且x1x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，则称函数f（x）为“成功函数“，下列函数是“成功函数”的是（）Af（x）tanxBf（x）x+sinxCf(x)=ln2-x2+xDf（x）exex【分析】由对任意xD，都有f（x）+f（x）0，得f（x）f（x）即函数为奇函数；对任意x1，x2D且x1x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，即函数单调递增，然后结合选项进行判断即可解：由对任意xD，都有f（x）+f（x）0，得f（x）f（x）即函数为奇函数；对任意x1，x2D且x1x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20，即函数单调递增，A：ytanx在定义域内不单调，不符合题意；B：由f（x）x+sinx可得f（x）xsinxf（x）且由于f（x）1+cosx0恒成立，即f（x）在R上单调递增，符合题意；C：结合复合函数单调性可知，yln2-x2+x在（2，2）内单调递减，不符合题意；D：yexex在定义域R上单调递减，不符合题意故选：B【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于函数性质的综合应用6任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在421这个循环中，这就是世界数学名题“3x+1问题”如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N6，则输出的i（）A6B7C8D9【分析】根据该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：由题意，模拟程序的运行，可得n6，i1n不是奇数，n3，i2，不满足条件n1；n是奇数，n10，i3，不满足条件n1，执行循环体，n不是奇数，n5，i4；不满足条件n1，执行循环体，n是奇数，n16，i5；不满足条件n1，执行循环体，n不是奇数，n8，i6；不满足条件n1，执行循环体，n不是奇数，n4，i7；不满足条件n1，执行循环体，n不是奇数，n2，i8；不满足条件n1，执行循环体，n不是奇数，n1，i9；满足条件n1，退出循环，输出i的值为9故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7an为等差数列，若a2019a2020-1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n（）A2019B2020C4039D4040【分析】若a2019a2020-1，且它的前n项和Sn有最小值，可得a20190，a20200a2019+a20200再利用求和公式即可判断出结论解：若a2019a2020-1，且它的前n项和Sn有最小值，a20190，a20200a2019+a20200S40382019（a1+a4038）2019（a2019+a2020）0S4039=4039(a1+a4039)2=4039a20200那么当Sn取得最小正值时，n4039故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲乙丙丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为3【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求解：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7故D正确故选：D【点评】本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握9如图，角的顶点在坐标原点O，始边在y轴的非负半轴，终边经过点P（3，4），角的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tan2，则tanQOP的值为（）A2B-211C-112D-12【分析】由已知可得：tan=43可得tanQOPtan（）=tan-tan1+tantan，代入即可得出解：由已知可得：tan=-4-3=43tanQOPtan（）=tan-tan1+tantan=43-(-2)1+43(-2)=-2故选：A【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，平面过长方体顶点D，且平面平面AB1C，平面平面ABB1A1l，则直线l与BC1所成角的余弦值为（）A33B32C36D66【分析】由题意画出图形，得到平面与平面ABB1A1的交线l，找出异面直线所成角，由已知结合余弦定理求解解：如图，平面过长方体顶点D，且平面平面AB1C，平面与平面A1DC1 重合，在平面ABB1A1中，过A1作A1EAB1，则A1EDC1，即A1E为平面与平面ABB1A1的交线l，连接AD1，可得AD1BC1，又lAB1，则D1AB1 即为直线l与BC1所成角连接D1B1，由AB=2，BC=CC1=1，得AB1=B1D1=3，AD1=2，由余弦定理可得：cosD1AB1=(3)2+(2)2-(3)2232=66即直线l与BC1所成角的余弦值为66故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题11点F2是双曲线C：x29-y23=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：txy+t20与直线l2：x+ty+2t10的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为（）A8B53C9D63【分析】由题意求出直线l1，l2的交点B为圆心在（0，2），半径为1的圆，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|+2a，所以|AB|+|AF2|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小解：由双曲线的方程可得a3，b=3，焦点F（23，0），可得|AF2|AF1|+2a|AF1|+6，所以|AB|+|AF2|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，联立直线l1，l2的方程tx-y+t-2=0x+ty+2t-1=0，可得x=-t2-1t2+1y+2=2tt2+1，消参数t可得x2+（y+2）21，所以可得交点B的轨迹为圆心在（0，2），半径为1的圆，所以|AB|+|AF2|AB|+|AF1|+6|BF1|1+6=(-23)2+22+59，当过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小所以|AB|+|AF2|的最小值为9，故选：C【点评】本题考查求轨迹方程及双曲线的性质，三点共线时线段之和最小，属于中档题12设函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且x（0，+），f（f（x）ex+x）e若不等式2f（x）f（x）3ax对x（0，+）恒成立，则a的取值范围是（）A（，e2B（，e1C（，2e3D（，2e1