2020届福建省泉州市高考数学二模试卷（理科） （解析版）.doc

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x+10，Bx|2x2x10，则AB（）A（，1B-1，12C-12，1D-12，+)2（x1）（x2）7的展开式中x6的系数为（）A14B28C70D983已知向量AB=(1，2)，AC=(4，-2)，则ABC的面积为（）A5B10C25D504平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（3，4），则sin（2）（）A725B-725C2425D-24255音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（）A“宫、商、角”的频率成等比数列B“宫、徵、商”的频率成等比数列C“商、羽、角”的频率成等比数列D“徵、商、羽”的频率成等比数列6函数f(x)=ln(x2+1-kx)的图象不可能是（）ABCD7已知a（sin2）2，b2sin2，c=log12(sin2)，则（）AbcaBbacCabcDcba8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A10B283C9D2539每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为，两类，两类渔船的比例如图所示经统计，2019年，两类渔船的台风遭损率分别为15%和5%2020年初，在修复遭损船只的基础上，对类渔船中的20%进一步改造保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为3%，而其他渔船的台风遭损率不变假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是（）A2019年投保的渔船的台风遭损率为10%B2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过80%C预估2020年 I类渔船的台风遭损率会小于 II类渔船的台风遭损率的两倍D预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于 II类渔船因台风遭损的数量10已知双曲线E的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N点P在E的渐近线上，PF1PF2=0，MPN=3，则E的离心率为（）A153B213C53D1311若0，函数f（x）3sinx+4cosx（0x3）的值域为4，5，则cos(3)的取值范围是（）A-1，-725B-725，1C725，35D725，4512以A，B，C，D，E为顶点的多面体中，ACCB，ADDB，AEEB，AB10，CD6，则该多面体的体积的最大值为（）A303B80C90D503二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置13在复平面中，复数z1，z2对应的点分别为Z1（1，2），Z2（2，1）设z1的共轭复数为z1，则z1z2 14已知点A（1，0），B（1，0），过A的直线与抛物线y24x相交于P，Q两点若P为AQ中点，则|PB|QB|= 15ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB=3bcosA，a3若点D在边BC上，且BD2DC，则AD的最大值是 16若存在过点（1，a2）的直线l与函数f（x）x+ex，g（x）xeax的图象都相切，则a 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17记Sn为数列an的前n项和，且a12，2Sn（n+1）an（1）求Sn；（2）若bn=an+1Sn+1Sn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn1218如图，四棱锥PABCD的底面为菱形，BAD120，AB2平面PCD平面ABCD，PCPD，E，F分别是BC，PD的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为45，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值19已知圆O：x2+y23，直线PA与圆O相切于点A，直线PB垂直y轴于点B，且|PB|2|PA|（1）求点P的轨迹E的方程；（2）直线PA与E相交于P，Q两点，若POA的面积是QOA的面积的两倍，求直线PA的方程20“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据某公司为量化考核员工绩效等级设计了A，B两套测试方案，现各抽取100名员工参加A，B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如频率分布表成绩频率25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）75，85）85，95方案A0.020.110.220.300.240.080.03方案B0.160.180.340.100.100.080.04（1）从预测试成绩在25，35）85，95的员工中随机抽取6人，记参加方案A的人数为X，求X的最有可能的取值；（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩x与绩效等级优秀率y，如表所示：x32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94根据数据绘制散点图，初步判断，选用yex作为回归方程令zlny，经计算得z=-0.642，i=17 xizi-nxzi=17 xi2-nx20.02，ln0.151.9（）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？（）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩xN（，2），其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？参考公式与数据：（1）ln3.321.2，ln5.21.66，s20（2）线性回归方程y=bx+a中，b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-bx（3）若随机变量XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.997421已知函数f(x)=(12x2-ax)lnx-14x2+ax（1）若f（x）在（0，+）单调递增，求a的值；（2）当14a34e时，设函数g(x)=f(x)x的最小值为h（a），求函数h（a）的值域（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22直角坐标系xOy中，圆C1：x=2cos，y=2sin（为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C2以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=42sin-cos（1）求C2的普通方程和l的直角坐标方程；（2）设l与两坐标轴分别相交于A，B两点，点Q在C2上，求QAB的面积的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2|+|x3|+mx（1）当m1时，求不等式f（x）8的解集；（2）当0m1时，证明：f（x）3参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x+10，Bx|2x2x10，则AB（）A（，1B-1，12C-12，1D-12，+)【分析】先求出集合A，B，再利用集合的并集运算即可求出结果解：集合Ax|x+10x|x1，Bx|2x2x10x|-12x1，则ABx|x1，故选：A【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题2（x1）（x2）7的展开式中x6的系数为（）A14B28C70D98【分析】把（x2）7按照二项式定理展开，可得（x1）（x2）7的展开式中x6的系数解：（x1）（x2）7（x1）（x714x6+84x5280x4+560x3672x2+448x128），故展开式中x6的系数为 C72（2）21C71（2）98，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题3已知向量AB=(1，2)，AC=(4，-2)，则ABC的面积为（）A5B10C25D50【分析】先求出|AB|、|AC|、cosA 的值，再根据ABC的面积为12|AB|AC|sinA，求得结果解：|AB|=5，|AC|=16+4=25，cosA=ABAC|AB|AC|=4-4525=0，A90ABC的面积为12|AB|AC|sinA5，故选：A【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求向量的模，属于基础题4平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（3，4），则sin（2）（）A725B-725C2425D-2425【分析】由题意可求得|OM|=(-3)2+42=5，由三角函数的定义可得cos，sin的值，进而根据诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解解：由题意，角的终边过点M（3，4），可得|OM|=(-3)2+42=5，由三角函数的定义可得cos=-35，sin=45，可得sin（2）sin22sincos245(-35)=-2425故选：D【点评】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题5音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（）A“宫、商、角”的频率成等比数列B“宫、徵、商”的频率成等比数列C“商、羽、角”的频率成等比数列D“徵、商、羽”的频率成等比数列【分析】根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为32a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为98a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为2716a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a，由于a，98a，8164a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故选：A【点评】本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题6函数f(x)=ln(x2+1-kx)的图象不可能是（）ABCD【分析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论；解：A，B选项中，图象关于原点对称，f（x）为奇函数，即f（x）+f（x）0，即ln(x2+1-kx)+ln(x2+1+kx)=0，k1，当k1时，f（x）的图象为选项A；当k1时，f（x）的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（x）f（x），即ln(x2+1-kx)=ln(x2+1+kx)，k0，当k0时，f（x）0，故f（x）的图象为选项D，不可能为选项C故选：C【点评】本题主要考查利用函数奇偶性判断函数图象，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题7已知a（sin2）2，b2sin2，c=log12(sin2)，则（）AbcaBbacCabcDcba【分析】利用三角函数、指数函数、对数函数的单调性直接求解解：2234，22sin21，0a1，b1，0c1，a（sin2）2（22）2=12，c=log12(sin2)log12(22)=12，bac故选：B【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查三角函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A10B283C9D253【分析】先将三视图还原为四棱锥，再将其补形为正三棱柱，而外接球的球心就是该三棱柱的中心，然后结合正三角形中边角关系、勾股定理和球的表面积公式即可得解解：由三视图可知，原几何体为四棱锥BACDE，其中平面ABC平面ACDE，