2020年九年级中考三轮冲刺复习培优同步练习：《相似综合》（解析版）.doc

三轮冲刺复习培优同步练习：相似综合1如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将AEF绕点A逆时针旋转（0360），直线BE，DF相交于点P（1）若ABAD，将AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 ，数量关系是 （2）若ADnAB（n1）将AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由（3）若AB6，BC8，将AEF旋转至AEBE时，请直接写出DP的长2如图1，矩形ABCD中，AB8，BC6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G（1）如图2，当EFBD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；（2）如图3，连接DG，当EFBD且DFG是直角三角形时，求AE的值；（3）当AE2AF时，FG的延长线交BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由3如果三角形的两个内角与满足90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC是“准互余三角形”，A90，B20，求C的度数；（2）如图，在RtABC中，BAC90，AB4，BC5，点D是BC延长线上一点若ABD是“准互余三角形”，求CD的长；（3）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC4，CD5，BAC90，ACD2ABC，且BCD是“准互余三角形”，求BD的长4【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图，在矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；【结论应用】（2）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB2，BC3求折痕EF的长；【拓展运用】（3）如图，将矩形ABCD沿EF折叠使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB2，BC3，EF，请求BP的长5如图（1），已知正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BEDF，AE、AF分别交BD于点G、H（1）求证：BGDH；（2）连接FE，如图（2），当EFBG时求证：ADAHAFDF；直接写出的比值6定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”概念感知（1）如图1，在ABC中，AC12，BC10，ACB30，试判断ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由问题探究（2）如图2，ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把ABC沿BC翻折得到DBC，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是ABD的重心，求的值拓展提升（3）如图3，l1l2，且直线l1与l2之间的距离为3，“准黄金”ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，若ABC是钝角，将ABC绕点C按顺时针方向旋转（090）得到ABC，线段AC交l1于点D当30时，则CD ；如图4，当点B落在直线l1上时，求的值7在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE、AF交于点M（1）如图1，E为AB的中点，AFBC交BC于点F，过点E作ENAF交AF于点N，直接写出的值是 ；（2）如图2，B90，ADEBAF，求证：AEMAFB；（3）如图3，B60，ABAD，ADEBAF，求证：8定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形（1）概念理解：在互补四边形ABCD中，A与C是一组对角，若B：C：D2：3：4，则A ；如图1，在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BEBCABBD，求证：四边形ADEC是互补四边形（2）探究发现：如图2，在等腰ABE中，AEBE，点C，D分别在边BE，AE上，ADBC，四边形CEDH是互补四边形，求证：ABDBACE（3）推广运用：如图3，在ABE中，点C，D分别在边BE，AE上，ADBC，四边形CEDH是互补四边形，若E60，AB6，AE，求的值9如图，在四边形ADBC中，BA平分DBC，且BDABAC90，点E是BC的中点，连接DE交AB于点F（1）求证：AB2BDBC；（2）当DBA30时，求；（3）是否存在点F，使F是AB的三等分点？