二项式定理优质课ppt课件.ppt
二项式定理二项式定理路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索第一章计数原理第一章计数原理1：知道二项式定理推导过程。：知道二项式定理推导过程。2：会写出二项式定理展开式。：会写出二项式定理展开式。3：会写出二项展开式的某一项。：会写出二项展开式的某一项。学习目标学习目标第一章计数原理第一章计数原理?)(3 ba?)(2 ba222baba 3223233)()(babbaababa?)( nba（1）展开后有多少项）展开后有多少项（2）各个单项式的形式）各个单项式的形式（3）各个单项式的系数）各个单项式的系数要解决哪些问题？思考：快速展开nba)(情景引入情景引入1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的年冬，牛顿研读沃利斯博士的无穷算术无穷算术。牛顿思考？。牛顿思考？第一章计数原理第一章计数原理体验感知体验感知含含a2 2、ab、b2 2这三种形式的项是如何得到的这三种形式的项是如何得到的? ?各项的系数是如何确定的？各项的系数是如何确定的？请你观察请你观察( (a+ +b) )2( (a+ +b) )3的展开式并思考：的展开式并思考：()()ab ab222aab b a2ab ba b22()a b 这四种形式的项是如何得到的这四种形式的项是如何得到的? ?恰有恰有0个取个取b的情况有的情况有 C20种，则种，则a2前的系数为前的系数为C20恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2 第一章计数原理第一章计数原理清除清除探究发现探究发现问题问题: :( (a+b) )4的展开式中会有哪几种形式的项？的展开式中会有哪几种形式的项？()()()()ab ab ab ab 4()a b 432234464aa ba babb abaaaaabaabaaabaaaab4123abaaabaaabaa清除清除( (a+b) )4的展开式中各项的系数是多少？的展开式中各项的系数是多少？0个个b，4个个a，4a1个个b，3个个a，3a b2个个b，2个个a，22a b3个个b，1个个a，3ab4个个b，0个个a，4b第一章计数原理第一章计数原理探究发现探究发现4()a b 4a3a b3ab04C14C34C 22a b24C 4b44C 3a2a b3b03C13C33C3()a b 2ab23C 2aab2b02C12C22C2()a b 11Cab01C1()a b 问题问题3:3:你能将你能将()na b ?问题问题4:4:你能猜想你能猜想( (a+ +b) )n n的展开式吗？的展开式吗？( (a+ +b) )3 3( (a+ +b) )2 2( (a+ +b) )1 1的展开式写成类似的形式吗？的展开式写成类似的形式吗？第一章计数原理第一章计数原理证明思路：证明思路：an-kbk是从是从n个个(a+b)中取中取k个个b, n-k个个a 相乘得到的相乘得到的, knC有有 种情况可以得到种情况可以得到an-kbk , (nN*)()na b .探究发现探究发现 01122 2nnnnnnC aC ab C ab(nN*)故每一项都是故每一项都是an-kbk的形式，的形式，这这n个个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，中各任取一个字母相乘得到的， k=0, 1, , n;为什么每一项都是为什么每一项都是an-kbk的形式？的形式？(a+b)n是是n个个(a+b)相乘，相乘，(binomial theorem)因此因此, 该项的系数为该项的系数为展开式中的每一项都是从展开式中的每一项都是从 kn kknC ab?knC为什么含为什么含an-kbk的项的系数是的项的系数是？knC n nnC b第一章计数原理第一章计数原理 用用 表示，表示，即通项为展开式的第即通项为展开式的第 项。项。1kT1k右边的多项式叫做右边的多项式叫做 的的展开式展开式，其中的系，其中的系数数 叫做叫做二项式系数二项式系数。nba)( nkCkn, 2 , 1 , 0式中的式中的 叫做叫做二项式通项二项式通项，kknknbaC )()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 二项式定理二项式定理kknknkbaCT 1通项公式通项公式第一章计数原理第一章计数原理011()rnnnn nnnn r rnna bCaCa bbCCa b定理定理剖剖 析析1.二项式系数规律：二项式系数规律：nn2n1n0nCCCC、 2.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）二项展开式中）二项展开式中a的次数由的次数由n降到降到0， b的次数由的次数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律： 二项展开式共有二项展开式共有n+1个项个项4.4.kknknkbaCT 1通项公式通项公式(1)nx ?第一章计数原理第一章计数原理061524266611(2)(2) ()(2) ()CxCxCxxx 61(2)xx求的展开式.解解: :61(2)xx 32236012164192240160 xxxxxx 333424556666661111(2) ()(2) ()(2) ()()CxCxCxCxxxx 实战演练实战演练第一章计数原理第一章计数原理解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为 T4=C73(-2x)3=-280 x3, 第四项的二项式系数是C73=35； 第四项的系数是C73(-2)3=-280 .例1：(1)求(1-2x)7的展开式中 , 第四项的二项式系数和第四项的系数。注意某项的二项式系数和项的系数的区别。第一章计数原理第一章计数原理931xxx(2)：求的展开式中 的系数。解：展开式的通项是 注意：展开式中第 r + 1 项的二项式系数 与第 r + 1项的系数不同。.根据题意，得 9 2r = 3 r = 3 注意：展开式中第 r + 1 项的二项式系数 与第 r + 1项的系数不同。 注意：展开式中第 r + 1 项的二项式系数 与第 r + 1项的系数不同。99 219911rrrrrrrTC xC xx 3339184xC 因此， 的系数是第一章计数原理第一章计数原理课堂检测：课堂检测：610CA. B. C. D.A. 10 B. 5 C. D.1610C510C510C5)21(x2x251. 的展开式的第的展开式的第6项的系数（项的系数（ ） 10)1(x2. 的展开式中的展开式中 的系数为（的系数为（ ） 3.已知已知 的展开式中常数项为的展开式中常数项为1120，其，其中中 是常数，则是常数，则 = 8)(xax aa_2DC第一章计数原理第一章计数原理2931)xxx练习4：求（的展开式中 的系数，展开式中的常数项。第一章计数原理第一章计数原理这节课我们学到了哪些知识点？使用了什么数学思想方法？从特殊到一般，归纳猜想的数学思想从特殊到一般，归纳猜想的数学思想类比类比二项展开式、二项式定理及相关概念二项展开式、二项式定理及相关概念第一章计数原理第一章计数原理1）区别二项式系数，项的系数区别二项式系数，项的系数2）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 项数：共项数：共n+1项项 指数指数:a的指数从的指数从n逐项递减到逐项递减到0,是降幂排列；是降幂排列； b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n，是升幂排列。，是升幂排列。二项式系数规律：二项式系数规律： nba)( 222110baCbaCaCnnnnnnknn kknnnabbCC1()knn kkknababCT的展开式通项的特点：nn2n1n0nCCCC、 第一章计数原理第一章计数原理课本课本31页练习页练习1、2、3