该几何体可补形为棱长均是2的正三棱柱ABCEPD，设等边ABC的中心为O1，几何体外接球的球心为O，半径为R，则OO11，在等边ABC中，BO1=23223=233，ROB=(OO1)2+(BO1)2=1+43=213，外接球的表面积S=4R2=4(213)2=283故选：B【点评】本题考查三视图的还原、球的表面积，采用补形法是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题9每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为，两类，两类渔船的比例如图所示经统计，2019年，两类渔船的台风遭损率分别为15%和5%2020年初，在修复遭损船只的基础上，对类渔船中的20%进一步改造保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为3%，而其他渔船的台风遭损率不变假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是（）A2019年投保的渔船的台风遭损率为10%B2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过80%C预估2020年 I类渔船的台风遭损率会小于 II类渔船的台风遭损率的两倍D预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于 II类渔船因台风遭损的数量【分析】仔细观察频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质能求出结果解：设全体投保的渔船为t艘，对于A，2019年投保的渔船的台风台风遭损率为60%15%+40%5%11%，故A错误；对于B，2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例为：60%15%60%15%+40%5%=91180%，故B错误；对于C，预估2020年 I类渔船的台风遭损率为：20%3%+80%15%12.6%2（5%），故C错误；对于D，预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量：t60%20%3%少于 II类渔船因台风遭损的数量：t40%5%，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10已知双曲线E的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N点P在E的渐近线上，PF1PF2=0，MPN=3，则E的离心率为（）A153B213C53D13【分析】先由点P在E的渐近线上，PF1PF2=0P（a，b），再由MPN=3得到a与b的关系式，进而求得离心率解：不妨设P是渐近线在第一象限上的点，因为PF1PF2=0，所以F1PF290，|PO|OF2|c，又P在渐近线y=bax上，所以可得P点的坐标是（a，b），所以PNF1F2在直角三角形PNM中，MPN=3，所以|MN|=3|PN|，即2a=3b，ba=23，所以e=1+b2a2=1+43=213故选：B【点评】本题主要考查直角三角形的性质、双曲线的性质及离心率的计算，属于基础题11若0，函数f（x）3sinx+4cosx（0x3）的值域为4，5，则cos(3)的取值范围是（）A-1，-725B-725，1C725，35D725，45【分析】由函数f（x）3sinx+4cosx5sin（x+），其中sin=45，cos=35，02令tx+，g（t）5sint，由0，0x3，可得t3+，由g（）4，且02可得g（）4，g（2）5可得2-32当02-x2时，ycosx单调递减即可得出解：函数f（x）3sinx+4cosx5sin（x+），其中sin=45，cos=35，02令tx+，g（t）5sint，0，0x3，t3+，g（）4，且02g（）4，g（2）523+，即2-32当02-x2时，ycosx单调递减cos（2-）sin=45，cos（2）cos2sin2cos2=1625-925=725cos(3)的取值范围是725，45故选：D【点评】本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12以A，B，C，D，E为顶点的多面体中，ACCB，ADDB，AEEB，AB10，CD6，则该多面体的体积的最大值为（）A303B80C90D503【分析】取AB的中点O，由已知可得C、D、E在以AB为直径的球面O上设A，B到平面CDE的距离分别为d1，d2，则d1+d2AB可得该多面体的体积VVACDE+VBCDE=13SCDE(d1+d2)13SCDEAB过C，D，E作球的截面O，设O的半径为r，可得3r5把三角形CDE的面积表示为r的函数，由函数单调性求得最大值，可得多面体的体积的最大值解：如图，取AB的中点O，ACCB，ADDB，AEEB，OAOBOCODOE，故C、D、E在以AB为直径的球面O上设A，B到平面CDE的距离分别为d1，d2，则d1+d2AB该多面体的体积VVACDE+VBCDE=13SCDE(d1+d2)13SCDEAB过C，D，E作球的截面O，设O的半径为r，则r3，且r12AB，即r53r5又点E到CD距离的最大值为r+r2-(CD2)2=r+r2-9SCDE126(r+r2-9)=3(r+r2-9)函数f（r）r+r2-9在3，5上单调递增，f（r）maxf（5）5+49从而V103SCDEAB10339=90故选：C【点评】本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置13在复平面中，复数z1，z2对应的点分别为Z1（1，2），Z2（2，1）设z1的共轭复数为z1，则z1z25i【分析】由已知求得z1，z2，代入z1z2，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由题意，z11+2i，z22i，z1=1-2i，则z1z2（12i）（2i）5i故答案为：5i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题14已知点A（1，0），B（1，0），过A的直线与抛物线y24x相交于P，Q两点若P为AQ中点，则|PB|QB|=12【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，分别作点P，Q到准线的垂线段，垂足分别为点D，C，