2020中考数学复习分类汇编专题6：二次函数与相似三角形问题.docx
专题:二次函数与相似三角形问题1. 如图，在直角坐标系中，直线yx3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x1的抛物线过B， C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2如图，抛物线yx2x2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(1)试求点A，B，C的坐标(2)将ABC绕AB的中点M旋转180，得到BAD求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由4.如图,已知直线y=12x+12与抛物线y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C0,-32,交x轴的正半轴于点D,抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当PAB的面积最大时,求PAB的面积及点P的坐标;(3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当QMNMAD(点Q与点M对应)时,求点Q的坐标.参考答案1. 解：(1)A(4，0)，B(6，0)，C(0，3)；抛物线的解析式为yx2x3；(4分)【解法提示】令yx30，解得x6，令x0，得y3，B(6，0)，C(0，3)抛物线的对称轴为x1，且过点B、A，抛物线与x轴的另一交点A的坐标为(4，0)，设抛物线的解析式为ya(x4)(x6)，将点C(0，3)代入得24a3，解得a.抛物线的解析式为y(x4)(x6)x2x3.(2)如解图，过点P作PGx轴于点G，交BC于点Q，过点P作PHBC于点H.OC3，OB6，BC3.又HQPGQB，HPQCBO，故点P到直线BC的距离最大，即线段PQ的长度最大B(6，0)，C(0，3)，直线BC的解析式为yx3.设P(m，m2m3)，Q(m，m3)，PQm2m3(m3)m2m(m3)2.0，当m3时，PQ有最大值为.P(3，)(8分)图(3)存在，点Q的坐标为(12，12)或(10，12)或Q(2，3)(9分)理由：由(1)得A(4，0)、B(6，0)、C(0，3)，AB10，AC5.分为三种情况分类讨论：当ABCAQB时，如解图所示，CABBAQ.AQ20，sinBAQsinCAB.过点Q作QDx轴，垂足为点D，QDAQsinBAQ2012，ADAQcosBAQ2016.Q(12，12)当ABCBQA时，如解图所示，CABABQ.BQ20，过点Q作QEx轴，垂足为点E，同理可得QEBQsinABQ2012，BEBQcosABQ2016，Q(10，12)当ABCBAQ时，如解图所示，当点Q是点C关于抛物线对称轴x1的对称点易证ABCBAQ.Q(2，3)综上所述，点Q的坐标为(12，12)或(10，12)或(2，3)(13分)图图图2.解：（1）令x2x20，解得x11，x24，则A(1，0)，B(4，0)当x0时，y2，则C(0，2)（2）过点D作DEx轴于点E.由旋转，得DE2，AOBE1，OMME1.5，D(3，2)四边形ADBC是矩形理由：将ABC绕AB的中点M旋转180，得到BAD，ACBD，ADBC四边形ADBC是平行四边形AC，BC2，AB5，AC2BC2AB2.ACB是直角三角形，且ACB90.四边形ADBC是矩形（3）由旋转，得BDAC，ADBC2，则.当BMPADB时，BM2.5，则PM1.25，故P(1.5，1.25)；当BMP1ADB时，P1(1.5，1.25)；当BMP2BDA时，同理可得P2(1.5，5)；当BMP3BDA时，同理可得P3(1.5，5)综上所述，符合条件的点P的坐标为(1.5，1.25)或(1.5，1.25)或(1.5，5)或(1.5，5)3. 解：（1）由题意可知C（0，-3），-=1抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3(a>0)过点M作MNy轴于N，连接CN，则MN=1，CN=5CN=2，m=-1同理可求B（3，0）a=1抛物线的解析式为y=x2-2x-3(2) RtCOARtBCE此时点P1（0，0）过点A作AP2AC交y轴正半轴于点P2，由RtCAP2RtBCE，得P2（0，）过点C作CP3AC交x轴的正半轴于点P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）所以在坐标轴上存在点P1（0，0）P2（0.）P3（9，0）使得P、A、C为顶点的三角形与BCE相似。4.解:(1)将B(4,m)的坐标代入y=12x+12,得m=124+12=52B4,52.将A(-1,0),B4,52,C0,-32的坐标分别代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,16a+4b+c=52,c=-32.解得a=12,b=-1,c=-32.抛物线的解析式为y=12x2-x-32,y=12(x2-2x)-32=12(x-1)2-12-32=12(x-1)2-2,故顶点M的坐标为(1,-2).(2)如图,过点P作PEx轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BFx轴于点F.A(-1,0),B4,52,AF=4(1)=5.设点P的坐标为n,12n2-n-32,则点E的坐标为n,12n+12.点P在直线AB下方,PE=12n+12-12n2-n-32=-12n2+32n+2.SPAB=SAPE+SBPE=12PEAG+12PEFG=12PE(AG+FG)=12PEAF=125-12n2+32n+2=-54n-322+12516.当n=32时,PAB的面积最大,且最大面积为12516.当n=32时,12n2-n-32=12322-32-32=-158,故此时点P的坐标为32,-158.(3)抛物线的解析式为y=12x2-x-32=12x-12-2,抛物线的对称轴为直线x=1.又A(-1,0),点D的坐标为(3,0).又M的坐标为(1,-2),AD=3(1)=4,AD2=42=16,AM2=1-(-1)2+(-2)2=8,DM2=(13)2+(20)2=8,AD2=AM2+DM2,且AM=DM.MAD是等腰直角三角形,AMD=90.又QMNMAD,QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,MQN=90,QMN=45.又AMD=90,AMQ=QMD=45,此时点D(或点A)与点N重合(如图),此时MQx轴,故点Q的坐标为(1,0).