若存在，请求出DBA的度数；若不存在，请说明理由；（4）求BDE的最大值10如图1，在等边ABC中，D，E分别是射线BC、AB上的点，ADE60（1）求证：ADEABD；（2）点D在BC延长线上，延长AC交DE于M，如图2，若，求；如图3，点N在DE上，ADDN，且AN交BD于点H，若，直接写出的值11已知AD是ABC的内角平分线（1）如图1，BMAC交AD的延长线于点M，求证：；（2）如图2，过点C作CHAB，DAHB，AC4，若，CH1，求CD的长；（3）如图3，AD的延长线与ACB的外角平分线CE交于点E，AB6，BC4，cosBAC，直接写出BE的长为 12如图1，在RtABC中，BAC90，AD为BC边上的高，点E在线段AB上，连接CE交AD于F点（1）若CE平分ACB求证：AEAF如图2，过E作EGEC交BC于G，cosACE，求的值（2）如图3，ABmAC，AEnBE，过E作EGEC交BC于G当EFEG时，直接写出m、n满足的数量关系为 13如图，在矩形ABCD中，连接BD，点E为AB上一点，使得EDBBDC，连接CE，交BD于点P，作BFBD交DE的延长线于点F（1）求证：BD2DFDC（2）若AE1，DC3，求PC的长，（3）在（2）的条件下，将BDC沿着BD对折得到BDQ，点C的对应点为点Q，连接AQ，试求AQE的周长14在ABC中，ABAC，BAC，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转得到线段DP，连结AP，CD，BD（1）观察猜想：如图1，当60时，线段CP绕点P顺时针旋转得到线段DP，则的值是 ，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是 ；（2）类比探究：如图2，当90时，线段CP绕点P顺时针旋转得到线段DP请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明BCD与ACP相似，求出的值；（3）拓展延伸：当90时，且点P到点C的距离为AC，线段CP绕点P逆时针旋转得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求的值15ABC中，D是BC的中点，点G在AD上（点G不与A重合），过点G的直线交AB于E，交射线AC于点F，设AExAB，AFyAC（x，y0）（1）如图1，若ABC为等边三角形，点G与D重合，BDE30，求证：AEFDEA；（2）如图2，若点G与D重合，求证：x+y2xy；（3）如图3，若AGnGD，x，y，直接写出n的值16如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最小值17已知RtABC和RtDEB中，ACBDEB90，ABCDBE，DEkAC（其中0k1），连接AD、CE，点M为线段AD的中点，连接ME、MC，BDE绕点B顺时针旋转，探究线段ME与MC的数量关系（1）如图1，点E落在BC边上时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；（2）如图2，点E落在ABC内部时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；（3）若ABC30，k，当A、E、D共线时，直接写出的值18（1）如图1，在RtABC中，C90，ACBC，AP、BP分别平分CAB、CBA，过点P作DEAB交AC于点D，交BC于点E求证：点P是线段DE的中点；求证：BP2BEBA（2）如图2，在RtABC中，C90，AB13，BC12，BP平分ABC，过点P作DEAB交AC于点D，交BC于点E，若点P为线段DE的中点，求AD的长度19如图，四边形ABCD中，ADBC（1）如图1，ABAC，点E为AB上一点，BECACD求证：ABBCADBE；连接BD交CE于F，试探究CF与CE的数量关系，并证明；（2）如图2，若ABAC，点M在CD上，cosDACcosBMA，ACCD3MC，ADBC12，直接写出BC的长20在ABCD中，AB边的长为a，对角线AC的长为b，以点A为顶点的绕点A旋转，且在旋转过程中始终保持的两边分别与BC，DC的延长线相交，设交点分别为E，F（1）如图，当四边形ABCD为正方形，且45时，求证：ACFECA试用a或b的代表式表示CEF的面积（2）当四边形ABCD为菱形，且BAD90时，记SECFS1；当四边形ABCD为矩形，且ba时，记SECFS2请找出一个合适的，使得当转动时，在S1和S2中存在始终不变的值，并用关于a，b的代数式表示此时cos和的值参考答案1解：（1）如图2中，结论：BEDF，BEDF理由：四边形ABCD是矩形，ABAD，四边形ABCD是正方形，AEAB，AFAD，AEAF，DABEAF90，BAEDAF，ABEADF（SAS），BEDF，ABEADF，ABE+AHB90，AHBDHP，ADF+PHD90，DPH90，BEDF故答案为BEDF，BEDF（2）如图3中，结论不成立结论：DFnBE，BEDF，AEAB，AFAD，ADnAB，AFnAE，AF：AEAD：AB，AF：AEAD：AB，DABEAF90，BAEDAF，BAEDAF，DF：BEAF：AEn，ABEADF，DFnBE，ABE+AHB90，AHBDHP，ADF+PHD90，DPH90，BEDF（3）如图41中，当点P在BE的延长线上时，在RtAEB中，AEB90，AB6，AE3，BE3，ABEADF，DF4，四边形AEPF是矩形，AEPF3，PDDFPF43；如图42中，当点P在线段BE上时，同法可得DF4，PFAE3，PDDF+PF4+3，综上所述，满足条件的PD的值为43或4+32解：（1）连接AG，如图2所示，由折叠得：AGEF，EFBD，AGBD，在矩形ABCD中，AB8，BC6，DAB90，ADBC6，DB10，cosADB，DGADcosADB6（2）当DGF90时，此时点D，G，E三点共线，设AF3t，则FG3t，AE4t，DF63t，在RtDFG中，DG2+FG2DF2，即DG2（63t）2（3t）23636t，tanFDG，解得t，AE当GDF90时，点G在DC上，过点E作EHCD于H，则四边形ADHE是矩形，EHAD6设AF3t，则FG3t，AE4t，DF63t，FDGFGEEHG90，DGF+DFG90，DGF+EGH90，DFGEGH，GDFEHG，DG，GH84k，DG+GHAE，+84k4k，k，AE综上所述：AE或（3）当AEFGHE时，如图41，过点H作HPAB于P，AEFFEGEHG，EHG+HEG90，FEG+HEG90，AFEH90，AEFEHF，EF：HEAF：AE1：2，AHPE90，AEF+HEP90，HEP+EHP90，AEFEHP，AEFHPE，EA：HPEF：EH1：2，HP6，AE3当AEFGHE时，如图42，过点H作HPAB于P，同法可得EF：HE1：2，EA：HP1：2，设AFt，则AE2t，EP2t，HP4t，BP84t，BHPBDA，4t：6（84t）：8，解得：t，AE当AEFGEH时，如图43，过点G作MNAB交AD于点M，过点E作ENMN于N设AFt，则AE2t，DF6t，由翻折可知：AEFGEF，AEGE，AEFGEH，AEGE，AEFGEH（AAS或ASA），FGGH，MGDH，FM（6t），AMENAF+FM，又FMGGNE，且GF：GE1：2，MGNEAM，GN2FN6t，MNAE，+6t2t，解得t，AE当AEFGEH时，如图44，过点G作MNAB交AD于点M，过点E作ENMN于N，过点H作HQAD于Q，设AFt，则AE2t，设 FMa，NG2a，NEa+t，MGENAM，+2a2t，由上题可知：MFMQa，QH2MGa+t，DQ6t2a，解得t，AE，综上所述，满足条件的AE的值为3或或或3解：（1）ABC是“准互余三角形”，A90，B20，若AB90，则A110，C1801102050，若AC90，A+B+C180，C35；（2）BAC90，AB4，BC5，AC3，ABD是“准互余三角形”，BADB90，或BADADB90，当BADADB90，BAC+CADADB90，CADADB，ACCD3，当BADB90，BAC+CADB90，BCAD，ADCBDA，ADCBDA，CD；（3）如图，将ABC沿BC翻折得到EBC，CEAC4，BCABCE，CBACBE，EBAC90，ABE+ACE180，ACD2ABCABE，ACD+ACE180，点D，点C，点E三点共线，BCDACD+ACB2ABC+ACB90+ABC，BCDCBD90，BCD是“准互余三角形”，BCDCDB90，90+ABCCDB90，CDBABCEBC，又EE，CEBBED，即，BE6，BD34解：（1）：如图，过点A作APEF，交BC于P，过点B作BQGH，交CD于Q，BQ交AP于T四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，APEF，GHBQ又GHEF，APBQ，BAT+ABT90四边形ABCD是矩形，ABPC90，ADBC，ABT+CBQ90，BAPCBQ，ABPBCQ，（2）如图中，连接BD四边形ABCD是矩形，C90，ABCD2，BD，D，B关于EF对称，BDEF，EF（3）如图中，过点F作FHEG于H，过点P作PJBF于J四边形ABCD是矩形，ABCD2，ADBC3，A90，DG，AG1，由翻折可知：EDEG，设EDEGx，在RtAEG中，EG2AE2+AG2，x2AG2+AE2，x2（3x）2+1，x，DEEG，FHEG，FHGHGPGPF90，四边形HGPF是矩形，FHPGCD2，EH，GHFPCFEGEH1，PFEG，EAFB，AEGIPF，AFJP90，AEGJFP，FJ，PJ，BJBCFJCF31，在RtBJP中，BP5（1）证明：如图（1）中，四边形ABCD是正方形，ABAD，ABEADF90，BEDF，ABEADF（SAS），BAEDAF，ABGADH45，ABAD，BAGDAH，ABGADH（ASA），BGDH（2）证明：如图（2）中，过点H作HMAD于M，HNCD于N，连接GFADHCDH45，HMAD，HNDC，HMHN，CECF，C90，CEFCBD45，EFBD，BGEF，四边形EFGB是平行四边形，FGBC，ADBC，FGAD，GHEF，AEFAGH，ADAHAFDF设DFa，FCb，则ADCDa+b，BEDFaCECFb，由可知，DFG是等腰直角三角形，DGa，EFC是等腰直角三角形，BGEFb，BEAD，a2abb20，ab或ab（舍弃），6解：（1）结论：ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”理由：过点A作ADCB交CB的延长线于DAC12，C30，ADAC6，ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”（2）如图2中，A，D关于BC对称，BEAD，AEED，ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，不妨设AE3k，BC5k，C是ABD的重心，BC：CE2：1，CE，BE，ABk，（3）如图3中，过点A作AEBC于E，过点D作DFAC于F，设DFxABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，AE：BC3：5，AE3，BC5，AB，BE1，ECBE+BC6，AC3，在RtCDF中，DCF30，CD2x，CFx，ADBC，DAFACE，AFDAEC90，AECDFA，可得AF2x，AF+FCAC，2x+x3，x63，CD2x126如图4中，过点A作AEBC于E，过点D作DFAC于F，过点B作BGBC于G在RtCBG中，CGB90，GB3，CBCB5，CG3，GCBFCD，CGBCFD90，CGBCFD，DF：CF：CDGB：CG：CB3：4：5，设DF3k，CF4k，CD5k，AECDFA，可得AF6k，AD3k，7解：（1）ENAF，BFAF，ENBF，又E为AB的中点，BF2EN，故答案为：；（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABC90，四边形ABCD是矩形，BADABC90，ADEBAF，BADBAFABCBAFAEDAFB，又BAFMAE，AEMAFB；（3）证明：如图，连接AC，过点B作BPAC交AF的延长线于点P，BFPCFA，四边形ABCD是平行四边形，ABAD，四边形ABCD是菱形，ABC60，PBCACB60，ABP120，DAEABP，在ADE与BAP中，ADEBAP（ASA），AEBP，又ACAD，8（1）解：四边形ABCD是互补四边形，A与C是一组对角，A+C180，B+D180，B：C：D2：3：4，设B2x，则C3x，D4x，2x+4x180，解得：x30，C90，A90；故答案为：90；证明：BEBCABBD，又BB，BDEBCA，BEDA，A+CEDBED+CED180，四边形ADEC是互补四边形（2）证明：AEBE，ADBC，EDEC，在EAC和EBD中，EACEBD（SAS），EBDEACAEBE，EABEBA，ABDBAC，四边形CEDH是互补四边形，E+DHC180，AHBDHC，E+AHB180，ABD+BACE，ABDBACE；（3）解：如图3，作BFHC于点F，AGHD交HD的延长线于点G，则AGDBFC90，四边形CEDH是互补四边形，EDH+ECH180，ECH+BCF180，BCFEDHADG在ADG和BCF中，ADGBCF（AAS），AGBF，在ABG和BAF中，RtABGRtBAF（HL），HABHBAE30，在RtAGH中，AHGHAB+HBA60，GAH30，设GHx，则AGx，AH2x，AB2AG2x6，x，AH2，DAHCAE，DHAE60，ADHACE，9（1）证明：BA平分DBC，DBAABC，又BDABAC90，ABDCBA，AB2BDBC；（2）如图1，连接AE，BAC90，E为BC的中点，AEBC，点E是BC的中点，AEBE，23，BA平分DBC，12，13，BDAE，BDFAEF，设BC2x，则AEECACx，由勾股定理得，ABx，130，ADABx，BDx，；（3）当时，则2，即BD2AEBC，BDBC，不可能；当时； 