第5讲空间杆件结构的有限元法ppt课件.ppt
第5讲 空间杆件结构的有限元法第一节 局部坐标系下的单元分析第二节 空间单元坐标变换第三节空间刚架分析举例依同样方法可以确定当单元 j 端发生单位位移时， 杆端力与杆端位移之间的关系。 当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方程，以矩阵表示为 zjyjxjjjjziyixiiiizzzzyyyyyyyyzzzzzzzzyyyyyyyyzzzzzjyjxjjjjziyixiiiiwvuwvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMMMZYXMMMZYX400060200060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323式（2-1）式 （ 2-1） 可 以 简 写 为 eeekF （ 2-2） 其 中 单 元 刚 度 矩 阵 为 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzyyyyyyyyzzzzzzzzyyyyyyyyzzzze400060200060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323（ （2-3） 式（2-3）为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。它是 12 阶方阵，其性质也与平面结构 的相同。 综合上三式 iiizzyzxzzyyyxyzxyxxxiiiZYXlllllllllZYX (2-4) 这就是在端点 i 由整体坐标系中的杆端力iiiZYX、推算局部坐标系中杆端力iiiZYX、的转换关系式。其中两坐标系的转换矩阵（简称“关系矩阵” ）为 zzyzxzzyyyxyzxyxxxlllllllllt （2-5） 参照上述方法，同样可以推出以ziyixiMMM、表示i zi yi xMMM、，以jjjZYX、表示jjjZYX、，以zjyjxjMMM、表示j zj yj xMMM、的表达式，其转换矩阵也是 t。 设i、j、k三点在整体坐标系xyz中的坐标分别为（xi、yi、zi）、(xj、yj、zj)、(xk、yk、zk)，那么如何根据这三个点的坐标值来确定坐标系的关系矩阵t中的九个元素呢？t中的第一行元素较容易确定。如图2-4可得lzzllyyllxxlijzxijyxijxx (2-10) 其中 l 为杆长，可按下式求得 222)()()(ijijijzzyyxxl （2-11） 设 i、j、k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，xO轴矢量 x 可表示为 kljlilxzxyxxx （2-12） 因为zO轴的矢量 z 与平面 ijk 垂直，所以有 jkjkjkikikikzzxyxxzzyyxxkjik jkiz)()( （2-13） 为后面的运算方便，可设 jkjkikikjkjkikikjkjkikikyyxxyyxxXYzzxxzzxxZXzzyyzzyyYZ 则有 XYkZXjYZiZ zO轴的方向余弦为 222/lXYllZXllYZlzxyxxx 为后面的运算方便，可设 jkjkikikjkjkikikjkjkikikyyxxyyxxXYzzxxzzxxZXzzyyzzyyYZ 则有 XYkZXjYZiZ zO轴的方向余弦为 222/lXYllZXllYZlzxyxxx 式中 2222)()()(XYZXYZl （2-16） 由于yO轴与xO轴垂直， yO轴与zO轴垂直， 且yO的方向余弦之和等于1，于是有 10)(0222zyyyxylllkixyxy 以上三式可组成联立方程 100222zyyyxyikikikzxyxxxzyyyxyzxzyyxyyxxxylllzzyyxxllllllllllll （2-20） 解式（2-20）的联立方程，可得 333231/lSllSllSlzyyyxy （2-21） 式中 3222123232221)(1 ()()()()(1 ()()()()(1 (SSSlzzlyyllxxllSzzllyylxxllSzzllyyllxxlSikzxikyxxxikxxzxikzxyxikyxikxxyxikzxxxikyxxxikxx 由式（2-10） 、式（2-15）和式（2-21）便可确定坐标关系矩阵 t。 第三节 空间刚架分析举例 空 间刚架 整体刚 度矩 阵 K 的形成 、结点 荷载列 阵的形 成和支 承条件的引入，均与平面刚架的处理方法相同。 例 2-1 试求图 2-5a 所示空间刚架 B 结点的位移及各杆内力。设各杆的材料和几何性质相同。 ./15,10,100 .3,102 .1,106 .2,3 .2,005.0,109,101 .2454545242mkNqkNPmImImJmlmAGPaGGPaEzy （矩形截面梁在扭转时将发生翘曲。本题中杆件为实体截面，约束所引起的附加正应力已略去，J 为“相当极惯性矩” 。 ） 解： （1）确定结点，划分单元，建立坐标系。括号内数字为结点位移编号，见（图 2-5b） 。 （2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵ek mkNlEImkNlEIkNlEIkNlEImkNlEImkNlEImkNlEImkNlEImkNEImkNEImkNlGJmkNlEAzyzyzzyyzy/104688. 512,/101875. 212105626. 66,10625. 261005. 14,1025. 52102 . 44,101 . 22103 . 6,1052. 21075. 9,/10375. 433333232433323325 将以上数据代入式（2-3） ，得局部坐标系中的单元刚度矩阵 1050000065620525000065620042000262500021000262500009750000097500002625021880002625021880065620005469065620005469000000437500000004375000000656201050000065620000262500042000262500009550000097500002625021880002625021880065620005469065620005469000000437500000004375001k 单元坐标转换矩阵为 001000000000010000000000100000000000000001000000000010000000000100000000000000001000000000010000000000100000000000000001000000000010000000000100T 根据单元刚度矩阵的转换关系 eeeTeTkTk 可求得整体坐标系中单元的单元刚度矩阵 9750000097500000042000002625021000002625001050006562000525006562000043750000000437500000065620546900065620546900262500021880262500021889750000097500000021000002625042000002625000065620001050006562000043750000000437500000065620546900065620546900262500021880262500021882k （4）根据直接刚度法组集整体刚度矩阵。以下所列为以子块表示的整体刚度矩阵，各子块中的元素由21kk 和中的元素组成。 3222111100jjjiijiijjjiijiikkkkkkkkK （5）引入支承条件，修改整体刚度矩阵 K，可得修改后的整体刚度矩阵 1147500065620084000262502625001147506562002625043968700656206562010937002625000439687FK （6）组集结点荷载列阵 P0,并引入支承条件，求自由结点荷载列阵 PF。 单元、单元的固端力分别为 TfTfFF2 . 70001802 . 700018030005030005021 单元、单元的等效结点荷载 TeTeefeTeePPFTP2 . 70001802 . 700018030005030005021 整个结构的总载荷列阵 TP002 . 70180302 . 702303000500引入支承条件修改后 TFp302 . 70230 （7）解方程，求自由结点位移。 由引入支承条件后整个结构的刚度方程： FFFPK 求得自由结点位移 TF333105997. 20102337. 20100029. 50 进而可确定整体坐标系下各单元的杆端位移 TT000000105997. 20102337. 20100029. 50105997. 20102337. 20100029. 5000000033323331 （8）求单元的杆端力 单元：TfkTFF5347. 201718. 20299. 50183.2201778. 20299.15011111 单元： TfkTFF305.2805374. 20701.3001778. 205347. 20299. 5022222 （9）绘内力图。结果如图 2-7 所示。
