数学物理方法-保角变换法ppt课件.ppt

保角变换法解定解问题的基本思想：保角变换法解定解问题的基本思想： 通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）将已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题边值问题，而后一问题的解易于求得于是再通过，而后一问题的解易于求得于是再通过逆变换逆变换就求得了原始定解问题的解就求得了原始定解问题的解这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法问题中的解析法保角变换法保角变换法。保角变换法保角变换法是解决这类是解决这类复杂边界的最有效方法复杂边界的最有效方法，特别适，特别适合于合于分析平面场分析平面场的问题。的问题。例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍容进行介绍复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 ( )f zw实现的从实现的从Z平面到平面到W 平面的变换在平面的变换在 ( )0fz的点具有的点具有保保角性质角性质，因此这种变换称为，因此这种变换称为保角变换保角变换下面我们主要讨论一一下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定对应的保角变换，即假定 ( )f zw和它的反函数都是和它的反函数都是单值单值函数函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一黎曼面的一叶叶 定理定理11.1.1 如果将由如果将由 izxy到到 iuwv的的保角变换保角变换看成为二元（实变）函数看成为二元（实变）函数 ( , )x y的变换由的变换由 , x y到到 , u v的的变量代换变量代换，则，则 z平面上的边界变成了平面上的边界变成了 w平面上的边界我们能证明，如果平面上的边界我们能证明，如果 ( , )x y程程，则经过保角变换后得到的，则经过保角变换后得到的 满足满足拉普拉斯方拉普拉斯方( , )uv也满足也满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程【证明【证明】 利用利用复合函数求导法复合函数求导法则有则有2222222222222() ()2uxuxxuuxuxuxxuxuxx vvvvvvvv (11.1.1)同理同理2222222222222() ()2uuyuyuyyuyuyy vvvvvv (11.1.2)两式相加得到两式相加得到222222222222222222222()() +()() +()() +2( + ) uuxyxyuxyuuxyuxyuuxxyyu vvvvvvvvv（11.1.3） 利用解析函数利用解析函数 ( )if zuwv的的C-R条件条件, uuxyxy vv (11.1.4)以及解析函数的实部和虚部分别满足以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质拉普拉斯方程的性质 222222220, 0uuxyxyvv (11.1.5)将式（将式（11.1.4）和式（）和式（11.1.5）代入到式（）代入到式（11.1.3）化简后得到）化简后得到222222222222222()() (+) |( )| (+)ufzxyxxuu vvv注意到上式已经使用了：注意到上式已经使用了： ( )iufzxxvw对于保角变换对于保角变换 ( )0,fzw因而只要因而只要 ( , )x y满足拉普拉斯方程，则满足拉普拉斯方程，则 ( , uv）也满足）也满足拉拉 普拉斯方程普拉斯方程，即为，即为222222220 (+)0 xyu v（11.1.6）这样我们就有结论这样我们就有结论：如果在：如果在 izxy平面上给定了平面上给定了 ( , )x y的拉普拉斯方程边值问题，的拉普拉斯方程边值问题， 则利用则利用保角变换保角变换 ( )f zw，可以将它转化为，可以将它转化为 iuwv平面上平面上 ( , uv)的的拉普拉斯方程边值问题拉普拉斯方程边值问题同理可以证明，在单叶解析函数同理可以证明，在单叶解析函数 ( )f zw =变换下，变换下，泊松方程泊松方程2222( , ) x yxy (11.1.7)仍然满足仍然满足泊松方程泊松方程（11.1.8）),(),()(122222vuyvuxzfvu 由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度电荷密度发生了变化发生了变化对于波动问题和输运问题，同理可以证明，对于波动问题和输运问题，同理可以证明，亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 222220 kxy (11.1.9)经变换后仍然服从经变换后仍然服从亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 (11.1.10)0)(222222zfkvu注意到方程要比原先复杂，且注意到方程要比原先复杂，且 前的系数可前的系数可 能能不是常系数不是常系数 保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决下面，在介绍用下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，先介绍常用到的一些保角变换先介绍常用到的一些保角变换11.1.2 常用的几种保角变换常用的几种保角变换azw将将z平面上的图形整体平移一个矢量平面上的图形整体平移一个矢量a。