概率论-随机变量的函数及其分布ppt课件.ppt
下下回回停停二二、离散型随机变量、离散型随机变量 的函数的分布的函数的分布 三三、连续型随机变量、连续型随机变量 的函数的分布的函数的分布第三节第三节 随机变量的函数随机变量的函数 及其分布及其分布(1)(单个随机变量的函数的分布单个随机变量的函数的分布)一、一、问题的提出问题的提出 一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.例如，已知圆柱截面直径例如，已知圆柱截面直径 d 的分布的分布.42的分布的分布求截面面积求截面面积dA 已知已知 t = t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V 的分布的分布t0t0 求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等为电阻）的分布等. 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分的分布？布？这个问题无论在实践中还是在理论上都这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的是重要的. 下面我们分离散型和连续型两种情况进下面我们分离散型和连续型两种情况进行讨论行讨论. 如何根据已知的随机变量如何根据已知的随机变量 X 的分布求得的分布求得随机变量随机变量Y = f (X)的分布？的分布？二、离散型随机变量的函数的分布二、离散型随机变量的函数的分布问题问题设设 f (x)是定义在随机变量是定义在随机变量X 的一切可能值的一切可能值 x的集合上的函数，若随机变量的集合上的函数，若随机变量Y随着随着X取取x的值的值而取而取y=f(x)，则称随机变量，则称随机变量Y为随机变量为随机变量X的的函数，记为函数，记为Y=f(X).例例1 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律的分布律213161303 XP求求Y=X-1的分布律的分布律.解解Y 的可能取值为的可能取值为4，1，2.6134 XPYP3101 XPYP2132 XPYP 故故 Y 的分布律为的分布律为213161214 YP由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布律离散型随机变量的函数的分布律Xkpkxxx21kppp21.,)(合合并并应应将将相相应应的的中中有有值值相相同同的的若若kkpxf)(XfY kp)()()(kxfxfxf21kppp21)(XfYX 函数函数是离散型随机变量，其是离散型随机变量，其如果如果的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量，也是离散型随机变量，X的分布律为的分布律为则则)(XfY 例例2Xkp211 616263 设设解解Xkp211 61626352 XY4 4 1 +Y 的分布律为的分布律为Yp4 1 2121.52的分布律的分布律求求 XY三、连续型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量X ., 0, 40,)(8其它其它xxpxX,是是连连续续型型随随机机变变量量设设 X)(XfY 1. 分布函数法分布函数法)(:yFY先求先求).()(:yFypYY 再求再求例例3.82的概率密度的概率密度求随机变量求随机变量 XY下面给出两种方法来求下面给出两种方法来求Y的概率密度函数的概率密度函数1 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解xxpyXd)(28 28 yXP)()(yFypYY 2 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.d)(28 xxpyX )28)(28(yypX21)28( ypX ., 0, 4280,21)28(81其它其它yy21)28()( ypypXY ., 0, 40,8)(其其它它xxxpX ., 0,168,328其它其它yy的定义域，的定义域，是是的反函数的反函数是是其中其中)(),( ,)()(11yfxfyf 定理定理(例例2.18)2. 公式法公式法 .0)(, )(,0)(, )( )(111时时当当时时当当xfyfxfyfyf),(xpXX具有概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量）上可导，）上可导，在（在（又设函数又设函数其中其中baxfx,)(. 是连是连则则或恒有或恒有且恒有且恒有)(),0)(0)(XfYxfxf 密度为密度为续型随机变量，其概率续型随机变量，其概率 ., 0, )()()(11其它其它 yyfyfpypXY证证, 0)( xf若若单单调调增增加加，且且其其反反函函数数则则)(xfy .),()(1上上单单调调增增加加在在 yfx 时，时，当当 y; 0)( yYPyFY时，时，当当 y; 1)( yYPyFY. 