任意角三角函数课件ppt.ppt

1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数1.复习引入复习引入我们已经学习过锐角的三角函数，如图：我们已经学习过锐角的三角函数，如图：你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗? ?sinBCAACcosABAACtanBCAABABC设锐角设锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合重合,始边与始边与x轴的正半轴的正半轴重合轴重合,那么它的终边在第一象限那么它的终边在第一象限.的终边上任意一点的终边上任意一点P的坐标为的坐标为(a,b),它与原点的它与原点的距离是距离是_过过P作作x轴的垂线轴的垂线,垂足为垂足为M,则则线段线段OM的长度为的长度为_线段线段MP的长度为的长度为_2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数220rabMyxOP(a,b)abMyxOP(a,b)sin,cos,tanMPbOMaMPbOPrOPrOMaP(a,b)MA(1,0)xy1将点将点P取在使线段取在使线段OP的长的长r=1的特殊位置上的特殊位置上sin,cos,tanMPbOPOMaOPMPbOMa以原点以原点O为为圆心圆心,以单以单位 长 度 为位 长 度 为半 径 的 圆半 径 的 圆称 为称 为 单 位单 位圆圆P(x,y)A(1,0)xy3.利用单位圆定义任意角的三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于它的终边与单位圆交于点点P(x,y)(1) y叫做叫做的的正弦正弦,记作记作sin,即即 sin=y(2) x叫做叫做的的余弦余弦,记作记作cos,即即 cos=xyx(3) (3) 叫做叫做正切正切, ,记作记作tan,即即tan0yxx2kkZ4.三角函数三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数函数弧度制下弧度制下,角的集合与实数集角的集合与实数集R之间建立之间建立了了一一对应一一对应关系关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数三角函数可以看成自变量为实数的函数51 .3例 求的正弦、余弦和正切值yxBA53O13,225sin332 15cos3235tan3 5=3AOB解解: 在直角坐标系中在直角坐标系中,作出作出5.典型例题典型例题练练例例2 已知角已知角的终边经过点的终边经过点P0(-3,-4),求角求角的正弦、的正弦、余弦和正切值余弦和正切值解解:220345OP 设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点分别过点P、P0作作x轴的垂线轴的垂线MP、M0P0,则则0004,3,M PMPy OMOMx yxOMM0P0(-3,-4)P(x,y)000sin14;5MPyyOPM POP 003cos;15OMOMxxOPOP sin4tancos3yx知道知道终边上任意一点终边上任意一点P(x,y),就可以求出角就可以求出角的三角函数值的三角函数值.yxOMP(x,y)sin,MPxOPrtanMPyOMxcos,OMyOPr22rxy练练6.三角函数的定义域三角函数的定义域sin cos tanyyxx三角函数三角函数定义域定义域sincostanRR,2|Zkk根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+sin cos tanyyxx-+sincostanyOxOxyOxy口诀：口诀： 一全正一全正 二正弦二正弦 三正切三正切 四余弦四余弦例例3 3 求证求证: :当且仅当下列不等式组成立时当且仅当下列不等式组成立时, ,角角为第三角限角为第三角限角sin0,tan0.证明证明: :如果如果式都成立式都成立, ,那么那么为第三为第三象限角象限角. .若若sinsin000, ,那么那么角的终边可能位于角的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. .因为因为式都成立式都成立, ,所以所以角的终边只能角的终边只能位于第三象限位于第三象限. .于是于是为第三象限角为第三象限角可以把求任意角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值.转化为求转化为求0到到2(或或0至至360)角的三角函数值角的三角函数值.7.终边相同的角的同一种三角函数值相等终边相同的角的同一种三角函数值相等sin2sincos2costan2tan.kkkkZ其中诱导公式一诱导公式一角角终边每终边每绕原点旋转绕原点旋转一周一周,函数值函数值将重复出现将重复出现例例4 4 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号, ,然后用计算器然后用计算器验证验证: : 1 cos250 ; 2 sin;43 tan672; 4 tan3 .解解:(1)因为因为250是第是第_象限角象限角,所以所以cos250 0 (2)因为因为 是第是第_象限角象限角,所以所以 (3)因为因为tan(-670)=tan(48-2360)=tan48而而48是第一象限角是第一象限角,所以所以 tan(-672) 0(4)因为因为tan3=tan(+2)=tan=0三三4sin 04四四练练例例5 5 求下列三角函数值求下列三角函数值 9111 sin148010; 2 cos; 3 tan.46 : 1 sin148010 解sin 40104 360 sin40100.6451 92 cos4cos242cos42 113 tan6tan263tan63练习练习1._tan600o的值是的值是D3D 3C 33B 33A. ._, 0cossin在在则则若若 第第二二、四四象象限限 第第一一、四四象象限限第第一一、三三象象限限 第第一一、二二象象限限.D .C.B .A练习练习2.B_0sin20cos边边在在的的终终则则若若 ，且且第第二二象象限限 第第四四象象限限第第三三象象限限 第第一一象象限限.D .C.B .A练习练习3.CyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()1.