类型6 二次函数的最值问题（精选20题） 2020年中考数学 三轮冲刺 难点题型突破.doc

二次函数的最值问题1菱形ABCD边长为4，BAD60，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF4，则BEF面积的最小值为（）ABCD2如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当ODAD3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）ABC3D43当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）AB或C2或D2或或4当axa+1时，函数yx22x+1的最小值为1，则a的值为（）A1B2C0或2D1或25一副三角板（ABC与DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DGDH，若AC2，则BDH面积的最大值是（）A3B3CD6如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC120，P是边AB上的动点，过点P作PQAB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则CPQ面积的最大值是（）ABCD7二次函数yx2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），直线AB交y轴于点B（0，7），动点C（x，y）在直线AB上，且1x7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是（）A有最小值9B有最大值9C有最小值8D有最大值88已知二次函数yx2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（）A最小值3B最小值3C最大值3D最大值39二次函数yx2+2ax+a在1x2上有最小值4，则a的值为 10如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm211如图，在RtABC中，C90，BC4，BA5，点D是边AC上的一动点，过点D作DEAB交边BC于点E，过点B作BFBC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，AD的长度为 12一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为 cm13已知：在面积为7的梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F，则PEF面积最大值是 14已知二次函数yx2+bx+c（b，c为常数）（）当b2，c3时，求二次函数的最小值；（）当c5时，若在函数值y1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（）当cb2时，若在自变量x的值满足bxb+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式15如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连接DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？16如图，在矩形ABCD中，AB8，AD6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持APCQ设APx（1）当PQAD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围17如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D90，ACBC，AB10cm，BC6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值18如图，在锐角三角形ABC中，BC12，ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DEx，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值19如图，线段AD5，A的半径为1，C为A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成ABC，设ABx（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，则x ；（3）设ABC的面积的平方为W，求W的最大值20如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA4cm，OC3cm，D为OA上一动点，点D以1cm/s的速度从O点出发向A点运动，E为AB上一动点，点E以1cm/s的速度从A点出发向点B运动（1）试写出多边形ODEBC的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使得PDE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在某一时刻将BED沿着BD翻折，使得点E恰好落在BC边的点F处求出此时时间t的值若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使得四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M，点N的坐标试题解析1菱形ABCD边长为4，BAD60，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF4，则BEF面积的最小值为（）ABCD解：连接BD，AC，菱形ABCD边长为4，BAD60；ABD与BCD为正三角形，FDBEAB60，AE+CF4，DF+CF4，AEDF，ABBD，BDFBAE，BEBF，ABEDBF，EBFABD60，BEF是等边三角形，当BEAD时，BEF的面积最小，此时BE2BEF面积的最小值3故选：B2如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当ODAD3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）ABC3D4解：过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM，ODAD3，DEOA，OEEAOA2，由勾股定理得：DE，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OFPFx，BFDECM，OBFODE，ACMADE，AMPM（OAOP）（42x）2x，即，解得：BFx，CMx，BF+CM故选：A3当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）AB或C2或D2或或解：二次函数的对称轴为直线xm，m2时，x2时二次函数有最大值，此时（2m）2+m2+14，解得m，与m2矛盾，故m值不存在；当2m1时，xm时，二次函数有最大值，此时，m2+14，解得m，m（舍去）；