【分析】先利用换元法求出f（x）的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题解：设f（x）ex+xt，则f（t）e，f（x）exx+t，令xt得f（t）ett+te，解得t1，f（x）exx+1，f（x）ex1，不等式2f（x）f（x）3ax，x（0，+）即：aexx-2令g（x）=exx-2，x（0，+）g（x）=ex(x-1)x2，可得x1时，函数g（x）取得极小值即最小值不等式2f（x）f（x）3ax对x（0，+）恒成立，ae2a的取值范围是（，e2故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、换元法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13（x+2）9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9，则a1+a2+a9511（用数字作答）【分析】在所给的等式中，分别令x1，x0，可得要求式子的值解：（x+2）9a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9，令x1，可得a01再令x0，可得 1+a1+a2+a929，a1+a2+a9511，故答案为：511【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题14已知函数f（x）=x，x1log2(x-1)，x1，则函数yf（f（x）1的所有零点构成的集合为1，3，9【分析】函数yff（x）1的零点，即求方程ff（x）10的解，利用换元法进行求解即可解：由yf（f（x）10得f（f（x）1，设tf（x），则等价为f（t）1，当x1时，由f（x）x1得x1，当x1时，由f（x）log2（x1）1得x3，即t1或t3，当x1时，由f（x）x1，得x1，由f（x）x+13，得x2（舍），故此时x1，当x1时，由f（x）log2（x1）1得x3，由f（x）log2（x1）3，得x9，综上x1，或x3或x9，所以函数yff（x）1的所有零点所构成的集合为：1，3，9故答案为：1，3，9【点评】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键15在ABC中，D为AB边的中点，C90，AC4，BC3，E，F分别为边BC，AC上的动点，且EF1，则DEDF最小值为154【分析】建立平面直角坐标系，设E（x，0），求出DEDF的坐标，则DEDF可表示为x的函数，利用函数的性质得出最小值【解答】解以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：则A（0，4），B（3，0），C（0，0），D（32，2）设E（x，0），则F（0，1-x2）.0x1DE=（x-32，2），DF=（-32，1-x2-2）DEDF=94-32x+421-x2=254-32x21-x2令f（x）=254-32x21-x2，则f（x）=-32+2x1-x2令f（x）0得x=35当0x35时，f（x）0，当35x1时，f（x）0当x=35时，f（x）取得最小值f（35）=154故答案为：154【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题16已知点A（0，4），抛物线C：x22py（0p4）的准线为1，点P在C上，作PHl于H，且|PH|PA|，APH120，则抛物线方程为x2=165y【分析】设抛物线的焦点为F（0，p2），则|AF|4-p2，由抛物线的定义可知，|PH|PF|PA|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQy轴于点Q，则Q为AF的中点，结合APH120，可以用p表示出点P的坐标，然后将其代入抛物线方程，列出关于p的方程，解之可得p的值，从而求得抛物线的方程解：设抛物线的焦点为F（0，p2），|AF|4-p2，由抛物线的定义可知，|PH|PF|，|PH|PA|，|PA|PF|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQy轴于点Q，则Q为AF的中点，|AQ|FQ|=12|AF|=12(4-p2)，APH120，APQ1209030，|PQ|=3|AQ|=32(4-p2)，|OQ|FQ|+|OF|=12(4-p2)+p2=2+p4，点P的坐标为(32(4-p2)，2+p4)，点P在抛物线C上，32(4-p2)2=2p(2+p4)，化简得5p2+112p1920，解之得p=85或-24（舍负），抛物线方程为x2=165y故答案为：x2=165y【点评】本题考查抛物线的定义，求抛物线的标准方程，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分17已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，且bcosC+3bsinC-a-c=0（1）求B；（2）若b2，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sinC0，可得sin(B-6)=12，又根据范围B-6(-6，56)，可求B的值（2）由等差数列的性质，正弦定理可得a+c2b4，又根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解解：（1）由bcosC+3bsinC-a-c=0，则sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC，sinBcosC+3sinBsinC=sin(B+C)+sinC，3sinBsinC=sinCcosB+sinC，而sinC0，3sinB-cosB=1，所以2sin(B-6)=1，可得sin(B-6)=12，而B（0，），又B-6(-6，56)，所以B-6=6，故B=3（2）由sinA，sinB，sinC成等差数列，且b2，所以2sinBsinA+sinC，可得a+c2b4，又a2+c22accosBb2，则(a+c)2-2ac-2accos3=4，可得：163ac4，所以ac4，则S=12acsinB=12432=3【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题18如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中BAD120，AECF，CF平面ABCD，AE=33，CF=3（1）求证：平面BDE平面BDF；（2）求二面角DEFB的大小【分析】（1）证明BDCF，BDAC，推出BD平面ACFE，得到OFBD，推出AE平面ABCD，证明AEAO且FCCO，OFOE，证明OF平面BDE，然后证明平面BDE平面BDF（2）以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O做垂直于平面ABCD的为z轴建立空间直角坐标系求出平面DEF的一个法向量，平面BEF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角DEFB的大小【解答】（1）证明：因为AECF，所以A、C、F、E四点共面又CF平面ABCD，而BD平面ABCD，所以BDCF