沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程 教案.doc

12.3椭圆的定义及标准方程一、教学目标：1、理解椭圆定义,经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法；2、掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力； 3、在求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。二、教学重点及难点：（1）重点：椭圆定义及其标准方程；（2）难点：椭圆标准方程的推导；解决难点的关键在于抓住“如何建系”与“如何化简方程”两个环节。三、教学辅助工具：PPT课件、几何画板、每人一个自制的椭圆教具。四、教学过程：（一）创设情境，引入课题1、创设情境多媒体展示“嫦娥二号”运行轨道视频和图片，欣赏生活中丰富多彩的椭圆。2、引入课题既然椭圆可以认为由圆演变而来，那么数学中是怎么定义椭圆的呢？教师活动：引导学生回忆有关圆的相关知识,引导学生猜想：如何画出椭圆？设计意图：联系生活实际，利于学生的思考与想象。通过学过的圆的相关知识，引导学生采用类比的思想猜想椭圆，有益于后续教学的顺利进行。（二）实验探究、形成概念1、实验探究M动手实验：取出提前准备好的具有一定长的细绳，并把细绳两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。通过实验，思考如下问题：(1)在作图的过程中哪些量是变的？ 的和是否变化？(2) 与的大小关系是？ (3)若绳长与两定点的距离相等，画出的图形是？(4)绳长能小于两定点之间的距离吗？设计意图：(1) 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲；(2) 通过实验，学生在问题的情境中去探究“在什么样的条件下，点的集合为椭圆”。2、形成概念教师活动：(1) 用几何画板动态演示椭圆的形成过程。设计意图：通过形成椭圆的点的动态变化，让学生进一步体会变与不变的联系。(2) 引导学生概括椭圆定义。椭圆定义：平面内到两个定点的距离和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作：（1）当时，轨迹是线段；（2）当时，无轨迹。设计意图：通过回想手工操作画出椭圆的过程，引导学生思考、归纳学习并深入理解椭圆定义，从而为后面求椭圆的标准方程做铺垫。（三）研讨探究、推导方程1、研讨探究教师引导学生进行知识回顾：如何利用坐标法求曲线方程？2、推导方程xyMO如图所示，已知焦点为的椭圆，且，对椭圆上任一点，有，尝试推导椭圆的方程。师：为使求出的方程简单，该如何建立坐标系？生：根据建立合理坐标系求圆的方程的过程，应以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样求出的椭圆方程应该较简单。具体过程：设是椭圆上任意一点，设,则；与两定点的距离的和等于，则，即 。师：针对，我们该如何化简呢？是直接平方呢，还是整理后再平方呢？学生活动：对教师提出的问题进行思考、分析。师：通过分析，我们知道针对，应先整理再平方，这样可使计算简单，具体操作如下：移项，得： ，两边平方，得：，即 ，两边平方，得： ，整理，得： 。令，则方程可简化为：，整理，得： 。师：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，其坐标是，其中。试想：若以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，则会得到怎样的椭圆方程呢?生：通过如上类似的计算可得到。师：这是椭圆的另一个标准方程。根据焦点所在的位置建立相应的直角坐标系，从而得到对应的标准方程。另外，我们这里所说的标准方程一定是指焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点的椭圆的方程，且两个标准方程中都有。设计意图：让学生尝试化简求出焦点在轴上的椭圆标准方程，分析得出焦点在轴上的椭圆标准方程，并进行对比、概括、记忆。（四） 归纳概括师：通过学习，我们知道根据焦点的位置，椭圆有不同的标准方程，试比较焦点在轴上和焦点在轴上的椭圆标准方程的异同点，并填写下表。图形xyMOxyMO方程 焦点坐标师：通过填写的表格，归纳总结椭圆标准方程的特点：(1)椭圆标准方程是关于的二元二次方程，不含有一次项；(2)椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；(3)方程中 的系数不相等。设计意图：将两种类型的椭圆方程加以比较，可以加深学生对椭圆相关知识的理解和深化，为后面进一步研究椭圆奠定基础。（五）课堂精炼例1 、（1）如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么到另一焦点的距离为 （2）如果椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则实数的值为 （3）若动点到点的距离之和等于10，则的轨迹方程为 （4）若动点到点的距离之和等于8，则的轨迹方程为 例2、已知椭圆的两个焦点在轴上，焦距为6，该椭圆经过点，求它的标准方程。变式：已知椭圆的两个焦点在坐标轴上，焦距为6，该椭圆经过点，求它的标准方程。设计意图：加强学生对椭圆定义和标准方程的理解和巩固，同时加深关系式的应用，让学生学会“先定位，再定量”，初步根据定义及求椭圆的方程，为后面进一步学习椭圆方程的求法做铺垫。（六）课堂小结1、知识点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、之间的关系；2、数学方法：求动点轨迹的一般步骤、定位定量求椭圆的标准方程；3、数学思想方法：数形结合思想、化归思想、类比思想。（七）布置作业练习册：习题12.3思考题：如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围？变式：如果方程表示椭圆，求实数的取值范围？5