当m1时，x1时二次函数有最大值，此时，（1m）2+m2+14，解得m2，综上所述，m的值为2或故选：C4当axa+1时，函数yx22x+1的最小值为1，则a的值为（）A1B2C0或2D1或2解：当y1时，有x22x+11，解得：x10，x22当axa+1时，函数有最小值1，a2或a+10，a2或a1，故选：D5一副三角板（ABC与DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DGDH，若AC2，则BDH面积的最大值是（）A3B3CD解：如图，作HMAB于M，AC2，B30，AB2，EDF90，ADG+MDH90，ADG+AGD90，AGDMDH，DGDH，ADMH90，ADGMHD（AAS），ADHM，设ADx，则BD2x，SBDHBDADx（2x）（x）2+，BDH面积的最大值是，故选：C6如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC120，P是边AB上的动点，过点P作PQAB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则CPQ面积的最大值是（）ABCD解：设菱形的高为h，在边长为1的菱形ABCD中，ABC120，A60，h，若设APx，则PB1x，PQAB，AQ2x，PQx，DQ12x，SCPQS菱形ABCDSPBCSPAQSCDQ1（1x）xx（12x）x2+x（x）2+，0，CPQ面积有最大值为，故选：D7二次函数yx2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），直线AB交y轴于点B（0，7），动点C（x，y）在直线AB上，且1x7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是（）A有最小值9B有最大值9C有最小值8D有最大值8解：二次函数yx2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），解得，二次函数为yx27x，A（7，0），B（0，7），直线AB为：yx7，设C（x，x7），则D（x，x27x），CDx7（x27x）x2+8x7（x4）2+9，1x7范围内，有最大值9，故选：B8已知二次函数yx2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（）A最小值3B最小值3C最大值3D最大值3解：把（1，3）代入yx2+mx+n得31m+nnm4mn+1m（m4）+1m24m+1（m2）23所以mn+1有最小值3，故选：A9二次函数yx2+2ax+a在1x2上有最小值4，则a的值为5或解：分三种情况：当a1，即a1时，二次函数yx2+2ax+a在1x2上为增函数，所以当x1时，y有最小值为4，把（1，4）代入yx2+2ax+a中解得：a5；当a2，即a2时，二次函数yx2+2ax+a在1x2上为减函数，所以当x2时，y有最小值为4，把（2，4）代入yx2+2ax+a中解得：a2，舍去；当1a2，即2a1时，此时抛物线的顶点为最低点，所以顶点的纵坐标为4，解得：a或a1，舍去综上，a的值为5或故答案为：5或10如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18cm2解：设运动时间为t（0t6），则AEt，AH6t，根据题意得：S四边形EFGHS正方形ABCD4SAEH664t（6t）2t212t+362（t3）2+18，当t3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18故答案为：3；1811如图，在RtABC中，C90，BC4，BA5，点D是边AC上的一动点，过点D作DEAB交边BC于点E，过点B作BFBC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，AD的长度为解：在RtABC中，C90，BC4，BA5，AC3，设DCx，则AD3x，DFAB，即，CEBE4，矩形CDGE和矩形HEBF，ADBF，四边形ABFD是平行四边形，BFAD3x，则S阴S矩形CDGE+S矩形HEBFDCCE+BEBFxx+（3x）（4x）x28x+12，0，当x时，有最小值，DC，有最小值，即AD3时，矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小，故答案为12一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为15cm解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则ax，h（30x），0x30S4ah8x（30x）8（x15）2+1800，当x15cm时，S取最大值故答案为：1513已知：在面积为7的梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F，则PEF面积最大值是解：设PDx，SPEFy，SAQDz，梯形ABCD的高为h，AD3，BC4，梯形ABCD面积为7，解得PEDQ，PEFQFE，EPFPFD，又PFAQ，PFDEQF，EPFEQF，EFFE，PEFQFE（AAS），PEDQ，AEPAQD，同理，DPFDAQ，（）2，SAQD3，SDPFx2，SAPE（3x）2，SPEF（SAQDSDPFSAPE）2，y3x2（3x）2x2+x，y最大值，即y最大值PEF面积最大值是14已知二次函数yx2+bx+c（b，c为常数）（）当b2，c3时，求二次函数的最小值；（）当c5时，若在函数值y1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（）当cb2时，若在自变量x的值满足bxb+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式解：（）当b2，c3时，二次函数的解析式为yx2+2x3（x+1）24，当x1时，二次函数取得最小值4；（）当c5时，二次函数的解析式为yx2+bx+5，由题意得，x2+bx+51有两个相等是实数根，b2160，解得，b14，b24，二次函数的解析式yx2+4x+5，yx24x+5；（）当cb2时，二次函数解析式为yx2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x，当b，即b0时，在自变量x的值满足bxb+3的情况下，y随x的增大而增大，当xb时，yb2+bb+b23b2为最小值，3b221，解得，b1（舍去），b2；当bb+3时，即2b0，x，yb2为最小值，b221，解得，b12（舍去），b22（舍去）；当b+3，即b2，在自变量x的值满足bxb+3的情况下，y随x的增大而减小，故当xb+3时，y（b+3）2+b（b+3）+b23b2+9b+9为最小值，3b2+9b+921解得，b11（舍去），b24；b时，解析式为：yx2+x+7b4时，解析式为：yx24x+16综上可得，此时二次函数的解析式为yx2+x+7或yx24x+1615如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连接DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解：（1）EFDE，BEF90CEDCDE，又BC90，BEFCDE，即，解得