概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布ppt课件.ppt
第三章第三章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 概率论与数理统计概率论与数理统计 随机变量的分布函数2连续型随机变量3离散型随机变量1第三章 一维随机变量及其分布第一节 离散型随机变量12随机变量的概念随机变量的概念离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律3常用的离散型分布常用的离散型分布一、随机变量的概念定义定义1 1 对于给定的随机试验， 是其样本空间，对 中每一样本点 ，有且只有一个实数 与之对应，则称此定义在上 的实值函数X为随机变量随机变量（Random variable）通常用大写英文字母表示随机变量，用小写的英文字母表示其取值 X一、随机变量的概念投掷一枚均匀硬币，观察硬币的着地面，此时观察对象是硬币的面，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：设X为一次投掷中出现正面的次数，即 反面正面，, 0, 1X二、离散型随机变量的分布律定义定义2 2 设X为随机变量，可能取的值是有限个或可数多个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量离散型随机变量，它的分布称为离散型分布离散型分布二、离散型随机变量的分布律设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为 ，事件 的概率为 ，那么，可以用下列表格来表达X取值的规律：其中 N 这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律分布律（或称为概率分布）,21xxixX , 2 , 1ipi二、离散型随机变量的分布律例例1 1 在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球，观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：当取到的是白球，当取到的是红球；0, 1X二、离散型随机变量的分布律则有于是X的分布律为nmmPXP抽到红球1nmnPXP抽到白球0二、离散型随机变量的分布律例例2 2 设随机变量 的分布律为：求 (1) (2) Y=2X+3 的分布律。2) 1( XY二、离散型随机变量的分布律解：由X的分布律可列出下表二、离散型随机变量的分布律由上表可定出(1) 的分布律为：(2) 的分布律为：2) 1( XY32XY三、常用的离散型分布1. 1. （0 01 1）分布）分布如果X的分布律为其中 ，则称X的分布为（0 0）分布或两点分布）分布或两点分布（Two-point distribution）三、常用的离散型分布2. 2. 二项分布二项分布在n重伯努利试验中，如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数，则X可能取的值为 ，且由二项概率得到x取k值的概率因此，X的分布律为称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial distribution)，记作 ，这里n, 2 , 1 , 0pnBX,三、常用的离散型分布例例3 3 一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球的次数，求随机变量 的分布律及至多取出一次黑球的概率解 每次取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布 ，其分布律为41, 3B3 , 2 , 1 , 0434133kkkXPkk三、常用的离散型分布即为至多取出一次黑球的概率为322764276427101XPXPXP三、常用的离散型分布3. 3. 几何分布几何分布设随机变量X的分布律为 P 则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution)，记作 1(1),01,1kXkpppk XG p三、常用的离散型分布几何分布具有下列无记忆性：因此代入即得结论。()(),P Xmn XmP Xn m nN()(1),m nP Xmnp()(1)nP Xnp三、常用的离散型分布4.4.超几何分布超几何分布设N，M，k为正整数，且 , ,若随机变量X的分布律为则称X服从参数为n，M，N的超几何分布超几何分布(Hype-geometric distribution)，记作 (),0kn kMN MnNC CP XkknC,XH n M N三、常用的离散型分布一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白球的数目，则X的分布为超几何分布。即12(),0kn kNNnNC CP XkknC三、常用的离散型分布5.5.泊松分布泊松分布设随机变量X的分布律为 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的泊松分布泊松分布(Poisson distribution)，记作 0( )XPekkXPk!, 2 , 1 , 0k三、常用的离散型分布例例4 4 设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松分布，且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前来就诊的概率三、常用的离散型分布解 设X服从参数为 的泊松分布，由题意知即可解得因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为10XPXPee! 1! 0101.21! 11! 011101211110eeeXPXPXP三、常用的离散型分布定理定理1 1（泊松定理）lim(1)!kkkn knneC ppk(1)!kkkn kneC ppk三、常用的离散型分布例例5 5 设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独立射击1000次，试求1 000次射击中集中次数不超过10次的概率解 设X为1 000次射击中的击中次数，对每次射击而言，相当于做一次伯努利试验，1 000次就是做1 000重伯努利试验，因此 ，而这1 000次射击中击中次数不超过10次的概率为005. 0 ,1000 BX1005986. 