运用抛物线的定义和三角形的中位线定理，即可得到所求值解：抛物线y24x的焦点为（1，0），即B为焦点，准线方程为x1，分别作点P，Q到准线的垂线段，垂足分别为点D，C，由抛物线的定义，可得|PB|PD|，|QB|QC|，由|PB|PD|，|QB|QC|，因为PDQC，且P为AQ的中点，所以PD是AQC的中位线，|PD|=12|QC|，即|PB|=12|QB|，故|PB|QB|=12故答案为：12【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查三角形的中位线定理，主要考查逻辑推理能力，属于基础题15ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB=3bcosA，a3若点D在边BC上，且BD2DC，则AD的最大值是3+1【分析】ABC中利用正弦定理转化求得A的值，再求出ABC外接圆的半径；取BC的中点M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出AD的最大值解：ABC中，asinB=3bcosA，由正弦定理得，sinAsinB=3sinBcosA，因为sinB0，所以tanA=3；又因为0A，所以A=3；设ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，R=a2sinA=32sin3=3；取BC的中点M，如图所示；在RtBOM中，BM=12BC=32，OM=OB2-BM2=(3)2-(32)2=32；在RtDOM中，DMBDBM=12，OD=OM2+DM2=(32)2-(12)2=1；由ADAO+ODR+OD=3+1，当且仅当圆心O在AD上时取“”；所以AD的最大值是3+1故答案为：3+1【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是难题16若存在过点（1，a2）的直线l与函数f（x）x+ex，g（x）xeax的图象都相切，则a2【分析】先分别设切点，将各自的切线方程表示出来，然后列出切点满足的方程，结合过点（1，a2）列出方程组，解出a的值解：由已知得f（x）1+ex，g（x）1+eax，设直线l与函数f（x）相切于点（x1，x1+ex1），则切线斜率k1=1+ex1，切线l的方程为y-(x1+ex1)=(1+ex1)(x-x1)设直线l与函数g（x）的图象相切于点(x2，x2-ea-x2)，则切线斜率k=1+ea-x2，切线l的方程为：y-(x2-ea-x2)=(1+ea-x2)(x-x2)因为过点（1，a2）的直线l与函数f（x）x+ex，g（x）x+eax的图象都相切所以1+ex1=1+ea-x2(1)a2-(x1+ex1)=(1+ex1)(1-x1)(2)a2-(x2-ea-x2)=(1+ea-x2)(1-x2)(3)由（1）得x1ax2，将x2ax1代入（3）得a2-(a-x1-ex1)=(1+ex1)(1+x1-a)所以-a2+(x1+ex1)=(1+ex1)(1+x1-a)（4），由（2）+（4）得(1+ex1)(2-a)=0，1+ex10，a2故答案为：2【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，以及学生运用方程思想解决问题的能力和运算能力，属于中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17记Sn为数列an的前n项和，且a12，2Sn（n+1）an（1）求Sn；（2）若bn=an+1Sn+1Sn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn12【分析】本题第（1）题根据题意当n2时，由2Sn（n+1）an，类推可得2Sn1nan1，两式相减后化简整理可得ann=an-1n-1（n2，nN*），则可发现数列ann是一个常数列，进一步计算可求得数列an的通项公式，然后根据等差数列的求和公式可得Sn的表达式；第（2）题先化简bn=an+1Sn+1Sn=Sn+1-SnSn+1Sn=1Sn-1Sn+1，然后运用裂项相消法及由（1）得到的1Sn=1n(n+1)计算Tn的表达式，即可证明不等式Tn12成立【解答】（1）解：由题意，当n2时，由2Sn（n+1）an，可得2Sn1nan1，两式相减，可得2Sn2Sn1（n+1）annan1，化简，得2an（n+1）annan1，整理，得ann=an-1n-1（n2，nN*），ann=an-1n-1=a11=2，an2n，nN*，Sna1+a2+an21+22+2n2（1+2+n）2n(1+n)2n（n+1）（2）证明：由题意，bn=an+1Sn+1Sn=Sn+1-SnSn+1Sn=1Sn-1Sn+1，由（1）知，1Sn=1n(n+1)，Tnb1+b2+bn=1S1-1S2+1S2-1S3+1Sn-1Sn+1 =1S1-1Sn+1 =112-1(n+1)(n+2) =12-1(n+1)(n+2)，nN*，Tn=12-1(n+1)(n+2)12，故得证【点评】本题主要考查数列递推关系、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向是对发展逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注，属中档题18如图，四棱锥PABCD的底面为菱形，BAD120，AB2平面PCD平面ABCD，PCPD，E，F分别是BC，PD的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为45，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值【分析】（1）取PA中点M，连结BM，MF，推导出四边形MBEF是平行四边形，从而EFBM，由此能证明EF平面PAB（2）取CD中点O，连结PO，AO，AC，推导出POCD，PO平面ABCD，则PBO是PB与平面ABCD所成角，即PBO45，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线DE与平面PBC所成角的正弦值解：（1）证明：取PA中点M，连结BM，MF，M，F分别是PA、PD的中点，MFAD，且MF=12AD，菱形ABCD中，E是BC的中点，BEAD，且BE=12AD，MFBE，且MFBE，四边形MBEF是平行四边形，EFBM，EF平面PAB，BM平面PAB，EF平面PAB（2）解：取CD中点O，连结PO，AO，AC，PCPD，POCD