y；（2）由（1）得y，将m8代入，得yx2+x（x28x）（x4）2+2，所以当x4时，y取得最大值为2；（3）DEF90，只有当DEEF时，DEF为等腰三角形，BEFCDE，BECDm，此时m8x，解方程，得x6，或x2，当x2时，m6，当x6时，m216如图，在矩形ABCD中，AB8，AD6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持APCQ设APx（1）当PQAD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围解：（1）当PQAD时，则AAPQ90，DDQP90，又ABCD，四边形APQD是矩形，APQD，APCQ，APCD，x4（2）如图，连接EP、EQ，则EPEQ，设BEy（8x）2+y2（6y）2+x2，y0y6，06，x（3）SBPEBEBP（8x），SECQ（6）x，APCQ，SBPQC，SSBPQCSBPESECQ24，整理得：S（x4）2+12（），当x4时，S有最小值12，当x或x时，S有最大值12S17如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D90，ACBC，AB10cm，BC6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值解：（1）CDAB，BACDCA又ACBC，ACB90，DACB90，ACDBAC（2）RtABC中，AC8cm，ACDBAC，即，解得：DC6.4cm（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，ACBEGB90，B公共，ACBEGB，即，故；ySABCSBEF；故当t时，y的最小值为1918如图，在锐角三角形ABC中，BC12，ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DEx，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为MSABC48，BC12，AM8，DEBC，ADEABC，而ANAMMNAMDE，解之得DE4.8当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，（2）分两种情况：当正方形DEFG在ABC的内部时，如图（2），ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，DEx，yx2，此时x的范围是0x4.8，当正方形DEFG的一部分在ABC的外部时，如图（3），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，ABC的高AM交DE于N，DEx，DEBC，ADEABC，即，而ANAMMNAMEP，解得EP8x所以yx（8x），即yx2+8x，由题意，x4.8，且x12，所以4.8x12；因此ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，当0x4.8时，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.8223.04，当4.8x12时，因为，所以当时，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大62+8624；因为2423.04，所以ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为2419如图，线段AD5，A的半径为1，C为A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成ABC，设ABx（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，则x2.4或2.6；（3）设ABC的面积的平方为W，求W的最大值解：（1）AD5，ABx，BE垂直平分CD，BCBD5x，在ABC中，AC1，（5x）1x1+（5x），解得：2x3；（2）ABC为直角三角形，若AB是斜边，则AB2AC2+BC2，即x2（5x）2+1，x2.6；若BC是斜边，则BC2AB2+AC2，即（5x）2x2+1，x2.4故答案为：2.4或2.6（3）在ABC中，作CFAB于F，设CFh，AFm，则W（xh）2x2h2，如图，当2.4x3时，AC2AF2BC2BF2，则1m2（5x）2（xm）2，得：m，h21m2，Wx2h26x2+30x36，即W6（x）2+，当x2.5时（满足2.4x3），W取最大值1.5；当2x2.4时，同理可得：W6x2+30x366（x）2+，当x2.4时，W取最大值1.441.5，综合得，W的最大值为1.520如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA4cm，OC3cm，D为OA上一动点，点D以1cm/s的速度从O点出发向A点运动，E为AB上一动点，点E以1cm/s的速度从A点出发向点B运动（1）试写出多边形ODEBC的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使得PDE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在某一时刻将BED沿着BD翻折，使得点E恰好落在BC边的点F处求出此时时间t的值若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使得四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M，点N的坐标解：（1）设ODt，AD4t，AEt，SODEBCSABCDSDAE（0t3）（2）当t2时，S有最小值；此时：D（2，0）、E（4，2），当P在x轴上时，设P（a，0），此时：DE2AD2+EA222+228，EP2（a4）2+22a28a+20，DP2（a2）2a24a+4，当DE2EP2时，8a28a+20，a28a+120，（a2）（a6）0，P（2，0），P1（6，0），P（2，0）与D重合舍去，当EP2DP2时，a28a+20a24a+4，164a，a4，P2（4，0），当DE2DP2时，8a24a+4a24a40，当P在y轴上时，设P（0，b），则DP222+b2b2+4EP242+（b2）216+b24b+4b24b+20DE28，当DP2EP2时，b2+4b24b+204b16，b4，P5（0，4），当EP2DE2时，b24b+208b24b+120b24ac0，无解当DP2DE2时，b2+48，b24，b2，P6（0，2）（DEP三点共线，舍去），综上共有6个这样的P点，使得PDE为等腰三角形即P1（6，0），P2（4，0），P5（0，4），P6（0，2）（3）设AEt，则BE3tBFBE3t，AD4t，CF4BFt+1，过D作DPBC于P则：CPODt，PF1，又DP3，在RtDAE中，AD2+AE2DE2，（4t）2+t210，t28t+16+t210，2t28t+60，t24t+30，t11，t23（舍），t1（9分），E（4，1），F（2，3），E关于x轴的对称点E（4，1），F关于y轴的对称点F（2，3），则EF与x轴，y轴的交点即为M点，N点设直线EF的解析式为ykx+b（k0），则，yx+（10分）M（，0），N（0，）（12分）