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第一章第一章 函数极限与函数极限与连续连续第四节函数第四节函数极限运算法则极限运算法则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。定理定理.0)(lim,)(lim)(lim)()(lim)3();(lim)(lim)()(lim)2();(lim)(lim)()(lim)1(,)(lim,)(lim xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfBxgAxf其其中中则则设设证：证：一一. .极限的四则运算极限的四则运算下面证明（下面证明（2 2），其它证法类同），其它证法类同.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。）（ BAABBAxgxf)()()(系系，得得再再由由极极限限与与无无穷穷小小的的关关0 BA由由无无穷穷小小的的性性质质知知).(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf （2）成立）成立.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。推论推论).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。二、求极限方法举例二、求极限方法举例解解：.2342lim2221 xxxx求求例例1lim4lim3lim2222 xxxxx1limlim4)lim(32222 xxxxx5 05)23(lim21xx解解：)143(lim22 xxx2342lim221 xxxx23lim42lim2121 xxxxx.53 143lim:122 xxx求求例例“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1122231 xxxxlim计计算算所以所以因为因为,lim)lim()(lim021112121 xxxxx解)(lim)(limlim112112212312231 xxxxxxxxx例221212131 xxxxlim)lim()lim(“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ类型类型:(:(一一) )有理函数在有理函数在 时的极限时的极限0 xx “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。.45127lim. 3224 xxxxx求求例例)4)(1()4)(3(4512722 xxxxxxxx解解：因因，)00(型型约去零因约去零因子法子法. 不不一一定定是是无无穷穷小小小小的的商商由由此此知知：无无穷穷小小与与无无穷穷当当4时，分子分母都为时，分子分母都为0，故可约，故可约去公因子（去公因子（4）.45127lim224 xxxxx)4)(1()4)(3(lim4 xxxxx13lim4 xxx31 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。(二).对x时的极限,可用分子,分母中x的最高次幂除之,然后再求极限.2332lim. 422 xxxxx求求例例2332lim.22 xxxxx解解22213312limxxxxx .32 )(型型 例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求332323147532lim147532limxxxxxxxxxx 解解: :.72 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。结论.为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxammmnnnx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除以分母中自变量的最高次幂除分子分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限. ( ) 的的情情形形此此法法只只适适用用于于 , xxx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。(三三).其它类型的极限求法其它类型的极限求法.).1113(lim.531xxx 求求例例（型）型）分析分析:当当x1时，上式两时，上式两 项极限均不存在（呈项极限均不存在（呈现现 形式）形式）)1113(lim.31xxx 解解)1)(1 ()1 (3lim221xxxxxx )1)(1()1)(2(lim21xxxxxx 2112limxxxx 1 方法是：可先通分方法是：可先通分,再求极限再求极限.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。xxx11lim 60 求求例例) 11() 11)(11(lim 0 xxxxx原原式式解解111lim)11(lim00 xxxxxx21 )00(型型分析：当分析：当0时，分子分母极限均为时，分子分母极限均为0，不能直接用商极限法则不能直接用商极限法则.方法是：可先对方法是：可先对分子有理化，然后再求极限分子有理化，然后再求极限.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。31coslim7xxxx 例例01lim1lim),1cos(cos,cos,:23 xxxxxxxxxxxxx又又为为因因有有界界注注意意到到也也不不能能直直用用极极限限法法则则极极限限不不存存在在时时因因为为当当解解01coslim1coslim,33 xxxxxxxx得得无无穷穷小小的的性性质质由由有有界界量量乘乘无无穷穷小小仍仍是是“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用) 14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx.030 例例8 8.3214lim21 xxxx求求由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得.3214lim21 xxxx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例912331545 )()()(limxxxx计计算算32121123315545 )()()(limxxxxxxxxxeeee11110 lim计计算算解例10解11111112211110 tttttteeeettxxxxxlimlimlim, txetx时时则当则当令令01从从而而有有,tex11 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例11 已知极限.lim的的值值，并并求求这这个个极极限限存存在在，试试确确定定 kxkxxx1221 限限存存在在，时时极极限限为为零零，且且原原式式极极因因为为分分母母当当1 xkxxkxxxxxx11212122 lim)lim()lim()(lim解 时极限也为零，即时极限也为零，即所以分子当所以分子当1 x，从从而而所所求求极极限限为为由由此此得得3 k431131321121 )(lim)(limlimxxxxxxxxxx. 