0d)(d)( yyFypYY时，时，当当 y)(yYPyFY yYPYP )(yYPyFY 0yYP 于是于是)(1yfXP )(1d)(yfXxxp)()( yyYPyFY )(1d)()(yfXYxxpyF)( yyyFypYYd)(d)( ydd d)()(1 yfXxxp )()(11 yfyfpX.0)(的的情情形形可可作作类类似似的的证证明明对对于于 xf时，时，当当 y证证 X 的概率密度为的概率密度为.,e21)(222)( xxpxX,)(baxxfy 设设,)(1abyyfx 得得.01 )(1 ayf知知例例4的线性函数的线性函数试证明试证明设随机变量设随机变量XNX),(2 也服从正态分布也服从正态分布)0( abaXY222)(e211abya .,e2122)(2)( yaaaby.),(1)( abyabypaypXY的的概概率率密密度度为为得得baXY )( ,(2abaNbaXY 得得 )()()(11 yfyfpypXY由由公公式式.e),1 , 0(的密度函数的密度函数求求设设XYUX 解解)1 , 0(UX的密度函数为的密度函数为X ).1 , 0(, 0),1 , 0(, 1)(xxxpX方法方法1 (公式法公式法)上可导，单调增加上可导，单调增加在在),(e xy,ln)(1yyfx yyf1 )(1 例例5 )(ypY .0,0, )()(11其他其他，yyfyfpX ., 0, 1)(0, )(111其他其他yfyf ., 0, 1ln0,11其他其他yy ., 0e,1,1其他其他yy方法方法2 (分布函数法分布函数法)(yYPyFY eyPX . 0,ln, 0),(yyXPyP . 0,d)(, 0, 0lnyxxpyyX yXxxpylnd)(0时，时，当当 . 1ln,d)(, 1ln0,d)(, 0ln, 01lnyxxpyxxpyXyX . 1ln,d)(, 1ln0,d)(, 0ln, 010ln0yxxpyxxpyXyX .1ln,d1, 1ln0,d1,0ln,010ln0yxyxyy .e, 1e,1,ln, 1,0yyyy )(yFY . e, 1e,1,ln, 10, 0, 0, 0yyyyyyyFypYYd)(d)( 从而从而 ., 0e,1,1其他其他yy ., 0, 10, 1)(其他其他xxpX）上为严增函数其）上为严增函数其，在区间（在区间（因为因为104/)(2xxgy 解解例例6求圆的面积的密度函数求圆的面积的密度函数.密度函数为密度函数为所以圆面所以圆面反函数为反函数为,/1)(,/4)(yyhyyhx 的的而而，则圆的面积，则圆的面积设圆的直径为设圆的直径为XXYX, 4/2 的的密密度度函函数数为为积积4/2XY 设圆的直径服从区间设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布上的均匀分布 ., 0, 4/0,1其他其他yy ., 0, 4/0|,/1| )/4()(其他其他yyypypXY.),1 , 0(求下列函数的密度函数求下列函数的密度函数设设NX;)1(2XY 分析分析内不单调，内不单调，在在),(2 xy处不可导，处不可导，在在0 xxy.故不能直接用定理故不能直接用定理解解)()1(yYPyFY 2yXP . 0, 0),(yyXPyP例例7.)2(XY . 0, 0, 0yyXyPy . 0),()(, 0, 0yyyy . 0, 1)(2, 0, 0yyy )(yFY即即 . 0, 1)(2, 0, 0yyyyyFypYYd)(d)( . 0,1)(2, 0, 0yyy . 0,21)(2, 0, 0yyyy . 0),(1, 0, 0yyyy . 0,e211, 0, 02)(2yyyy .0,e21,0,02yyyy )(ypY即即 .0,e21,0,02yyyyyXP . 0, 0),(yyXyPyP . 0, 1)(2, 0, 0yyyyyFypYYd)(d)( . 0),(2, 0, 0yyy . 0),(2, 0, 0yyy . 0,e212, 0, 022yyy)()2(yYPyFY 是严格是严格分布函数分布函数设随机变量设随机变量)(xFX证证是分布函数是分布函数)(xF单调不减单调不减且且)(, 1)(0 xFxF 严格单调增加严格单调增加又知又知依题意，依题意，)(xFR, y故故)(yYPyFY )(yXFP 例例81 , 0)(在在证明：证明：单调的连续函数，试单调的连续函数，试XFY .上服从均匀分布上服从均匀分布 . 1, 1, 10),(, 0, 01yyyFXPy)(yYPyFY )(yXFP . 1),(, 10,)(, 0),(yPyyXFPyP . 1, 1, 10),(, 0, 01yyyFFy . 1, 1, 10, 0, 0yyyy )()( yFypYY ., 0, 10, 1其他其他y.10)(上的均匀分布上的均匀分布，服从服从即即XFY 1. 1. 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布)(XfY kp)()()(kxfxfxf21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XfY 的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXfYX.)