人教A版数学必修4第一章1.2.2 同角三角函数基本关系 教案.docx

1.2.2 同角三角函数的基本关系一、教学目标1理解同角三角函数的基本关系式2会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明二、课时安排1课时三、教学重点理解同角三角函数的基本关系式四、教学难点运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明五、教学过程（一）情景导入哲学中有个命题：任何事物之间都存在着某种联系，联系是普遍存在的比如蝴蝶效应，在南美洲亚马孙河流域的热带雨林中，一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风这从一个侧面说明事物的普遍联系性既然这样，作为三角函数的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗？它们具有怎样的关系？这些关系又有哪些应用呢？（二）讲授新课探究：之间有何关系？在直角三角形OMP中由勾股定理得由正切函数定义很容易得到：平方关系: 商数关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.“同角”二层含义:一是”角相同”,二是”任意”一个角.在的终边上任取一点，它与原点的距离是，则角的三角函数的值是：，由三角函数定义我们可以看到：同角三角函数的基本关系式总结如下：平方关系：商数关系：（三）重难点精讲题型一、求值例1、已知cos，求sin和tan的值分析 需分是第二象限角与第三象限角讨论解析cos<0，是第二或第三象限角当是第二象限角时，sin，tan；当是第三象限角时，sin，tan.点评(1)基本三角关系式sin2cos21对一切R成立；tan仅在k(kZ)时成立不论哪种情况，我们都称它们为三角恒等式也就是这些关系式是它们各自定义域上的恒等式，即当a取使关系式都有意义的任意值时，关系式两边的值都相等，以后所说的恒等式，就是指这个意义下的恒等式(2)若角的象限未确定，需对分象限进行讨论(3)本题解题中常见的错误是求sin时忽视符号的讨论，或注意到了分象限讨论，应用公式tan时，又多加上了符号：是第二象限时，tan<0，tan.练习1、已知sin，并且是第三象限的角，求cos、tan的值分析先考虑利用平方关系求出cos，再利用商数关系求出tan.解析sin2cos21，cos21sin21()2.又是第三象限角，cos<0即cos，tan().例2、已知tan3.(1)求sin和cos的值(2)求的值(3)求sin23sincos1的值分析tan3，即sin3cos，结合sin2cos21，解方程组可求出sin和cos；对于(2)，注意到分子分母都是sin与cos的一次式，可分子分母同除以cos化为tan的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1sin2cos2然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2可化为tan的表达式，也可以将sin3cos代入sin2cos21中求出cos2，把待求式消去sin，也化为cos2的表达式求解解析(1)tan3>0，是第一或第三象限角当是第一象限角时，结合sin2cos21，有.当是第三象限角时，结合sin2cos21，有.(2)tan3，.(3)tan3，sin2cos21，原式1.点评已知tanm.求sin(或cos)时，可结合平方关系sin2cos21解方程组求解；求分子、分母都是sin与cos的同次(k次)表达式的值时，常用分子、分母同除以cosk化切求解，分母是1的用1sin2cos2代换，求sin与cos的整式表达式的值时，常利用sinmcos化为cos2的表达式求解题型二、化简例3、化简下列各式：(1)；(2).分析由题目可获取以下主要信息：(1)中含有二次根式(2)中所含角的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2cos21”这一条件解析(1)原式1.(2)方法一：原式.方法二：原式.方法三：原式.规律总结：(1)所谓化简，就是将表达式经过某种变形，从而使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值(2)第(2)题的三种方法虽然思路不同，但都是应用公式sin2cos21，方法二和方法三都是顺用公式，而方法一则是逆用公式，三种方法中以方法一最简单这里所谓逆用公式sin2cos21，实质就是“1”的三角代换：“1sin2cos2”，“1tan”等等，“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用练习2、已知是第三象限角，化简：.解析.是第三象限角，|cos|cos.原式2tan，故2tan.题型三、证明例4、求证：2(1sin)(1cos)(1sincos)2.分析此等式左、右两边繁简程度差不多，故可考虑从左向右证，也可考虑从右向左证，平方展开，化简，再因式分解证明证法一：左边2(1sincossincos)1(sin2cos2)2sin2cos2sincos(12sinsin2)2cos(1sin)cos2(1sin)22cos(1sin)cos2(1sincos)2右边原式成立证法二：右边左边(1sin)2cos22cos(1sin)2(1sin)(1cos)(1sin)2(1sin2)2(1sin)cos(1cos)(1sin)2(1sin)(1sin)2(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)20.左边右边原式成立证法三：令1sinx，cosy，则由sin2cos21，消去得(x1)2y21，即x2y22x，左边2x(1y)2x2xyx2y22xy(xy)2右边原式成立点评证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地化简证明三角恒等式的基本原则：由繁到简常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右归一常用技巧：“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想练习3、证明下列三角恒等式：(1)；(2) .分析(1)“切”化“弦”；(2)左边入手，利用平方差公式证明(1)左边右边，所以原等式成立(2)左边右边，所以原等式成立.（四）归纳小结（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此，（2）诸如，它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论（五）随堂检测1. 若sin >0，化简：解 原式1.2、已知sincos，且0<<，求sincos的值解析sincos，(sincos)2，解得sincos.(sincos)212sincos.0<<，且sincos<0，sin>0，cos<0，sincos>0，sincos.六、板书设计1.2.2 同角三角函数的基本关系新知探究题型一：题型二：题型三：学生板演练习七、作业布置本课同步练习以及预习1.3.1八、教学反思第 10 页