如图1所示，由（2）得BDAE，BDFAEF，设BDx，则AE2x，BC4x，AB2BDBC，AB2x4x4x2，AB2x，BDA90，AB2BD，DBA60；（4）如图2，连接AE，过点A作AMBC，BA平分DBA，ADBD，AMBC，ADAM，当AM与AE重合时，AM最大，也就是AD最大，即AD的最大值为AE的长度DEA45，又BDAE，BDEDEA45，BDE的最大值为4510（1）证明：ABC是等边三角形，BC60，又ADE60，BADE，又BADDAE，ADEABD（2）解：ABC是等边三角形，ABC60，ADE60，ABCADE，ADEADB+BDE60，ABDBDE+E60，EADB，ABDADE，设AD4a，AB3a，AEa，；ADAN，ADM60，ADN是等边三角形，DAN60，BAHDAC，ABHADM60，ABHADM，由知ABDADE，设AD3a，AB2a，AEa，11证明：（1）AD是ABC的内角平分线，BADCAD，BMAC，BMACAD，BADBMA，ABBM，BMAC，；（2）延长AD，HC交于点F，过点C作CNAF于N，由（1）可得，AB，ABCH，ABDFCD，BBCF，CF4，ADDF，FHFC+CH5，DAHB，DAHDCF，又FF，FCDFAH，FD2，AD，AF，ACCF4，CNAF，ANFN，DN，在RtCNF中，CN，CD2；（3）过点B作BHAC于H，点E作EMAB于M，EGAC于G，ENBC于N，cosBAC，AB6，AH，BH，CH，AC5，AD平分BAC，EC平分BCG，EMAB，EGAC，ENBC，EMEGEN，AEAE，EMEG，RtAEMRtAEG（HL）AMAG，同理可得：CGCN，BNBM，BN+CN4，AB+BMAC+CG，BM，CG，SABC+SBCESABE+SACE，5+4EN6ME+4EG，ME，BE12（1）证明：如图1中，ADBC，ADC90，BAC90，B+ACD90，CAD+ACD90，BCAD，CE平分ACB，ACEBCE，AECB+BCE，AFCCAD+ACE，AEFAFE，AEAF解：如图2中，作AHEF于HAEAF，AHEF，EHFH，EAH+CAH90，CAH+ACH90，EAHACH，cosEAHcosACH，设AH4k，AE5k，则EHFH3k，cosACH，AH4k，CHk，ECEH+CH3k+kk，cosECGcosACE，CGk，EGk，（2）解：如图2中，作EMBC于M，ENAD于NADBC，EMBC，ENAD，EMDENDMDN90，EMN90，EGEC，GEFMEN90，GEMFEN，EGEF，EMGENF（AAS），EMEN，n，可以假设BDk，则ADnk，ADBADC90，BCAD，ADBCDA，mmmn1故答案为：mn113解：（1）四边形ABCD是矩形，DCB90，BFBD，DCBDBF90EDBBDC，DCBDBF，BD2DFDC（2）四边形ABCD是矩形，ABCD，BADBCDABC90，EBDBDC，EDBBDC，EDBEBD，EDEB，EBD+EBF90，F+EDB90，EBFF，EBEF，AE1，DCAB3，BEEFDE2，DF4，AD，BD2，EC，BECD，BEPDCP，PC（3）BDC沿BD翻折得到BDQ，EDBBDC，点Q在DF上，且BQDF，QEDQDE321，AEQE，EAQEQA，AEQBED，AEQBED，AEQ的周长：BED的周长AE：BE1：2，BED的周长2+2+24+2，AEQ的周长2+14解：（1）如图1中，延长AP交BD的延长线于K，设AK交BC于JABAC，PCPD，BACCPD60，ABC，PCD都是等边三角形，CBCA，CDCP，ACBPCD60，BCDACP，BCDACP（SAS），BDPA，KBJCAJ，KJBCJA，KACJ60，1，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是60，故答案为1，60（2）如图2中，设BD交AC于OABAC，PCPD，BACCPD90，ABC，PCD都是等腰直角三角形，CBCA，CDCP，ACBPCD45，BCDACP，BCDACP（SAS），CBOOAG，COBAOG，AGBOCB45，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是45（3）如图31中，当点P在AC的延长线上时，设PCm，则AC3m，PA4m，ACBPCD45，BCD90，在RtBCD中，BCAC3m，CDPCm，BD2m，如图32中，当点P落在AC上时，设PCm，则AC3m，PA2m，ACBACD45，BCD90，BD2m，综上所述，的值为或15解：（1）ABC为等边三角形，BACB60，ABAC，AD是ABC的中线，BADBAC30，BDE30，BED90EFAB，F90EAF30BAD，AEDFEA90，AEFDEA（2）如图2，过C作CHAB交EF于H，BDCH，BEDCHD，AD是ABC的中线，BDCD，DEBDHC（AAS），CHBE，CHAB，FCHFAE，11，1111，+2，x+y2xy（3）如图3，连接DEy，AFAC，ACAF，x，AEAB，点E是AB的中点，AD是ABC的中线，点D是BC的中点，DEACAFAF，DEAC，DGEAGF，DGAG，AG3DG，n316解：（1）结论：AECD理由：在RtABC中，ACBC4，ACB90，ABCEBD45，ABECBD，四边形BDEF是正方形，ABC是等腰直角三角形，ABECBD，AECD（2ACBC4，ACB90，ABBC4，当A、E、F三点在一直线上时，AFB90，AF2，如图1，当AE在AB左上方时，AEAFEF22，AECD，CDAE如图2，当AE在AB右下方时，同理，AEAF+EF2+2，CD+，综上所述，当A、E、F