，平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，PO平面PCD，PO平面ABCD，则PBO是PB与平面ABCD所成角，即PBO45，在BCO中，BC2，CO1，BCO120，BO24+1212cos1207，BO=7，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），P（0，0，7），D（0，1，0），B（3，2，0），E（32，32，0），CB=（3，1，0），CP=（0，1，7），DE=（32，52，0），设平面PBC的一个法向量n=（x，y，z），由CBn=3x+y=0CPn=-y+7z=0，令x=-7，得n=（-7，21，3），设DE与平面PBC所成角为，则sin=|DEn|DE|n|=221731=29331，直线DE与平面PBC所成角的正弦值为29331【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19已知圆O：x2+y23，直线PA与圆O相切于点A，直线PB垂直y轴于点B，且|PB|2|PA|（1）求点P的轨迹E的方程；（2）直线PA与E相交于P，Q两点，若POA的面积是QOA的面积的两倍，求直线PA的方程【分析】（1）设P的坐标由PA与圆O相切于点A可得|PA|的表达式，再由直线PB垂直y轴于点B，可得|PB|的表达式，再由|PB|2|PA|可得P的轨迹方程；（2）设直线PA的方程，由与圆相切可得参数的关系，将直线PA的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|PA|，由SPOA2SQOA可得P，Q的横坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得k的值，进而求出m的值求出直线PA的方程解：（1）设P的坐标（x，y），由题意可得|PA|2|PO|23x2+y23，|PB|2x2，因为|PB|2|PA|，所以x24（x2+y23），整理可得：x24+y23=1，所以点P的轨迹E的方程为：x24+y23=1；（2）当直线PA的斜率不存在时，不满足条件，设直线PA的方程为：ykx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由直线PA与圆O相切可得|m|1+k2=3，即m23（1+k2），联立直线由于椭圆的方程可得y=kx+m3x2+4y2-12=0整理可得：（3+4k2）x2+8kmx+（4m212）0，可得x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，由SPOA2SQOA可得123|PA|=2（123|QA|），|PA|2|QA|，|x1|2|x2|，因为x1x2=4m2-123+4k2=12k23+4k20，所以x12x2所以可得3x2=-8km3+4k22x22=12k23+4k2可得16(1+k2)3+4k2=92，解得k=52，即m=332，所以直线PA的方程为：y=52x+332或y=52x-332【点评】本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式和面积公式，属于中档题20“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据某公司为量化考核员工绩效等级设计了A，B两套测试方案，现各抽取100名员工参加A，B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如频率分布表成绩频率25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）75，85）85，95方案A0.020.110.220.300.240.080.03方案B0.160.180.340.100.100.080.04（1）从预测试成绩在25，35）85，95的员工中随机抽取6人，记参加方案A的人数为X，求X的最有可能的取值；（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩x与绩效等级优秀率y，如表所示：x32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94根据数据绘制散点图，初步判断，选用yex作为回归方程令zlny，经计算得z=-0.642，i=17 xizi-nxzi=17 xi2-nx20.02，ln0.151.9（）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？（）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩xN（，2），其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？参考公式与数据：（1）ln3.321.2，ln5.21.66，s20（2）线性回归方程y=bx+a中，b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-bx（3）若随机变量XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974【分析】（1）求出预测试成绩在25，35）85，95的员工中，接受方案A测试与接受方案B测试的人数，记这6人中接受方案A预测试的人数为k，由超几何分布可得P（Xk）=C5kC206-kC256，其中k0，1，2，3，4，5，通过计算可得P（Xk）maxP（X1），即X1的可能性最大；（2）（）依题意，yex两边取对数，得lnyx+ln，即zx+ln，由已知求得与的值，可得y=0.15e0.02x，取x60求得y值即可；（）由（）及提供的参考数据可知，x=63，s20，求解不等式0.15e0.02x0.78，可得x83结合+83，即可求得“绩效等级优秀率不低于0.78”的概率解：（1）预测试成绩在25，35）85，95的员工中，接受方案A测试的有100（0.02+0.03）5人；接受方案B测试的有100（0.16+0.04）20人依题意，随机变量X服从超几何分布，记这6人中接受方案A预测试的人数为k，则P（Xk）=C5kC206-kC256，其中k0，1，2，3，4，5C51C205C52C204C50C206C53C203C54C202C55C201得P（Xk）maxP（X1），即X1的可能性最大，故X的最有可能的取值是1；