剪应力互等定理由平衡方程ppt课件.ppt

第三章第三章 扭转扭转31 概述概述 32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度分析强度分析35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题第三章第三章 扭扭 转转 内容提要内容提要重点、难点重点、难点扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 等直圆杆扭转时的应力与强度条件等直圆杆扭转时的应力与强度条件等直圆杆扭转时的变形与刚度条件等直圆杆扭转时的变形与刚度条件扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图圆轴扭转时的剪应力及强度条件圆轴扭转时的剪应力及强度条件 剪应力互等定理剪应力互等定理圆轴扭转时的变形及刚度条件圆轴扭转时的变形及刚度条件扭转超静定问题扭转超静定问题一、工程实例一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。MMFFM 3 - 1 概概 述述3、机器中的传动轴工作时受扭。4、钻井中的钻杆工作时受扭。Mm二、扭转的概念二、扭转的概念扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA外力特征：外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢表示符合右手 螺旋法则。变形特点：变形特点：轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴 线的相对转动。扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。mmOBA以扭转变形为主的杆件以扭转变形为主的杆件 称为轴。称为轴。32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nm2m1m31, 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nm2m1m3一传动轴，转速为一传动轴，转速为 n转转/min ，轴传递的功率由主动轮输入，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 Nk千瓦（千瓦（kW)，则作用在该轮上的外力偶矩，则作用在该轮上的外力偶矩 m 可按以下方法求得可按以下方法求得。n轴的转速轴的转速 ( r/min ) (kW).(559mKNnN.mK).(024.7mKNnPm (PS)nnmmxmx在在nn截面处假想将轴截面处假想将轴截开取左侧为研究对象截开取左侧为研究对象分析图示圆轴任一横截面分析图示圆轴任一横截面 nn上的内力。仍用上的内力。仍用 截面法截面法。11，扭矩和扭矩图，扭矩和扭矩图nnmmxmxMn横截面上的内力应是一个横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上力偶称为该横截面上 扭矩扭矩0mxmMnmxMn取右侧为研究对象取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。数值相同但转向相反。mxnnmmxMnmxMn右手螺旋法则右手螺旋法则：当力偶矩矢的：当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，指向背离截面时扭矩为正，反之为负。反之为负。扭矩符号的规定扭矩符号的规定用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。称为扭矩图。 目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规律；| |max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截强度计算（危险截面）。面）。Mnm4ABCDm1m2m3n例题：例题：一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速 n = 300转转/min ，主动轮输入的，主动轮输入的功率为有功率为有N1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为三个从动轮输出的功率分别为N2 = 150 kW 、N3 = 150 kW及及N4 = 200 kW。试做扭矩图。试做扭矩图。解解:计算外力偶矩计算外力偶矩mkNm.9 .151mkNmkN.m.mm.37.6784432ABCDm1m2m3m4ABCDm1m2m3nABCDm1m3m4m222计算计算 CA 段内任横一截面段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩 。假设。假设 M n2为正值。为正值。结果为负号，说明结果为负号，说明M n2 应是负值扭矩应是负值扭矩BCxm2m3Mn2由平衡方程由平衡方程(-)0, 0232MmmnxmmkNmmMn56. 9)(322ABCDm1m3m4m2同理，在同理，在 BC 段内段内mKN.-m-Mn78421在在 AD 段内段内mKN.mMn376431133m4Mn3m2Mn1注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同。相同。mKNMn.78.41mKNMn.37.63mKNMn56. 9max+4.789.566.37从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩在在 CA段内。段内。ABCDm1m2m3m4作出扭矩图作出扭矩图mKNMn.56.92实验实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式。应力的计算公式。1 1、实验：、实验：3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力( (壁厚壁厚0101rt ,r0：为平均半径）：为平均半径）_2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3 3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量 。4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力00（1 1）00（2 2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布, ,而且方向垂直于其半径方向。而且方向垂直于其半径方向。5 5、切应力的计算公式、切应力的计算公式： d二、剪切胡克定律二、剪切胡克定律G在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。_tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。G 称为材料的称为材料的 剪变模量剪变模量 。其单位是。其单位是 Pa。G)1 (2EG_ 思考题：指出下面图形的剪应变思考题：指出下面图形的剪应变2 剪应变为剪应变为剪应变为剪应变为0 xydydzabdzdxc(1) 在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其方向于方向于 y 轴平行。轴平行。可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素 dy dz大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成一个力偶。一个力偶。三，三， 剪应力互等定理剪应力互等定理由平衡方程由平衡方程0y( dy dz) dx其矩为其矩为0 x0 MZ(2) 要满足平衡方程要满足平衡方程xydydzabdzdxcxydydzabdzdxc在单元体的上，下两平面上必有在单元体的上，下两平面上必有大小相等，指向相反的一对大小相等，指向相反的一对内力元素内力元素dxdz 它们组成的力偶，其矩为它们组成的力偶，其矩为dz)dxdy(此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得dz)dxdy( dy dz) dxxydydzabdzdxc：单元体两个相互垂直平面上单元体两个相互垂直平面上的剪应力同时存在，且大小的剪应力同时存在，且大小相等，都指向（或背离）该相等，都指向（或背离）该两平面的交线。两平面的交线。xydydzabdzdxc单元体平面上只有剪应力单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元而无正应力，则称该单元体为纯剪切应力状态。体为纯剪切应力状态。xydydzabdzdxc34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。_2. 物理关系：物理关系：胡克定律：胡克定律：代入上式得：代入上式得： GxGxGGddddxGdd _3. 