，由菱形ABCD，所以，BDAC，令BDACO，且CFACC，所以，BD平面ACFE，而OF平面ACFE，所以，OFBD，因为AECF且CF平面ABCD，所以AE平面ABCD，则AEAO且FCCOAE=33，CF=3，由菱形ABCD且BAD120，所以AOOC1，故tanEOA=33，tanFOC=3，则EOA=6，FOC=3，所以EOF=2，即OFOE，又OEBDO，所以OF平面BDE，OF平面BDF，平面BDE平面BDF（2）由菱形ABCD，所以BDAC，以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系则BAD=23，所以A（1，0，0），B(0，3，0)，D(0，-3，0)，F(-1，0，3)，E(1，0，33)，所以EF=(-2，0，233)，DF=(-1，3，3)，BF=(-1，-3，3)，令平面DEF的一个法向量为n=(1，y1，z1)，且EF=(-2，0，233)，DF=(-1，3，3)，由nEF=0，-2+233z1=0，所以z1=3，由nDF=0，-1+3y1+3z1=0，所以y1=-233，即n=(1，-233，3)，令平面BEF的一个法向量为：m=(1，y2，z2)，且EF=(-2，0，233)，BF=(-1，-3，3)，由mEF=0，-2+233z2=0，所以z2=3，由nBF=0，-1-3y2+3z2=0，所以y2=233，即m=(1，233，3)，所以cos=-cosn，m=-nm|n|m|=-1-43+31+43+3=-12，则=23，即二面角DEFB的大小为23【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理得到应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题19已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，PF1F2面积的最大值为4（1）求椭圆的方程（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆上任意一点，直线MC、MD分别交x轴于E、F，且满足AE2+BF2AB2，求证：AB2AD【分析】（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得所求椭圆方程；（2）设C（22，t），D（22，t），t0，可令M（x0，y0），运用直线方程和两直线的交点，化简整理，即可得证解：（1）由题意可得e=ca=22，又c2a2b2，可得bc，而S122cb4，所以bc2，解得a28，b24，所以椭圆的方程为x28+y24=1；（2）证明：设C（22，t），D（22，t），t0，可令M（x0，y0），由kMC=y0+tx0-22，故MC的方程为yy0=y0+tx0-22（xx0），直线MC交x轴于E，可令y0，则x=y0(22-x0)y0+t+x0=22y0+tx0y0+t，即E（22y0+tx0y0+t，0），由kMD=y0+tx0+22，故MD的方程为yy0=y0+tx0+22（xx0），直线MD交x轴于F，可令y0，则x=-y0(22+x0)y0+t+x0=-22y0+tx0y0+t，即F（-22y0+tx0y0+t，0），因为AE2+BF2AB2，所以（22y0+tx0y0+t+22）2+（-22y0+tx0y0+t-22）2（42）2，可得16y02+2t2x02(y0+t)2+32y0y0+t=16，即8y02+t2x02+16y02+16y0t8（y0+t）2，即t2x02+16y028t2，而x028+y024=1，所以x0282y02，可得t2（82y02）+16y028t2，可得（162t2）y020，而M为椭圆上一点，所以162t20，解得t22，所以ABAD=2，即AB2AD【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法和应用，以及两点的距离公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题20在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为456P0.4ab其中0a1，0b1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），（i）设X5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；（ii）设某数列xn满足x10.4，xna，2xn+1b，若a0.25，求n的最小值【分析】（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P由题可知：a+b0.6，然后求解即可方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可（2）（）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000求出概率，得到分布列，然后求解期望即可（）由题可得xn+2xn+1a+b0.6，得到xn+1=-12xn+0.3，判断数列xn0.2是等比数列，然后分类求解n的最小值解：（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P由题可知：a+b0.6，则P30.4（a2+2ab+b2）0.4（a+b）20.40.620.432方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以P30.4（10.4）（10.4）0.432（2）（）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000P（X4000）0.40.40.16，P（X4500）20.4a0.8a，P（X5000）a2+20.4ba2+0.8b，P（X5500）2ab，P（X6000）b2，所以P(X=5500)=2ab2(a+b2)2=0.362=0.18，取最大值的条件为ab0.3所以分布列为：X40004500500055006000P0.160.240.330.180.09E（X）40000.16+45000.24+50000.33+55000.18+60000.094900（）解：由题可得xn+2xn+1a+b0.6，所以xn+1=-12xn+0.3，化简得xn+1-0.2=-12(xn-0.2)，即xn0.2是等比数列，首项为x10.20.2，公比为-12，所以xn-0.2=(0.4-0.2)(-12)n-1，化简得xn=0.21+(-12)n-1由题可知：（1）由题可知：a=xn=0.21+(-12)n-10.6(-12)n-12，显然对所有n一、选择题*都成立；（2）b=2xn+1=0.41+(-12)n0.6(-12)n12，也是对所有nN*都成立；（3）a=xn=0.21+(-12)n-10.25(-12)n-114当n为偶数时，上述不等式恒成立；当n为奇数时，(12)n-114，解得n5即n5综上所述，n的最小值为5【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列与函数的应用，考查转化思想以及计算能力，题目比较新颖，是难题21已知函数f（x）exa（x+1）（aR）（1）讨论函数f