微积分基本公式与计算ppt课件.ppt
二、定积分的计算二、定积分的计算一、牛顿一、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 微积分的基本公式 第六章第六章 与定积分的计算一一 微积分的基本公式微积分的基本公式 引引 积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题，我们在第的求法问题，我们在第5 5章中已经对它做了讨论；第章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题二个问题就是定积分的计算问题. . 如果我们要按定如果我们要按定积分的定义来计算定积分积分的定义来计算定积分, , 将会十分困难将会十分困难. . 我们知我们知道道, , 不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念和的极限的概念是完全不相干的两个概念. . 但是但是, , 牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的内在联系间存在着的内在联系, , 提出了提出了 “ “微积分学基本定微积分学基本定理理”. . 从而使积分学与微分学一起构成微积分学从而使积分学与微分学一起构成微积分学. . Newton-Leibniz 公式（微积分基本公式）公式（微积分基本公式）上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式) 定理定理.函数函数 , 则则微积分基本公式表明：一个连续函数在区间微积分基本公式表明：一个连续函数在区间 a, ,b 上上的定积分等于它的任意一个原函数在区间的定积分等于它的任意一个原函数在区间 a, ,b 上的增上的增量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。例例1. 计算计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127)4(.)1sincos2(20 dxxx解解原式原式 20cossin2 xxx .23 例例2. 求求 例例3. 设设, , 求求 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf120125xdxdx6 例例4. .计算正弦曲线计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积的面积 . . 解解: :0dsinxxAxcos01()12Oyxxysin不定积分不定积分二、定积分的计算二、定积分的计算换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法2、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 1、定积分的换元法、定积分的换元法 3、定积分的计算技巧、定积分的计算技巧先来看一个例子先来看一个例子例例1 13011dxx换元求不定积分换元求不定积分令令1tx则则21xt121tdxdttx2tC21xC 故故33001211dxxx2dxtdt21、定积分的换元法、定积分的换元法 定理定理1. 设函数设函数, ,)(baCxf单值函数单值函数)(tx满足满足:1), ,)(1Ct 2) 在在,上上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t则则3011dxx212tdtt令令1tx则则21xt2dxtdt 当当x 从从0连续地增加到连续地增加到3时，时，t 相应地从相应地从1连续连续地增加到地增加到2于是于是3011dxx2122t说明说明: :1) 当当 , 即即区间换为区间换为，时,定理定理 1 仍成立仍成立 .2) 必须注意必须注意换元必换限换元必换限 。但计算定积分值时。但计算定积分值时原函数中的新变量不必代回原函数中的新变量不必代回 .tfxxfbadd)()(t)(t例例2. 计算计算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt则则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且且 例例3：计算计算2ln01dxex解：解：令令tex1dtttdxtx12) 1ln(2200,ln21xtxt102212dttt102)111 (2dtt)arctan(2tt )41 (2例例4：计算计算21ln11edxxx0121ln1) 1(lnexxdxln122e2 32 换元必换限换元必换限不换元则不换限不换元则不换限1520cossin.xxdx解解520cossinxxdx520coscosxdx 620cos6x .61 例例5 5 计算计算 注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新的变量，则上下限不必变动。的变量，则上下限不必变动。 即即 配元不换限配元不换限 换元必换限换元必换限不换元则不换限不换元则不换限2、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 , ,)(, )(1baCxvxu设则则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(边积边代限边积边代限20cos.xxdx 例例1 求求 原式原式 ,cos ,uxvx2200 sin sinxxxdx 20cos2x 1.2 解：解：1,sin uvx则则例例2. 计算计算.dln21exxx解解: 原式原式=212dln21exxxx ln21212e1212dxxxe) 13(414ebbbaaauv dxuvvu dx2ln;112uxvxuxvx 4122e22112ex,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx2,sec1,tanux vxuvx= 40tan21 xxxdxtan2140 401ln cos82x.42ln8 例例3 计算计算.2cos140 xxdx解解4201sec2xxdxbbbaaauv dxuvvu dx10.xedx例例4 求求 解解 令令,xt102tte dt110022tttee dt1022|2.tee则则 x = t 2, dx = 2tdt原式原式 = 注注 此题同时使用了换元法和分部积分法此题同时使用了换元法和分部积分法.,1,ttut veuve=bbbaaauv dxuvvu dx例例5. 计算计算bbbaaauv dxuvvu dx.darcsin210 xx解解: 原式原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x021122312arcsin1;11uxvuxvx 规律规律, ,)(aaCxf设(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则1）偶倍奇零）偶倍奇零3、定积分的计算技巧、定积分的计算技巧特别的，特别的，当出现积分区间关于原点对称时，可以先考当出现积分区间关于原点对称时，可以先考察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。121(1tan ).xx dx例例1 求求 解解 11211tandxxxdx20原式原式 = 2奇函数奇函数1321(23).xxxdx例例2 求求 解解 112311(3)(2 )xdxxx dx1202(3)xdx原式原式 = 13011623.33xx 奇函数奇函数例例8 计算下列定积分计算下列定积分 xdxxxI222sin1cos. 1xdxxI222sin1xdxx222sin1cos解解xdxx220sin1cos2)narctan(si2x022奇函数奇函数220sin21 sindxx偶函数偶函数xdxxI21. 2解解xdxxI11xdxx21xdx232105225x12) 124(52奇函数奇函数2）利用定积分的几何意义）利用定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。计算计算220aax dxax 22xay o解解 由定积分的几何意义由定积分的几何意义 adxxa022等于圆周的第一象限部分的面积等于圆周的第一象限部分的面积42a 例例3 计算计算2224x dx-解解由定积分的几何意义由定积分的几何意义该积分等于半圆面积，即该积分等于半圆面积，即2p=24yx=-o2224x dx- -222例例4 计算计算.11cos21122 dxxxxx解解原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数奇函数奇函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11 (4dxx 102144dxx.4 四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积内容小结内容小结 基本积分法基本积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法换元必换限换元必换限配元不换限配元不换限边积边代限边积边代限作业作业P178 5 (1) (2) (4) (5) (6) (8) (11) ; P183 1(1)(2)(10)(11); 2(1)(2); 3(1)(6)()(d)(aFbFxxfba牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 积分技巧积分技巧偶倍奇零偶倍奇零利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义2）利用定积分的几何意义）利用定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。例例2. 计算计算).0(d022axxaa解解: 令令,sintax 则则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2且且