下面从图形角度下面从图形角度认识一下三角函数认识一下三角函数角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|思考思考(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否能否给线段给线段OM、MP规定一个适当的方向规定一个适当的方向,使它使它们的取值与点们的取值与点P的坐标一致的坐标一致?|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与与x轴轴同向同向时时,OM的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值x;当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向的方向为为负向负向,且有且有负值负值x.OM=x=cos 当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同向同向时时,MP的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值y;当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的方向为的方向为负向负向,且有且有负值负值y.MP=y=sin(2)你能借助单位圆你能借助单位圆,找到一条如找到一条如OM、MP一一样的线段来表示角样的线段来表示角的正切吗的正切吗?思考思考TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单作单位圆的切线位圆的切线,设它设它与与的终边或其的终边或其反向延长线相交反向延长线相交于点于点T.tanMPOMATyATOAx这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切线线,统称为统称为三角函数线三角函数线yxTM OP的的终边终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正切值都为切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.例题例题求证：当为锐角时，求证：当为锐角时，tansin1.1.任意角的三角函数的定义。任意角的三角函数的定义。2.2.明确各种三角函数的定义域。明确各种三角函数的定义域。3.3.掌握各种三角函数在不同象限的正负掌握各种三角函数在不同象限的正负情况情况. .小结小结单位圆单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度单位长度的圆。三角函数线三角函数线：用有向线段的数量有向线段的数量来表示。sincostanMPOMATOxyPMAT规律规律：三角函数线是：三角函数线是有向线段的数量有向线段的数量，要，要分清分清起点、终点起点、终点。1 1）凡含原点的线段，均以原点为起点；）凡含原点的线段，均以原点为起点； 2 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；为起点；3 3）正切线）正切线ATAT：起点：起点A A一定是单位圆与轴的一定是单位圆与轴的非负半轴的交点，终点非负半轴的交点，终点T T为终边（或延长线）为终边（或延长线）与过与过A A的圆的切线的交点的圆的切线的交点作业作业课本第课本第2020页习题页习题1.2A1.2A组组 2,5,72,5,7练习练习利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函数值的三个三角函数值7631,22yxA(1,0)76O解解:如图如图 与单位圆的交点为与单位圆的交点为7631,2271sin62y 73cos62x 73tan63yx返返练习练习已知角已知角的终边过点的终边过点P(-12,5),P(-12,5),求角求角的三的三角函数值角函数值解解:222212513rxy5sin13yr12cos13xr 5tan12yx 返返口答口答: 设设是三角形的一个内角是三角形的一个内角,在在sin,cos, tan, tan(/2)那些可能取负值那些可能取负值?0,0,22sin0,tan022cos0,tan0确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 1 sin156 162 cos 53 cos450174 tan 845 sin36 tan 5560cos 2cos055cos450720cos270077tan3tan08842sin2sin033tan 360196sin1960练习练习返返tan196o0填表填表: :角角090180270360角角的弧度数的弧度数sincostan023220101001001010A B C D反馈训练反馈训练 03，P（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（的是（ ）sincostancot（3）若角的终边过点，且，）若角的终边过点，且，53sinmm524cosmm_m（2）若，都有意义，则）若，都有意义，则8 ，aP53cos_a则则