bazw1argj2ezzaabzz/12zaw 平移平移旋转旋转伸缩伸缩iierRwrez2,则令：zRw2)0(022zzRw保角性：保角性：保圆性：保圆性：保对称性：保对称性：Z平面内关于原点平面内关于原点O 对称点对称点P、Q 变换为变换为w 平面上的像平面上的像P、Q 也关于原点也关于原点O 对称。对称。OPQR_2OROQOP)(bcaddczbazwCBzAwcaCcdBcadbcA,2保圆性；保圆性；保对称性；保对称性；上式可写成上式可写成其中：其中：2i,2izz区域：111zzw212ww i22iww(-1,0)(1,0)2111111zzzzdzdw11, 2zz区域：201zzw1i2ww 212101zzzzdzdw1/22wew上半平面上半平面jerz nrnnzw jew讨论变换讨论变换若均匀场在若均匀场在w w 平面上是具有平行于两坐标轴的直平面上是具有平行于两坐标轴的直线族，则此变换将线族，则此变换将w w平面的正实轴变换成平面的正实轴变换成z z平面上平面上的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成z z平面平面上的正虚轴，这样上的正虚轴，这样w w平面的上半平面变换成平面的上半平面变换成z z平面平面的第一象限，如图所示。反之亦然的第一象限，如图所示。反之亦然 . . y xz平面W 平面uv2/12wzzw或(6) (6) 对数变换对数变换 对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变换。先研究指数变换的逆变换。先研究指数变换令令 ， 得得可知：可知：z平面上的直线平面上的直线x=常数变换到常数变换到w平面上的圆周平面上的圆周 常数，而直线常数，而直线y常数变换成射线常数变换成射线 常数。常数。,xeyezw je,jwyxzawarg0z(W平面)(ux)(vyw(z平面)(yv)(xu)2(Im0aazzwlnvru,lnuvjln rwjerz 例例1 试求平面静电场的电势分布试求平面静电场的电势分布 ( , )x y，其中，其中 0 (Im0)z12 (0)( ,0) (0)VxxVx【解解】 ln zwzw变换变换使上半使上半平面变成平面变成平面上的带形域平面上的带形域, 然的，类似于上面定解问题的结果然的，类似于上面定解问题的结果,则则本定解问题可归本定解问题可归结为结为而在带形域上的解是显而在带形域上的解是显11.1.3 保角变换法求解定解问题典型实例保角变换法求解定解问题典型实例12( , )VVuvv x y u O O 1v 2v 1v 2v v z平面 w平面 i lnzw而而 ilnlniarguzzzwv所以所以arg zv于是，于是，作反变换便可求得所求问题的解作反变换便可求得所求问题的解为为121212( , )argarctanVVVVVVyx yzx12 (0) (2)vvv试用保角变换法求解一半径为试用保角变换法求解一半径为a的无限长导体圆柱壳的无限长导体圆柱壳内的电场分布情况内的电场分布情况【解解】即求解定解问题即求解定解问题2120 () (0) (2)aavvvv例例 2 若把柱面充电到若把柱面充电到 作如下的保角变换作如下的保角变换(1) 作变换作变换 azz 1把原图象缩小为把原图象缩小为 a1倍即将倍即将任意的圆周变换为单位圆任意的圆周变换为单位圆 (2) 再作变换再作变换 把把 11z变换为变换为 0Im2z，其边界的变换是，其边界的变换是将下将下半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴11211zziz z平面 x 0 1z平面 1x 1y 2x 1v 2v 2z平面 平面 i y 2y （3）再作变换）再作变换 2lnz2z把把平面的上半平面变成平面的上半平面变成平面上平行于实轴，平面上平行于实轴，宽为宽为 的一个带形区域，其边界的的一个带形区域，其边界的 2z2zIm变换是将变换是将平面的正半实轴变换为平面的正半实轴变换为平面的实轴，平面的实轴，平面的负半实轴变换为平面的负半实轴变换为平面的平行于实轴的直线平面的平行于实轴的直线所以，在变换所以，在变换lniazaz之下，之下，定解问题变换为定解问题变换为20120vvvvv定解问题的解定解问题的解（仿上例）为（仿上例）为21211Imvvvvvv将变量回到将变量回到z平面，则平面，则2112112222121112112121222222Imln(i) Imlni() ln() i arctanarctanarctan222 arctanarctan22a za zya xx aya xyaxyyx aayayayaxyaxyvvv vvvvvvvvvvvvvvvvv化成极坐标形式，则上式又改写成化成极坐标形式，则上式又改写成1212222sin( , )arctg, ()2aaa vvvvv从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界所围成的区域变换成上半平面的带形域所围成的区域变换成上半平面的带形域 0Im问题就容易解决了问题就容易解决了2 yx21212uv例例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径分别为分别为R1、R2，电势分别为，电势分别为 、 。求导体内。求导体内任一点的电势。任一点的电势。1zwln202222vu1202vvvSC2112ln,lnRvRv0)20 ,(0210212RrRrRrR作业：作业：p376，1，2， 6（1）、（）、（2）这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐，这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐，过期不候！过期不候！