二重积分的计算方法ppt课件.ppt

第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分利用三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结小结 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有二重积分仅与被积函数及积分域有关关,为此为此, 先介绍：先介绍： 1、积分域、积分域 D:如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型区域的特点型区域的特点：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；与区域边界的交点不多于两个； b、).()(21xx（1）X-型域（2）Y-型域：型域：,dycY型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型区域的特点型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界的交点不多于两个。线与区域边界的交点不多于两个。b、).()(21yy).()(21yxyaxbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy 2、X-型域下二重积分的型域下二重积分的计算计算: 由几何意义，若由几何意义，若 此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲截面为曲边梯形面积为：边梯形面积为：DVdxdyyxf),(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)0),(yxf则则yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 dy.yf(xdxba(x)(x)21 注注: 若若 (x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意: : 1 1）上式说明）上式说明: : 二重积分可化为二次定二重积分可化为二次定积分计算积分计算; ;2 2）积分次序）积分次序: X-: X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3）积分限确定法）积分限确定法: : 域中一线插域中一线插, , 内限定上下，内限定上下， 域边两线夹，外限依靠域边两线夹，外限依靠它。它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 同理：同理：Y型域下型域下 )()(21),()(yydxyxfyB 于是于是 Ddcyydyyxfdyxf ),(),()()(21面积为：面积为：为曲边梯形，为曲边梯形，常数截立体，其截面也常数截立体，其截面也用y用y 知的立体体积.知的立体体积.亦为平行截面面积为已亦为平行截面面积为已 1）积分次序）积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2）积分限确定法）积分限确定法: “域中一线插域中一线插”, , 须用平行于须用平行于X X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可记记为为注意注意: 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。一定要做到熟练、准确。4 4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.例例 1 1 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解：解：两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1(,)0 ,0(22 yxxy2xy 2yx 2xy 2yx X型型 xyxx210 Ddxdyyx)(2dxdyyxxx)( 1022dxxxxxx)(21)(42102 .140332xy 2yx Y型型yxyy210 Ddxdyyx)(2dydxyxyy 1022 )(.14033 D例例2 2解：解：围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD），左左边边交交点点坐坐标标为为（11所所围围成成的的闭闭区区域域。及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算2,2 xyxyDxydD 例例3解解： （如图）将如图）将D作作Y型型 2212yyDxydxdyxyd dyyyydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2 , 4-122yx 2 yx 1, 1 xy)(yx后后先先5、若区域为组、若区域为组合域，如图则：合域，如图则：3D2D1D.321 DDDD0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型，型， 又是又是Y型型, 则有则有 Dbaxxdxfdydyxf)()(21),( dcyydyfdx)()(21 例例 4 4 改改变变积积分分 yydxyxfdydxyxfdy20303110),(),(的的积积分分次次序序. xxdyyxfdx32120),(. 解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231yx 3yx2 yxy20,10 yxy 30 ,31xyxx 321,20原式原式例例 5 5 改改变变积积分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序. axy2 解：解：= ayaaaydxyxfdy02222),( 原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例6 6解：解：. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 例例 7 7 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型7.小结三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdyeAoDiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00 DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrrrffdxdyyxf 1 直系与极系下的二重积分关系（如图）iiiiirrr 2221)(21i（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”： rdrddxdyDDryrxrxysincos2 极系下的二重积分化为二次积分的的上上下下限限关关键键是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算二重积分仍然需要化为二次积分来计算。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1）区域如图）区域如图1, ).()(21 r具体地（如图）具体地（如图）图图1（2）区域如图）区域如图2, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r图图2AoD.)sin,cos()(0 rdrrrfd（3）区域如图）区域如图3, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r图图3 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（4）区域如图）区域如图4).(0 rDoA,2 0)(r图图4例例 1 1 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为 R 的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解在极坐标系下在极坐标系下D：Rr 0， 20. dxdyeDyx 22 Rrrdred0202 ).1(2Re 20)1(212deR例例2 2 求求广广义义积积分分 02dxex. 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例例 3 3 求求双纽双纽线线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a解解)0,( yx倍倍，限限部部分分立立体体体体积积的的为为第第一一卦卦由由对对称称性性，所所求求体体积积4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244. ,2acos 20D r，0：在极系下：在极系下：（如图）（如图）.)(2)( 4例2222222所围成图形的面积和求双纽线ayxyxayxcos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244从而从而rdrrada 20cos202244 2033)sin1(332da)322(3323 a例例 5 5 写写出出积积分分 21110),(xxdyyxfdx的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式 1 yx122 yx解解如如图图：在在极极坐坐标标系系下下 sincosryrx圆圆方方程程为为 1 r, 直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd20 计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点： 先要考虑积分区域的形状，先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。其次，化二重积分为二次积分。 根据区域形状和根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。定外限。最后，计算二次积分。最后，计算二次积分。 由内向外逐层计算，内层由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。积分计算时，外层积分变量看做常量。四、小结