同济版大一高数下第七章第三节齐次方程ppt课件.ppt
“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1主讲教师主讲教师: : 王升瑞王升瑞高等数学 第三十讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2齐次方程 第三节 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3一、齐次方程一、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,uxy 则代入原方程得,ddddxuxuxy),(dduxuxuxxuuud)(dxxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法解法:分离变量: ln C x说明说明:有些一阶方程虽然不是可分离变量型,但可以根据方程的特点通过对未知函数作适当的变量代换,而化为可分离变量的方程.一阶齐次方程就是此类方程。uuxux)(dd“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,dxduxudxdyxuy则代入原方程得uudxduxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分得,lnsinlnxCu xCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )xxuuddsinsin“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,ln1lnxCuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6例例3. 解微分方程. 0d)(d22yyxxxy解解:22ddyxyxyx方程变形为uyxyxu令代入上式并整理后则有2yxyxydudyuydxd2uydudy分离变量并两边同时积分有：ydyuud21ln C yu通解lnyC yx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7求解微分方程. 0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu , 0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnlnsinCxuxCxylnsin微分方程的解为微分方程的解为解解例例4，则udxxdudyxuy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8.)(2的通解求yxdxdy解解, uyx令1,dydudxdx代入原方程代入原方程,12udxdu,arctanCxu解得得代回, yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 例例5xdudu211dxdudxdy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。92222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy,xyu 令则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx求解微分方程解解例例61lnln2ln1ln,2uuuCx.2(1)uCxuu微分方程的解为微分方程的解为2() (2 ).yC yxyx1 111 (),221dxduuuux21(1)(2)uudxduu uux“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111时当bbaa作变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程)定常数), ,代入将kyYhxX求出其解后, 即得原方程的解. “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11,. 211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc)0( b111ddcybxacybxaxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12例例6. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 khYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh5, 1kh得XXuuudd112令hxky)6()4(dkhkhXYd11ddXYuuXuXu11dd积分得uarctan)1(ln221uXCln“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1315arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得 C = 1 ,故所求特解为15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改为 ,64ddyxyxxy如何求解? 提示提示:. yxv令积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解:令,5, 1yYxXYX uhxky5, 1kh“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14 P309 1(1), (4), (6); 2 (2), (3); 3; 4(2)作业作业