021 k“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。总结:(1).运用极限法则时,必须注意 只有各项极限存在(除式,还要分母极限不为0)才能适用;(2).若所求极限呈现 等形式不能直接用极限法则,必须先对原式进行恒等变形(约分,通分,有理化,变量代换等),然后再求极限.(3).利用无穷小的运算性质求极限. ,00“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。二、两个重要极限二、两个重要极限ACxoBD),(:如如图图所所示示作作单单位位圆圆证证明明O,tan,sinxADxABxBC 弧弧于于是是有有.OADAD ，得得作作单单位位圆圆的的切切线线,xOAB的的圆圆心心角角为为扇扇形形,BCOAB的的高高为为 )20(, xxAOB圆圆心心角角取取1sinlim0 xxx1.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。,tansinxxx , 1sincos,sin xxxx 有有除除以以.02也成立也成立上式对于上式对于 x ,20时时当当 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又OADOABOABSSS 由由图图得得扇扇形形xxxtan121121sin121 ACxoBD. 1,0sin极极限限也也是是时时当当函函数数于于它它们们之之间间的的由由极极限限的的夹夹逼逼准准则则知知介介xxx.1sinlim0 xxx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。.1sinlim0 xxx1 . 3,)00( 0: . 2: 1.: 极极限限值值型型分分母母极极限限过过程程与与分分母母相相同同。分分子子是是正正弦弦函函数数，变变量量函函数数个个极极限限我我们们从从三三方方面面来来认认识识这这1)()(sinlim0(x) xfxffxx22sinlim0 x如如xx11sinlimx 1) 1sin(lim1x xx1 1 1 )(0 x1sinlim:xfxxx换换成成说说明明. 1sinlim0 或或形形象象地地写写成成“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例题例题：xx4sin3sinlim.10 x求求例例kxkxkxkxksinlimsinlim 0 x0 x 解解xkxsinlim 20 x例例0 kxx4sin3sinlim :0 x解解xxxx4sin4lim33sinlim430 x40 x3 1cos1.sinlim0 xxxx xxxtanlim0)434sin433sin(lim0 xxxxxxx 43 k “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。.cos1lim.320 xxx 求求例例解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 2022sinlim21 xxx2121 .21 .sintanlim. 430 xxxx 求求例例30)cos1 (tanlim:xxxx 原原式式解解2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 20cos1sincos1limxxxxxx.212111 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例xxxarcsinlim0计算计算所所以以时时当当则则令令,sin,arcsin00 txtxtx解100 ttxxxxsinlimarcsinlim“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。exxx )11(lim)71828. 2( . 3)1.(2.;: . 1: eex其其中中极极限限值值型型极极限限过过程程是是指指数数第第二二项项与与指指数数互互为为倒倒数数中中间间是是函函数数个个极极限限我我们们从从三三方方面面来来认认识识这这e )11 (lim可可形形象象地地表表示示为为2.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。exfxfxf )()()(11 (limexxx 2)211(lim:如如exxx )11 (limexxx 10)1(lim1)1ln(lim0 x xxexxx )11 (limexxx sec2)cos1(lim )1(型型 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例6 6.)21(limxxx 求求解解22)211(lim xxx原原式式.2 exx)31(lim . 5x 求求例例33x31lim : xx）（原原式式解解法法二二xx20 x1lim）（请请大大家家做做 2 e)1(型型 , 3uxu,3x: 则则令令法法一一解解3e 3e )1 (型型 uuu311lim）（原原式式 311limuuu）（ 33x31limxx）（ “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例7. xxxx)32(lim 求求3)11(lim)32(lim uuxxuxxuxx1132 解解：令令3)11(lim)11(limuuuuu )1 (型型 于于是是时时，当当. ux得得x=u+3ee 31“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例8 8“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例9 9解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则则当当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx时时，即即，当当“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。xxxx212)(lim 求求212211112 )()(lim)(limxxxxxxx2221111111exxxxx )(lim)(lim例10解“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。小结:两个重要极限 )(xsinlim)(xfxxx换成换成1101)()(sinlim0(x) xfxffexxx )(lim)(112. 1sinlim0 或或形形象象地地写写成成e )(lim11可可形形象象地地表表示示为为exfxfxf )()()(11(lim“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。