(, 内容小结内容小结Xkpkxxx21kppp21.,)(合合并并应应将将相相应应的的中中有有值值相相同同的的若若kkpxf2. 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布方法方法1.)()(d)()()()(的的密密度度函函数数求求导导得得到到再再对对YyFxxxpyXfPyYPyFYyxfXY 方法方法2 . , )()()(其其它它011yyfyfpypXY注意条件注意条件.答：答：思考题思考题是离散型随机变量是离散型随机变量是连续函数，若是连续函数，若设设Xxf)(是连续是连续？若？若也是离散型随机变量吗也是离散型随机变量吗则则XXfY)( 型的又怎样？型的又怎样？的取值是有限个的取值是有限个是离散型随机变量，它是离散型随机变量，它若若X的取值也是有限个或可的取值也是有限个或可或可列无限多个，因此或可列无限多个，因此 Y是是是离散型随机变量，若是离散型随机变量，若列无限多个，因此列无限多个，因此XY.量量不一定是连续型随机变不一定是连续型随机变连续型随机变量，那么连续型随机变量，那么 Y ., 0, 20,21)(其他其他xxp . 21, 1, 10,)(xxxxfy又设连续函数又设连续函数:)()(可以计算出来可以计算出来的分布函数的分布函数则则yFXfYY 密度为密度为上服从均匀分布，概率上服从均匀分布，概率在在设设)2 , 0(X例如例如; 0)(,0 yYPyFyY时时当当; 1)(,1 yYPyFyY时时当当)()(,10yXfPyYPyFyY 时时当当.2d21d)(yxxxpyy ,1 , 0的取值为的取值为由于由于Y所以所以,. 1, 110,2, 0, 0)( yyyyYFYY的分布函数为的分布函数为故故不是连续型随不是连续型随处间断，故处间断，故在在因为因为)(1)(XfYyyFY )()(XfYyFY 不是阶梯函数，故不是阶梯函数，故机变量，又因为机变量，又因为.也不是离散型随机变量也不是离散型随机变量解解备用题备用题例例2-1求圆周长求圆周长 Y1和圆面积和圆面积 Y2的分布列的分布列.分布列为分布列为的值均不相等的值均不相等,不需合并不需合并.各自各自和和的函数，的函数，都是都是和和212212YYXXYXY 为随机变量其分为随机变量其分径径测量一类圆形物体的半测量一类圆形物体的半X13121110kPX2 . 03 . 04 . 01 . 02YkP1691441211002 . 03 . 04 . 01 . 0kP1Y262422202 . 03 . 04 . 01 . 0所以所以 Y1的分布列分的分布列分Y2 的分布列为的分布列为解解故故可取值可取值的函数的函数是是. 5, 3 ,10,),5 ,100(2 XYNX)(111555100115 XPYP,0013. 0)3(1 1151003 XPYP例例2-2服从服从 N(100,52)工程队规定工程队规定:若工程在若工程在100天内完工天内完工可获奖金可获奖金10万元万元;在在100115天内完工可获奖金天内完工可获奖金3万万元元;超过超过115天完工天完工,罚款罚款5万元万元,求该工程队在完成求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布列此项工程时，所获奖金的分布列.设某工程队完成某项工程所需时间设某工程队完成某项工程所需时间X(天天)近似近似)(100105100100 XPYP5000. 0)0( ,4987. 0)0()3( 所以所获奖金所以所获奖金Y 的分布列为的分布列为故从本例得知故从本例得知,连续型随机变量的函数也可以是连续型随机变量的函数也可以是Y离散型的离散型的.kP1035 5000. 04987. 00013. 0)()(51001005100115 例例2-3 xxpxx,ee12)( . 0, 1, 0, 1)(xxxg当当当当解解5 . 0)1()0()0()1( YPXPXPYP所以所以Y的分布列为的分布列为Y-1 1P0.5 0.5由此可得由此可得已知随机变量已知随机变量的密度函数为的密度函数为的概率密度，其中的概率密度，其中试求随机变量试求随机变量)(XgY 所以所以为偶函数为偶函数因为因为,)(xp5 . 0)0()0( XPXP)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX 解解,2分布函数分布函数先求随机变量先求随机变量XY )0(时时当当 y例例5-1的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量X . 0e, 0, 0)(,32xxxxpxX.322的概率密度的概率密度和和求随机变量求随机变量 XYXY.d)(d)(xxpxxpyXyX )()(yFypYY )()(yypyypXXyyyy210e)(212)(3 . 0, 0, 0,2eyyyy再由分布函数求概率密度再由分布函数求概率密度. . 0,e, 0, 0)(23xxxxpxX当当 Y=2X+3 时时,有有32 xy,23 yxd)()()(23 yXyYxxpyFyp . 3, 0, 3,)23()23(2)23(3yyyeyy . 3, 0, 3,e)23(212)23(3yyyy
