2020中考数学复习分类汇编专题2：二次函数与平行四边形问题.docx

专题：二次函数与平行四边形问题1. 如图，抛物线yax2bx6经过点A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1<m<4）.连接AC，BC，DB，DC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD的面积等于AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2. 如图，抛物线yx23x4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线ykxn与y轴交于点C，与抛物线yx23x4的另一交点为D，已知D(5，6)P点为抛物线yx23x4上一动点(不与A、D重合)(1)求直线AD的表达式及A、B、C三点的坐标；(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，作PFy轴交直线l于点F，求PEPF的最大值；(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3. 如图，抛物线yx2x2，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l.（1）求点A，B，C的坐标；（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DEx轴于点E，交直线BC于点F，当OE4DF时，求四边形DOBF的面积；（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.4. 如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)若D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC时，求D点的坐标；(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标5. 如图，抛物线yax26xc交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线yx5经过点B，C.（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M. 当AMBC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；6如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）参考答案1. 解：(1)抛物线yax2bx6经过点A(2，0)，B(4，0)，解得抛物线的函数表达式为yx2x6；(2)如解图，过点D作直线DEx轴于点E，交BC于点G.作CFDE，垂足为点F.点A的坐标为(2，0)，OA2.由x0，得y6.点C的坐标为(0，6)OC6.SAOCOAOC266.SBCDSAOC，SBCD6.设直线BC的函数表达式为ykxn(k0)由B，C两点的坐标得解得直线BC的函数表达式为yx6.点G的坐标为(m，m6)DGm2m6(m6)m23m.(6分)点B的坐标为(4，0)，OB4.SBCDSCDGSBDGDGCFDGBEDG(CFBE)DGBO(m23m)4m26m.m26m.解得m11(舍去)，m23.m的值为3；(3)存在以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(8，0)或(0，0)或(，0)或(，0)【解法提示】由(2)可知m3，将m3代入抛物线表达式得y，D(3，)设点N的坐标为(n，n2n6)，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，分四种情况：当DNBM时，此时N(n，)，可得n2n6，解得n11，n23(舍)，N(1，)()如解图，以BD为对角线，M(8，0)；()如解图，以BD为边，M(0，0)；当BDMN时，BD为边，BM为对角线，此时N(n，)，即n2n6，解得n11，n21.()当点M在点y轴左侧时，n1，如解图，N(1，)，M(，0)；()当点M在y轴右侧时，n1，如解图，N(1，)，M(，0)综上所述，存在以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标是(8，0)或(0，0)或(，0)或(，0)2. 解：(1)令x23x40，解得x11，x24，点A在点B的左侧，A(1，0)、B(4，0)，将A(1，0)、D(5，6)代入ykxn中，得解得直线AD的表达式为yx1，令x0，得y1，C(0，1)；(2)设P(m，m23m4)，则F(m，m1)，PFyPyFm24m5，由题意得OAOC，OACOCA45，PEx轴，PFy轴，PEFPFE45，PEPF.PEPF2PF2(m24m5)2m28m102(m2)218，2<0，1<m<5，当m2时，PEPF取得最大值，其最大值为18；(3)存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形，易得NC5，下面分两种情况进行讨论：当线段NC为平行四边形的一条边时，有NCPM，NCPM或NCMP，NCMP，设M(m，m1)，则P(m，m23m4)|yMyP|5即|m1m23m4|5，m24m55或m24m55，解得m12，m22或m10(不合题意，舍去)m24，点M坐标为(2，3)，(2，3)，(4，5)；当线段NC为平行四边形的一条对角线时，有NC和PM互相平分，如解图，分别过点P、M作y轴的垂线，垂足分别为H、R，连接MP交点y轴于点I，易得I(0，)，PHIMRI，PHMR，RIHI.PHMR，xMxP，设M(m，m1)，则P(m，m23m4)，RIHI，yMyP，即m1(m23m4)，解得m10(不合题意，舍去)，m24，当m4时，m13，点M坐标为(4，3)；综上所述，共存在四个点M，都能使得以点N、C、M、P为顶点时四边形为平行四边形它们的坐标分别为(2，3)，(2，3)，(4，5)，(4，3)3. 解：(1)令y0，得x2x20.解得x12，x24.点A在点B的左侧，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(4，0)令x0，得y2， 点C的坐标为(0，2)；(2)设直线BC的函数解析式为ykxb，将B(4，0)，C(0，2)代入得解得 直线BC的函数解析式为yx2.设点D的坐标为(m，m2m2)，则点F的坐标为(m，m2)，点E的坐标为(m，0)点D在第一象限，m0.又OE4DF，m4m2m2(m2)解得m15，m20(舍去)点E的坐标为(5，0)，点D的坐标为(5，)，点F的坐标为(5，)S四边形DOBFSOEDSBEF51；(3)存在符合题意的点M.理由如下：1，设点N的坐标为(1，n)当NB为对角线时，如解图所示，点M的坐标为(0，n)，代入yx2x2，得n2.此时点M的坐标为(0，2)；图图图当ND为对角线时，如解图所示，点M的坐标为(2，n)，代人yx2x2，得n1122.此时点M的坐标为(2，2)；当BD为对角线时，如解图所示，点M的坐标为(8，n)，代人yx2x2，得n164210.此时点M的坐标为(8，10)综上所述，存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标分别为(0，2)或(2，2)或(8，10)4. 解：(1)在yx2中，令y0，得x4，令x0，得y2，A(4，0)，B(0，2)把A(4，0)，B(0，2)代入yx2bxc，得解得抛物线的表达式为yx2x2；(2)如解图，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为点F.BEx轴，BACABE.ABD2BAC，ABD2ABE.即DBEABE2ABE.DBEABE.DBEBAC.设D点的坐标为(x，x2x2)，则BFx，DFx2x.tanDBE，tanBAC，即.解得x2.当x2时，x2x23，点D的坐标为(2，3)；(3)E点的坐标为(2，1)或(22，1)或(22，1)或(22，3)或(22，3)【解法提示】如解图，当BO为边时，OBEF，且OBEF，设E(m，m2)，F(m，m2m2)，EF|(m2)(m2m2)|2，解得m12，m222，m322，E点的坐标为(2，1)或(22，1)或(22，1)；如解图，当BO为对角线时，OB与EF互相平分，过点O作OFAB，直线OF：yx交抛物线于点F(22，1)或(22，1)设OB的中点为P，则P(0，1)则EF所在直线过点P.求得直线EF的表达式为yx1或yx1，直线EF与AB的交点为E，联立得或解得或E点的坐标为(22，3)或(22，3)综上所述，E点的坐标为(2，1)或(22，1)或(22，1)或(22，3)或(22，3)5. 解：(1)直线yx5交x轴于点B，交y轴于点C，B(5，0)，C(0，5)抛物线yax26xc过点B、C，抛物线的解析式为yx26x5.(2)OBOC5，BOC90，ABC45.抛物线yx26x5交x轴于A，B两点，A(1，0)，AB4，AMBC，AMABsinABC2.PQAM，PQBC.若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQAM2.如解图，过点P作PDx轴交直线BC于点D，则PDQ45，PDPQ4设P(m，m26m5)，则D(m，m5)分两种情况讨论如下：()当点P在直线BC上方时，PDm26m5(m5)m25m4，m11(舍去)，m24.()当点P在直线BC下方时，PDm5(m26m5)m25m4，m3，m4；综上所述，点P的横坐标为4或或；6. 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）