0!510kkekXP第二节 随机变量的分布函数12分布函数的概念分布函数的概念分布函数的性质分布函数的性质一、分布函数的概念定义定义3 3 设X是一个随机变量，称定义域为 ，函数值在区间0,1上的实值函数 为随机变量X的分布函数分布函数（Distribution function）, xXPxFx一、分布函数的概念例例6 6 设一口袋有六个球，其中一个白球、3个红球、2个黑球从中任取一球，记随机变量 为取得球上的颜色（白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函数解 X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知 取这些值的概率依次为 31,21,61一、分布函数的概念F(x)点表达式为 0,1;1/6,12;2/3,23;1,3.xxF xxx一、分布函数的概念按分布函数的定义可知F(x)x-112301图图4-14-1 aFbFaXPbXPbXaP二、分布函数的性质1. 2.对于任意二点x1，x2，当x,x2时，有 即任一分布函数都是单调不减的3. 及 4. 即任一分布函数是一个右连续函数 10 xFx 21xFxF 0limxFx 1limxFx 00limxFxFxx0 x第三节 连续型随机变量12连续型随机变量概念连续型随机变量概念连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布3常见的连续型分布常见的连续型分布一、连续型随机变量概念定义定义4 4 如果随机变量X的分布函数可表示为其中 ，则称X为连续型随机变量连续型随机变量， 为X的概率密概率密度函数度函数(Probability density function),简称密度函数密度函数(Density function)，并称X的分布为连续型分布 xF xf t dt 0 xf xf一、连续型随机变量概念密度函数f(x)具有下列性质：(1)(2)(3) 0 xf 1dxxf baabdxxfdxxfdxxfbXap一、连续型随机变量概念例例7 7 假设X是连续型随机变量，其密度函数为求：c的值； 解(1)(2) 其他, 0; 20,2xcxxf11XP1202dxxc83c11XP81二、连续型随机变量函数的分布定理定理2 2 设连续型随机变量X的密度函数为 ， 是一个单调函数，且具有一阶连续导数， 是 的反函数，则 的密度函数为)(xfX)(yxg)(XgY )()()y(yhyhffXY二、连续型随机变量函数的分布例例8 8 设随机变量X ，求随机变量 的密度函数。解：随机变量X的密度函数为 ），（2NbaXY)0(a222e21)(）（ xXxfxbaXY22N aba（，）二、连续型随机变量函数的分布例例9 9 设随机变量X的密度函数为求：Y=2X+3的密度函数。二、连续型随机变量函数的分布解：由分布函数的定义得Y的分布函数为： = =由此可得Y的密度函数 =)(yFYyYP3, 03,23-y032yydxexx)(YyF3, 03,23y212)23(3yyey）（三、常见的连续型分布1.1.均匀分布均匀分布设随机变量X的密度函数为则称X服从区间(A,B)上的均匀分(Uniform distribution)，记为 ., 0;,1其他bxaabxf,XU a b三、常见的连续型分布均匀分布的分布函数为 ., 1, 0bxbxaabaxaxxF三、常见的连续型分布例例10 10 试用均匀分布来求解下题：某城际轻轨从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客在9:00到9:30之间随机到达该车站，该乘客等候不到5分钟乘上车的概率；该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率三、常见的连续型分布解 设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站，由于乘客在9:00到9:30之间随机到达，因此X服从区间(0，30)上的均匀分布，即X的密度函数为该乘客等候时间不到5分钟，必须且只需在9:10到9:15之间或在9:25到9:30之间到达车站，因此所求概率为同的分析方法类似可得到所求概率为 ., 0;300,301其他xxf31201550XPXP三、常见的连续型分布2.2.指数分布指数分布如果X的密度函数为 为常数称随机变量X服从参数为 的指数分布指数分布(Exponentially distribution)，记为 服从指数分布的随机变量X的分布函数为 EX 0,0;1,0.xxF xex 其他，, 0; 0,xexfx0三、常见的连续型分布定理定理3 3 非负连续型随机变量X服从指数分布的充分必要条件是：对任意正实数r和s，有P Xrs XsP Xr三、常见的连续型分布例例11 11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位:min）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进银行并开始办理业务（假定银行只有一个窗口提供服务），试求你将等待超过5分钟的概率，5分钟到10分钟之间的概率三、常见的连续型分布解 令X表示银行中正在办理业务的人所用的时间，由题意可知，X服从参数为0.2的指数分布，因此X的密度函数为所求概率分别为： ., 00,2 . 02 . 0其他xexfx52 . 02 . 05dxeXPx152 . 0eex1052 . 02 . 0105dxeXPx211052 . 0eeex三、常见的连续型分布3.3.正态分布正态分布定义定义5 5 若随机变量X的密度函数为则称X服从参数为 的正态分布正态分布(Normal distribution)，或高斯分布高斯分布（Gauss distribution）记作 其分布函数为2, 2,XN 22221xexf 22()212txxF xf t dtedt三、常见的连续型分布当 时，称正态分布N(0,1)为标准正态分布， X的密度函数记为分布函数记为1, 02 x dtedttfxtxx2221 2212xxex三、常见的连续型分布定理定理4. 4. 设 ，则有（1）（2）（3）（4）0,1XNx x11( )p Xxx ( )( )p aXbba 2( ) 1pXaa 三、常见的连续型分布例例12 设 借助于标准正态分布的分布函数表计算（1）（2）（3）（4）0,1XN1.96P X 1.96P X 1.96P X 12PX 三、常见的连续型分布解（1）（2）（3）（4）1.96P X 1.96P X 1.96P X 12PX 1.960.9751.9611.961 0.9750.025 21.9612 0.975 10.95 (2)( 1)(2)1(1)0.81855 三、常见的连续型分布定理定理5 5 设 ，则（1）（2）2,XN 2,XN bXaPab三、常见的连续型分布例例13 13 设Y服从N(1，5，4)，计算(1)(2)(3)(4)5 . 3YP5 . 3YP2YP3YP三、常见的连续型分布解解(1)(2)(3)(4)5 . 3YP5 . 3YP2YP3YP 8413. 0125 . 15 . 30030. 09970. 014013. 05987. 0125. 0125 . 1217612. 09878. 017734. 0Thank you
