2020中考专题练习---等腰三角形的存在性问题.docx

等腰三角形的存在性问题根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB = BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意模块一：以函数为背景的等腰三角形问题1、 知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：2、 解题思路：（1） 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2） 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之例题解析ABCDE【例1】 如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，ADE =B设BD的长为x，CE的长为y（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果为等腰三角形，求x的值【答案】（1）；（2）（）；（3）2或【解析】解：，（1）当D为BC中点时，（2），x的取值范围为（3）分情况讨论，当AD = AE时：，此情况不存在；当AD = DE时：，即，解得：（舍）或；当AE = DE时：又，解得：，综上：x的值为2或【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用yxOKACHGDEB【例2】 已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH = HK；（3）当是等腰三角形时，求m的值【解析】（1）；（2）略； （3）m的值为或【解析】（1）抛物线的顶点为E（，4），设抛物线的解析式为（）又抛物线过点A（，0），这条抛物线的解析式为；（2）A（，0），E（，4），C（0，3） 直线AE的解析式为；直线AC的解析式为， D的横坐标为m，轴，G（m，2m + 6），H（m，m + 3）K（m，0），GH = m + 3，HK = m + 3，GH = HK；（3）C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3） 1 若CG = CH，则解得：，都是原方程的解，但不合题意舍去；所以这种情况不存在 2 若GC = GH，则，解得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去； 3 若HC = HG，则，解得： 综上所述：当是等腰三角形时，m的值为或【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择模块二：与圆有关的等腰三角形问题知识精讲1、 与圆有关知识内容：在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有：（1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件；（2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形2、 解题思路：与模块一类似；（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）；（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根例题解析【例3】 如图，在中，ACB = 90，AC = 8，tan B =，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点（1）当点E在BC的延长线上时，设PAx，CEy，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）以点Q为圆心，QB为半径的Q和P相切时，求P的半径；（3）射线PQ与P相交于点M，联结PC、MC，当PMC是等腰三角形时，求AP的长ABCDEPQ【答案】（1），（）；（2）P的半径为或； （3）AP的长为或或5或8【解析】解：（1）AP = PD，PE = PB =，（）；（2）可以求出，PA = x，外切时，解得：，内切时，解得：， 综上所述，P的半径为或；（3），分情况讨论： PM = PC时，解得：（此时E与C重合）； PM = MC时，解得：或； PC = MC时，解得：或（舍）综上所述，AP的长为或或5或8【总结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论，另一方面考查了等腰三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结【例4】 如图，已知在中，AB = 5，P是BC边上的一点，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D（1）求AD的长；（2）设CP = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；BCAPEQDH（3）过点C作，垂足为F，联结PF、QF，如果是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长【答案】（1）；（2）（）； （3）CP的长为2或【解析】（1）在RtABC中，ACB=90， ，90，90 =90，（2）作，垂足为点H=90，=90，=90， ， 即，定义域为（3）解法一：在RtPBE中，90， ， 如果，那么，解得：如果，那么， 解得：（不合题意，舍去），综上所述，如果PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或解法二：在RtPBE中，90， 如果，那么，如果，那么，解得：， 综上所述，如果PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可模块三：与角有关的等腰三角形问题有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形【例5】 如图1，在ABC中，ABC = 90，AB = 5，C = 30，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DEAB于点E，DFBC于点F，联结EF，设AE = x，EF = y（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）以F为圆心、FC为半径的F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的值；（3）如图2，联结BD，将EBD沿直线BD翻折，点E落在点E处，直线BE与直线AC相交于点M，当BDM为等腰三角形时，求ABD的度数ABCDEFABCDEEMGH图1 图2【答案】（1）（）；（2）x的值为；（3）ABD的度数为20或40或80【解析】解：（1）， DE/BC，（定义域为）；（2）作GHBC于H，易得：，解得：，（舍去）（3）分情况讨论，设，则， BD=BM时，当点M在AC边上时，又，解得：；当点M在CA的延长线上时，同理可得； BD=DM时，又，又，； DM=BM时，不可能【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用，注意等腰三角形的分类讨论练习【习题1】 已知：如图1，在梯形ABCD中，AD/BC，BCD=90， BC=11，CD=6，tanABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF/AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AMMN，设FMcosEFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长（备用图）ACBDEF（图2）ACBDEFNM（图1）ACBDEF【答案】（1）CF的长为5； （2）（）； （3）线段FM的长为或或ACBDEFG【解析】（1）作AGBC于点G，BGA = 90，BCD = 90，ADBC，AG = DC = 6，tanABC = = 2，BG = 3，BC = 11GC = 8，AD = GC = 8，AE = 3EDAE = 6，ED = 2ADBC，ABEF，BF = AE = 6，CF = BC-BF = 5（2）过点M作PQCD，分别交AB、CD、AG于点P、Q、H，作MRBC于点R，易得GH = CQ = MRMFcosEFC = x，FR = xtanABC = 2，GH = MR = CQ = 2xBG = 3，由BF = 6，得：GF = 3，HM=3 + x，MQ = CF-FR = 5-x，AH = AG-GH = 6-2x AMQ=AHM+MAH，且AMN=AHM=90， MAH=NMQ， ，即， ，定义域：；（3）AMN = 90ACBDEFNMPGQHR1）当点M在线段EF上时，且AM = MN，AH=MQ6-2x = 5-x，x = 1FM =ACBDEFGHQRNM2)当点M在FE的延长线上时同上可得AH = MQ2x-6 = 5-xANM = 90ACBDEFNMPHQRG过点N作PQCD，分别交AB、AG于点P、H，作MRBC于交BC延长线于交直线PN于点Q，AN = MN，易得AH = NQ，HN = MQ = 8令PH = a，则AH = 2a，DN = 2a，CN = 6-2aFR = 5 + 2a，MR = 8 +（6-2a）= 14-2a由MR = 2FR得a =，FR=，MR=，FM =，综上所述，线段FM的长为或或【总结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用【习题2】 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB5，BC8，cosB，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点GABCDEFGPH（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当AP/CG时，求弦EF的长；（3）当AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长【答案】（1）CP的长为5；（2）； （3）圆C的半径长为【解析】解：（1）作AHBC于HBH = 4，AH = 3，CH = 4，CP = AC = 5；（2）AP/CG，APCE为平行四边形， 又CE = CP， APCE为菱形设CP = x，则AP = CP，即，解得：，；（3）设，则，分情况讨论 AE = AG，解得：； AE = GE，解得：，此时E在F点右边，舍去； AG = GE，解得：或，均不可能，舍去当AE = 3时，【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求出的值的取舍课后作业【作业1】 如图，在中，C = 90，BC = 3，AB = 5点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CAB的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒（1）当t =_秒时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，为等腰三角形？【答案】（1）ABCPQ7；（2）【解析】解：（1）Q到B点需要，此时P点行了4.5个单位，两点相距个单位，再过，即一共过7秒后，P与Q相遇（2）P在B到C的过程中，Q从CA边到了AB边，需要分情况讨论Q在AC边上，即时，只可能CP = CQ，解得：；Q在AB边且未到B点时，即时，a) CQ = PQ，作QHAC于H，解得：；b) PC = CQ，在时，不可能；c) PC=PQ，不可能综上所述，当时，为等腰三角形【总结】本题主要考查动点背景下的等腰三角形的分类讨论问题【作业2】 在O中，OC弦AB，垂足为C，点D在O上 （1）如图1，已知OA = 5，AB = 6，如果OD/AB，CD与半径OB相交于点E，求DE的长；（2）已知OA = 5，AB = 6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且是等腰三角形，求AF的长；（3）如果OD / AB，CDOB，垂足为E，求sinODC的值OABCABCDEO图1 图2【答案】 （1）；（2）AF的长为或；（3）【解析】解：（1）OCAB，AC = CB = 3，OC = 4OD/BC，ODOC，；（2）OD = 5，OC = 4，是等腰三角形，CD = 4或CD = 5 当CD = 5时，OCCF，D为OF中点，； 当CD = 4时，作CHOD于H，作DIOC于I，（3）OCCB，CEOB，设BC=x，可得，即，解得：（负的舍去）【总结】本题综合性较强，主要考查了垂径定理及相似三角形的性质，锐角三角比的综合运用，解题时注意分析