《三角恒等变换》复习课资料ppt课件.ppt
信心来自于实力，实力来自于勤奋信心来自于实力，实力来自于勤奋!主备：主备：向以钰、喻浩向以钰、喻浩高一数学集体备课高一数学集体备课审查：审查：牟必继牟必继复复 习习 回回 顾顾)cos(sinsincoscos)sin(1、两角和与差的正弦、余弦和正切、两角和与差的正弦、余弦和正切)cos(sinsincoscossincoscossin)sin(sincoscossin)tan()tan(tantan1tantantantan1tantan2、倍、倍 角角 公公 式式cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。22cos1cos222cos1sin23、半角公式、半角公式2cos2cos12sin2cos12tancos1cos1sincos1cos1sin注：在半角公式中，根号前的正负号，由角注：在半角公式中，根号前的正负号，由角 所在所在 的象限确定的象限确定.2上述公式间的联系如下：S (+)C (+)S()C()-以代相除T (+)相除T()-以代2S2C2T相除2以代2S2C2T相除积化和差和差化积和差倍半升降幂公式例例1、已知，已知，23cos1cos1sin1cos1cos1sin1化简：化简：解解：原式：原式2sin22cos2)2cos2(sin2sin22cos2)2cos2(sin2222222sin22cos2)2cos2(sin2sin22cos2)2cos2(sin22又又23,4322原式原式= =22(sincos)(sincos)22222cos2sin2cos2sin2222)2cos2(sin22)2cos2(sin222cos2注：注： 根号下含有根号下含有三角函数式的开根三角函数式的开根号问题，需要升幂；号问题，需要升幂； 本题最关键的本题最关键的是开出根号后，是开出根号后，去绝对值的问题，去绝对值的问题，这里需要对角的这里需要对角的范围进行限定范围进行限定.例例2、求证：求证： sinsin)cos(2sin)2sin(sinsin)cos(2)2sin(sinsin)cos(2)sin(sinsin)cos(cos)sin(sinsin右边证明证明：左边：左边sinsin)cos(2sin)2sin(注：证明的本质是化异为同，可以说，证明是注：证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目标的有目的化简有目标的有目的化简. 与三角函数有关的最值问题与三角函数有关的最值问题 对于与三角函数有关的最值问题，我们可以把函数对于与三角函数有关的最值问题，我们可以把函数式化成一个角的一个三角函数，从而利用三角函数的最式化成一个角的一个三角函数，从而利用三角函数的最值来求解值来求解.下面我们分类加以说明下面我们分类加以说明.sinx1-1 53sinx82.y解 y=的最大值和最小值分别是 和 ，的最大值和最小值分别是 和 二、二、y=asinx+bcosx型型 一、一、y=a+bsinx型型 例例1 求函数求函数y=5-3sinx的最大和最小值的最大和最小值. 根据正弦函数的最值情况来定根据正弦函数的最值情况来定.3sin4cos)yxx4解：5sin(x+ )( 是满足tan = 的锐角30 22 2 xxxmax，+ ， 当 + 时，y5sin25sin(x+ )5,min, ), 5. 2y 433而sin =sin(+cos 555min.ymax故y5，3 03sin4cos.22xyxx当时，求例函数的最值sinx cos.x分析这是关于，的一次齐次式，可化成一个角的一个三角函数式sinxc+dsinxay +b三、型53sinx .2 si3nxy例 求函数的最值+53sinx (y+3)sinx2 ,32 sinxyyy 分析可解：由得5若利用反求法矛盾，+2sinxy+3sinx1y5，2222 ) 11, 326(y+3)yyy2(5sin x，即+160,min23ymax2解得：y8. y8，.3 ya22四、sin x +bcos x型44 3 y 22求函数sin x + cos x例的最值. 22这是关于sin x 、cos x的二次齐次式，可先降次.解：1 cos21 cos23 4322xxy22+sin x + cos x+41cos2 .2x7 +2min3.ymaxy4,5 sinx 2sinx3yay2222五、sin x +bcosx+c cos x型求函数sin x +cosx+ cos x例的最值. 2sinx3y 22解：sin x +cosx+ cos x 1 cos21 cos2sin2xxx+322sin2x cos222sin2x24x+ （+）+min2222.ymaxy +， sinx22 4233 6 yay222六、sin x +b+c型求函数cos xsin xcosx+ ，x ,例的最值.对于这种二次非齐次式，可以看作是可化为二次函数的函数求解解：2 423 41y 222cos xsin xcosx+cos xcosx+2213()33 cosx211,3322又xcosxminmax21,;321 ,.32 maxmin15当x时，(cosx)y41当x时，(cosx)y4sinxsinxsinx7 in x yay例七、（+cosx)+bcosx型求函数+cosx+scosx的最值.2sinx1 2sinxcosx.sinx注意到（+cosx） 可把+cosx看作是一个整体，利用换元法.解： sinxsinxsin(x),422t 设+cosxt, t+cosx 2+222ttsinx12sinxcosx , sinxcosx 2 1（+cosx） 222t111y= t t(1)1,2222.t1代入得：+t2211; 22t minmax1当t时，y-当t时，y2 221.3sinx1(2;3 sinxx3sin 43sin x6sinx11.22.f(x)2220-22f(x).13.f(x)222yyyyaaaa1232求下列函数的最值：logcosx); 2log+x4+3cosx0,cosx+cos x2已知函数cos xcosx+x的最小值是，试确定实数 的值，并求出的最大值讨论函数 cos（ x2).2）+coscos(xcosxcos 的值域、周期性、奇偶性及其单调性巩固练习巩固练习 2( )3cos+sin0,.6;5II,3,.36f xxxcos xRf xyf x 设函数且函数的图象在 轴右侧的第一个最高点的横坐标是I 求 的值如果在区间上的最小值为求例的值1313( )cos2sin2222f xxx解：（I）3sin 232x 2,632依题意得1.2解之得备选例题备选例题3 )2（II)由（I）知,f(x)=sin(x+357,0,3636xx 又当时，1sin()1,23x故513( ),3622f x从而在上取得最小值13 3.22因此，由题 设知31.2故 (2cos,tan(),( 2sin(),tan(),22422424( ).,0,.xxxxabf xa bf x 已知向量令求函数的最大值 最小正周期 并写出函数在上的单调区间例( )2 2cossin()tan(+)tan()2242424xxxxf xa b 解：1tantan122222 2cos(sincos)222221tan1tan22xxxxxxx22sincos2cos1222xxxsincosxx= 2sin().4x2 ,2;函数的最小正周期是最小值是0, .44该函数在区间上的单调递增 在区间单调递减方方 法法 归归 类类三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：复杂的综合问题，一般的考虑方法是： 找差异：角、名、形的差异；找差异：角、名、形的差异； 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；之间可以用哪个公式联系起来； 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式加以变形后，正用或逆用公式. .
