同济版大一高数下第七章习题课(1)xgppt课件.ppt
“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第三十三讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2一阶微分方程的 习题课 (一)解法及应用 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4例例1. 求下列方程的通解yxy. 1(只介绍解题的思路） xyy1 yxu令22. 2yxyyxu令yxy1. 3解：解：解：解：解解解：解：解：解： yxx1 yxu令2yxyy. 4 111xxy xyxyy12225.0 x d yxyyd x 22111yyyxx（贝努里） 222xyyxy（齐次）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5例例2. 求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解xeyeyxydd32Ceexy331两边同时积分xeyexydd3133“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7例例3. 求下列方程的通解:将方程改写为xyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程) 0)1ln(dln2. 12xxyyyxxd解解通解1lnlncxdexexxxdxxxd2y)(ln21ln12cxx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。83223632.32xxyyx yy 方法方法 1 这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程 .xyu 令xQyxyP6“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9363.xyyx y解：解： 方程两边同乘以1x，得261dyyx ydxx代入公式，得5552 5dxdxxxyex edxC解之得 5525()2yxCx故原方程故原方程通解通解为5525()12x yCx(1)( )(1)( )1(1)( )nP x dxnP x dxnyenQ x edxc“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10例例4.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxfxexFxF24)(2)(“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11(2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22例例4.4.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且.2)()(xexgxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12已知函数在任意点x)0(, )(12yxoxxyy则)() 1 (y44)()()(2)(eDeCBA(P505 题题33 )21xyxdydD例例5处增量为)0(yxeyarctan提示：提示：题中隐含初值问题21d ydxyx1lnarctanC yx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13练习题练习题:P353 题2 求以1)(22yCx为通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去 C 得1) 1(22 yyP353 题3 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 这是一阶线性方程 , 其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQ“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14)ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 为贝努里方程 , 令2 yz0d)5(22yxyxxyyyxxddd提示提示: 为全微分方程 , 通解Cyxyxarctan)(21220d)3()6(24xyxyxyd提示提示: 可化为贝努里方程xyxyxy43dd令3zx1323xyxyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15原方程化为 2(10)yxxyxyxu2xydduxuuxudd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2xuxdd2xuudd2提示提示: 令yxxu2上式两边同时平方得,22uuxy则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16练习题练习题:P354 题题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线 y =f (x)上的动点为 M (x,y),)(xXyyY令 X = 0, 得截距, xyyY由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xy此点处切线方程为它的切线在纵切线上的动点为 ( X,Y ),“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17例例3. 求下列方程的通解:将方程改写为xyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程) 2 yz令0)1ln(dln2. 12xxyyyxxd解解xdydyxdzd32原方程两边同除以xzxxxdzd1ln13y得xyxxxyy21ln21dd23原方程整理为通解z1lnlncxdexexxxdxxxd2y)(ln21ln12cxx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18.32343yxyyx求通解解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy,3223134xyxyy即,31 yz令原式变为,3232xzxz,322xzxz即一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程例例5 5原方程的通解为原方程的通解为.73323731Cxxy