静力学关系：静力学关系：OdA AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pIT_pIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：对于实心圆截面：D d O对于空心圆截面：对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDO d 应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。 确定最大剪应力确定最大剪应力：pIT由由知：当知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：对于空心圆截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt_三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的的螺旋线断开。螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。1. 点点M的应力单元体如图的应力单元体如图(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的应力；斜截面上的应力； 取分离体如图取分离体如图(d)：(d) x(d) xnt转角规定：转角规定：轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆时针：为逆时针：为“+”顺时针：为顺时针：为“”由平衡方程：由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：解得：2cos ; 2sin _2cos ; 2sin 分析：分析：当当 = 0时，时，max00 , 0当当 = 45时，时，0 , 45min45当当 = 45时，时，0 , 45max45当当 = 90时，时，max9090 , 0 45 由此可见：由此可见：圆轴扭转时，在横截圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角方向角 = 45 的斜截面上作用有最的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。论，就可解释前述的破坏现象。四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt 例题例题： 图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，AB段的直径段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m， mB = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力。已知材料的许用剪应力 = 80MPa，试，试校核该轴的强度。校核该轴的强度。ABCmAmBmC解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图ABCmAmBmC+2214mA = 22 kN。m，mB = 36 kN。mmC =14 kN。m 84.6416)12. 0(1022163331111max1MPadMWMnn3 .7116)1 . 0(1014163332222max2MPadMWMnn因此，该轴满足强度要求。因此，该轴满足强度要求。ABCmAmBmC+2214分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp_二、单位扭转角二、单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。_刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度：校核刚度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。例题例题 ：图示传动轴系钢制实心圆截面轴：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。 距离分别为距离分别为 lAB = 300 mm 和和 lAC = 500 mm。轴的直径。轴的直径d = 70 mm ，钢的剪变模量为，钢的剪变模量为 G = 80 GPa。试求截面。试求截面 C 对截面对截面 B 的对扭转角。的对扭转角。， m2 = 955 Nm ， m3 = 637 N m。截面截面 A与截面与截面 B、C之间的之间的已知已知： m1 =1592 N mm1m2m3lABlACBCA12m1m2m3lABlACBCA12 解法解法1 ：假设：假设 A截面不动，先分别计算截面截面不动，先分别计算截面 B、C 对截对截 面面 A 的相对扭转角的相对扭转角AB 和和AC 。ABradGIlMPABnAB34911052. 107. 03210803 . 0955与与m2转向同转向同m1m2m3lABlACBCA12 ABm1m2m3lABlACBCA12 radGIlMPACnAC34921069.107.03210805.0637与与m3转向同转向同ACAB截面截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 BC 为为rad.ABACBC41071转向与转向与 m3 相同相同m1m2m3lABlACBCA12 ACABGIlmPABBABC11解法解法 2 ：设截面：设截面 B固定不动固定不动，先分别计算先分别计算m1、m3 单独单独作用下截面作用下截面 C 对截面对截面 B 的的相对扭转角相对扭转角 BC1 和和BC2，然后叠加，即采用然后叠加，即采用叠加法叠加法。m1单独作用下截面单独作用下截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 BC1 ABCm11BC21BCBCBC IGllmPACABBC)( 32rad10714- .GIlmPAB1 IGllmPACAB)( 3转向与转向与m3同同ABCm32BCm3 单独作用下截面单独作用下截面 C 对对截面截面 B 的相对扭转角的相对扭转角BC2，C 截面对截面截面对截面 B 的相对的相对扭转角扭转角m1ABClABlAC解法解法 3 ：设截面：设截面 B 固定不动固定不动BAACBCm3CmACmAC = - m3GIlmGIlmPACPACACAC3m2m2Am3mABmAB = m2GIlmGIlmPABPABABBA2m1ABClABlACBAACBCm3CmACGIlmGIlmPACPACACAC3m2m2Am3mABGIlmGIlmPABPABABBA2BAACBCGIlmGIlmPABPAC23rad107 . 14转向与转向与 m3 同同例题例题 ： 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用 40 号钢的电焊钢管制成，号钢的电焊钢管制成，钢管外径钢管外径D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩，轴传递的转矩m=1.98KNm,材料的许用剪应力材料的许用剪应力 = 100MPa，剪变模量为剪变模量为 G = 80GPa ，轴的轴的许可许可扭角扭角 = 2 /m 。试校核轴的。试校核轴的强度和刚度。强度和刚度。DdtmmDdtmm解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩KNmmMn98. 1轴的内，外径之比轴的内，外径之比934. 02DtDDdmmDIWpn341006. 22mmDIP45441082. 732)1 (Ddtmm由由81.11800maxmaxmGIMPn1 .96maxmaxMPaWMnn由由 MPadMn1 .96163maxmax将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的截面面积为实心轴的截面面积为mmdA1749422实实空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为mmA5774)7176(222空空两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比横截面积之比，512. 0)8 . 01 (194. 1)1 (4)(4222122221222212dDddDAA 在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。轻，即节省材料。36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 例例 长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，若杆的内外径之比为若杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，外径，外径 D=0.0226m =0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。试求固端反力偶。解：解：杆的受力图如图示，杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。 平衡方程为：平衡方程为：02BAmmm几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得由平衡方程和补充方程得：另另: :此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm