高等数学曲面积分与曲线积分重点难点.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高等数学曲面积分与曲线积分重点难点第十章第十二章 曲线积分与曲面积分一基本要求1正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。2熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。3掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。4掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。5会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功及流量等）。二主要内容(见第二页至第十三页)1 主要内容联系（框图）2 曲线积分和曲面积分（表格）3 曲线和曲面积分的解题步骤（框图）4 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格）5 在平面区域上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图）6 全微分方程（框图）7 注解（注一至注十）（表格）三考点与难点考点：1两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法。 2格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。3应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。4曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。难点：应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。四例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例至例五部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题（一）至习题（十五）六试卷（见第三十一页至第三十八页）试卷、试卷、试卷 七试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页） 试卷、试卷、试卷答案及题解二主要內容 1。主要内容联系（框图）曲面积分联系曲线积分斯托克斯公式（空间上） 意义推广特殊联系高斯公式格林公式（平面上）联系意义散度、通量。参见注解之注九旋度、环流量。参见注解之注十（物理意义）（化为）二重积分（化为）三重积分在平面区域上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件应用 对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分联系联系对弧长的曲线积分两类曲面积分之间联系公式两类曲线积分之间联系公式求全微分函数联系联系联系联系直接法参见解题步骤及注解之注八直接法参见解题步骤及注解之注七直接法参见解题步骤及注解之注四直接法参见解题步骤及注解之注三 全微分方程（化为）定积分（化为）二重积分2曲线积分和曲面积分（表格）（A）两类曲线积分及相互之间联系类型 积分类型内容对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义平面：空间：（光滑曲线弧）积分弧段（在上有界）被积函数（在上有界）被积函数参见注解之注一（第12页） 平面：空间：类似定义：、。（光滑有向曲线弧）积分弧段（在上 有界）被积函数（在上 有界）被积函数参见注解之注二（第12页）几何意义及物理意义平面：；空间：(1) 当被积函数为1时是曲线弧或的弧长。(2) 平面：当非负，为与轴平行的柱面侧面积。柱面底是，高是。(3) 线密度为被积函数的曲线弧或的质量。变力沿有向曲线所作的功变力沿有向曲线所作的功向量形式，,的定义见左侧。 ，的定义见左侧。性质1（为常数）2（）3设在上，则特别地 1（为常数）2 （，与的方向一致）3 是的反向曲线弧，则解题方法1 直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注三（第7页、第12页）。2 联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。1， 直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注四（第7页、第12页）。当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线（选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件（第10页）。2， 联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。3， 公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算），若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（第9页）。两类曲线积分之间的联系（平面上）（空间上）。是有向曲线在点处的单位切向量或（B）两类曲面积分及相互之间联系类型内容对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义（光滑曲面）积分曲面（在上有界）被积函数。参见注解之注五（第12页）。（光滑有向曲面）积分曲面（在上有界）被积函数。参见注解之注六（第13页）。几何意义及物理意义当为空间薄片的面积。面密度为的空间薄片的质量。流速的流体（不可压缩）在单位时间穿过有向曲面的通量（流量）。向量形式性质1 （为常数）23在上，则特别地1（为常数）2（与的方向一致）3是取相反侧的有向曲面，则解题方法1 直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注七（第8页、第13页）。2 联系法：化为对坐标的曲面积分，再应用对坐标的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。3 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。1 直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注八（第8页、第13页）。2 联系法：化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。3 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。两类曲面积分之间的联系。是有向曲面在点处的单位法向量或3曲线积分和曲面积分的解题步骤（框图） (A)曲线积分(直接法)曲线积分解题步骤 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分第一步曲线弧在轴投影为零（曲线弧：其中=常数）（为中之一）对坐标的曲线积分为零不得选取为积分变量曲线弧起点和终点分别对应于参数。：曲线弧两端点对应于参数。第二步曲线弧在轴投影非零确定的变化范围。(平面上)（空间上）第三步确定积分元素 （平面上） (空间上) （平面上） (空间上)第四步曲线弧上的被积函数化成关于t的函数第五步定积分的计算式 （B）曲面积分（直接法）曲面积分解题步骤第三步确定积分元素对坐标的曲面积分对面积的曲面积分第一步曲面在坐标面上投影为零对坐标的曲面积分为零选取其它坐标面第二步曲面在坐标面上投影非零确定曲面在坐标面上的投影区域（不妨坐标面为平面）以投影区域作为积分区域由曲面的方向确定曲面在坐标面上投影的正负号。以投影区域作为积分区域第四步曲面上的被积函数化成关于积分区域上的函数第五步二重积分的计算式4格林公式，高斯公式及斯托克斯公式（表格）类型内容格林公式高斯公式斯托克斯公式定理设闭区域由分段光滑的曲线L围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成。函数在上具有一阶连续偏导数，则有设为分段光滑的空间有向曲线，函数。在曲面（连同边界）上具有一价连续偏导数，则有公式其中是的取正向的边界曲线。这里是的整个边界曲面的外侧。是上点处的法向量的方向余弦。是以为边界的分片光滑的有向曲面。的正向与的侧符合右手规则。向量形式是在点处的单位法向量。 或的定义可见左侧是在点处的单位切向量。或意义几何应用设由闭曲线所围成的区域D的面积为 物理意义向量场通过有向闭曲面外侧的通量（流量）等于向量场的散度在有向闭曲面围成区域上的三重积分。参见（注九）物理意义向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量（流量）。 参见（注十）5在平面区域上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图）1定义：对于区域内任意指定的两个点以及内从点 到点的任意两曲线，等式恒成立 等价2沿区域内任意闭曲线的曲线积分为零。即在单流通域内具有一价连续偏导数。 等价，在单连通域内具有一价连续偏导数等价在内为某一函数的全微分。即存在使，在单连通域内具有一价连续偏导数。牛顿莱布尼兹公式：其中为路径的起点，为终点在区域内具有一价连续偏导数6全微分方程（框图）NoYes 存在(称为积分因子)存在， 使全微分方程求解所确定的隐函数是方程的通解.(是任意常数)全微份积分法的求法求法一,。，即。求法二牛顿莱布尼兹公式： 或这里均属于内。7注解（注一至注十）（表格）注一上任意插入点列。为上第个小弧段长度，为上第个小弧段任意取定点。注二上任意插入点列。，为上的长度。为上任意取定点。注三（参数方程）： 。 （特殊地）： 。 （特殊地）： 。 空间曲线弧（参数方程）： 。注四（参数方程）：（参数由变到。对应于的起点，对应于的终点）。：）（特殊地）： （特殊地）： 空间曲线弧（参数方程）：。 。 注五任意分成小块曲面（也代表第小块的面积）。在上任意取定点。为的直径。注六任意分成小块曲面（也代表第小块的面积），在上任意取定点，为的直径，。在面上的投影为,在面上的投影为,在面上的投影为。注七：。 在面上投影区域：。：。 在面上投影区域：。：。 在面上投影区域：注八：。在面上投影区域，：。在面上投影区域，：。在面上投影区域，注九。 向量场的散度：（散度为数量）。向量场通过曲面（向着指定侧）的通量（流量）：（）或。注十。向量场的旋度：（旋度为向量）。向量沿有向闭曲线的环流量：（）或。四例题及题解（一）曲线积分和格林公式：例1 计算曲线积分，其中是顶点为的三角形的边界。解： 例2 计算曲线积分，为上例曲线的有向曲线，方向取逆时针。解法一：。 ：，：，：。垂直轴, 即 。解法二：由围住的三角形区域的面积为。应用格林公式：例3 椭圆曲线弧：的线密度为写出曲线弧长的定积分形式。求曲线弧的平均密度。解：由弧长的曲线积分的物理及几何意义，曲线弧的质量为， 弧长，则 椭圆曲线弧的参数方程：。 （）弧长 当时，因为曲线弧关于轴和轴对称，关于轴、关于轴为奇函数，在上积分为零，故，。例4 计算。其中：椭圆曲线在第一象限部分顺时针方向的一段。解法一：直接计算L：椭圆曲线参数方程由方向知由计算法 8解法二：利用格林公式。曲线为非封闭，补充曲线作作,为点坐标。因为。故即。（二） 曲面积分和高斯公式：例5 计算。其中是平面上方的抛物。且分别等于（A） 1;（B）; （C） .并给出上述每种几何或物理解释。解：坐标面选取平面，投影区域：，面积元素.解 当，。表示曲面的面积，也表示面密度为1的曲面的质量。解 当， 表示面密度为的曲面的质量，也表示面密度为1的曲面对轴的转动惯量。解 当 表示面密度为的曲面的质量。例6 计算，为上例有向曲面，取下侧方向。分别等于 1， ， 3解：在坐标面的投影区域：。上侧取负号。解 当。 。解 当解 当 。例7 计算，：由锥面，平面及所围在第一、四卦限部分闭曲面外侧。解法一：直接法， 。 ：。：，：。在平面上投影为零。、在平面上投影为三角形区域。：，为前侧，为后侧。解法二：利用高斯公式。 注意到。曲面为外侧，为所围住的空间区域，应用高斯公式。（三）斯托克斯公式及两类曲面积分之间联系：例8 设C为平面上的闭曲线，C： 曲面为平面被柱面所截有限部分的下侧。C所围区域面积为。计算解：平面取下侧的单位法向量将原式化为对面积的曲面积分，然后再化到关于坐标的二重积分。原式。例9 计算，其中L是平面与柱面的交线，从正轴正向看去，L为顺时针方向。解：可知所围成的曲面为平面上所围成部分的下侧。由斯托克斯公式得：，。 区域的面积。由上例知原式。（四）关于曲线积分与路径无关条件及全微分求积：例10 已知在平面具有一阶连续偏导，且 是从点至点的曲线弧。求（1）确定。（2）求。（3）计算解：（1）设，由曲线积分与路径无关条件 即。（2）（3）例11 设区域。微分方程微分方程：（1） 验证是所给微分方程在上的积分因子。（2） 利用曲线积分求的全微分函数。（3） 写出所给微分方程的通解。解（1）设。是全微分方程。故是微分方程积分因子。（2）是全微分方程。故在区域内与路径无关。取到的折线（折线属于）或取到的折线（折线属于）（3）通解为。为任意常数。（五）对弧长的空间曲线积分例12 计算，其中：解：由积分曲线对于坐标的轮换对称性可得因此 由于是以原点为中心，半经为的圆。其周长为故。例13 设空间曲线弧为球面，及平面的交线。曲线弧 的线密度，求曲线弧的质量。解：化为参数方程：。 曲线弧的质量。（六）选择题例14 设为平面的第一卦限部分，则=（ ）。 （A）， （B），（C）， （D）解：选，被积函数，投影区域D：。故选例15 设：，是在xoy平面的下半部分， 为在第一卦限中的部分，则有（ ）。（A） （B）（C） （D）解：选。 与的右端由对称性为零，左端被积函数大于零，左端大于零。故与错。设为在第五卦限中的部分，因关于对称。关于为偶函数。故在上，在上，故与中选。五。部分习题题解（一）圆周上任一点的线密度与该点到点的距离成正比（比例常数为），求其质量。解：线密度，圆周的参数方程为：。 质量为。 （二）。计算，其中为（1） 不包围也不通过原点的任意闭曲线；（2） 以原点为中心的正向的圆，半径为；（3） 包围原点的任意正向闭曲线。解（1）。 所包围的区域内无原点，由格林公式： （2）：，且正向。：。 。（3） 作以原点为中心，半径为（充分小）的圆周，使完全落在内，取为顺时针方向，则在为边界的区域内无原点，由格林公式：。即 ：。（三）。在过点和点的曲线族中求一条曲线，使沿该曲线从到的积分的值最小。解：（舍去）。曲线为。（四） 计算，其中为圆周 及 轴所围成的第一象限内的区域的整个边界按逆时针方向绕行。 解：直接法，的参数方程：。 。 格林公式，：，极坐标形式：。 （五）。设位于点的质点对质点的引力大小为（为常数，为质点与质点之间的距离），质点沿曲线自运动到, 求此运动过程中质点对质点的引力所作的功。解：设质点的坐标为，引力。：，自运动到。 功为。因为， 与路径无关。 。 (六)。设函数具有连续的导函数，试计算曲线积分 。 其中是直线段下方的，连接与的任意光滑曲线，方向从到，另外已知该曲线于直线段所围区域的面积是。 解：设曲线于直线段所围区域为。：。 因为，所以 与路径无关。 。（七）证明，其中为从到的一条逐段光滑的曲线，具有连续的导函数。证明：证明1：设，所以与路径无关。证明2：记，则，所以与路径无关。（八）。 利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其解： （1）， 解：方程两边乘以，则 。 故是积分因子，通解：。（是任意常数）。 （2）， 解：方程两边乘以， 两边再乘以， 。 故是积分因子，通解：。（是任意常数）。（九）。计算，其中为被平面所截下部分。 解：， ：。：。由对称性 。（十）。求圆柱面界于平面及锥面的侧面积。解：曲面为，设：，即。和消去，在平面上投影区域：。侧面积为。（十一）。计算 其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。解：平面（上侧）在点处的单位法向量为， 将原式化为对面积的曲面积分。：。 原式 。（十二）。设对于半平面内任意的光滑有向闭曲面，都有。其中函数在上具有连续的一阶导函数，且，试求。解：由高斯公式得对任意的光滑有向闭曲面所围成的区域。 。求微分方程的解。因为 ，。由即。(十三)。设为一光滑闭曲面，为上点处的外法向量， 在下列情形：（1） 曲面不包含原点；（2）曲面包含原点。 计算解：为上点处的外单位法向量。 ，围成的空间闭区域为，方向为外侧。 ， （1） ， 围成的空间闭区域无原点，由高斯公式：。（2） 作以原点为中心，半径为（充分小）的圆球面，使完全落在内，取为内侧方向，则在为边界的区域内无原点。由高斯公式： 即 （：）。（十四）。设是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，依次表示沿的外法线方向的方向导数，证明其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫格林第二公式。证：因为方向导数 ， 其中是在点处的外法线向量的方向余弦，故曲面积分。利用高斯公式，即得（1）（即可得格林第一公式）。同理，（2），则有。即得 ，命题得证。 （十五） 利用斯托克斯公式，计算其中：， 若从轴的正向看去，这圆周取逆时针方向。解：取所张的曲面为：，曲面是以原点为中心，半径为的圆。 面积 点处的单位法向量为，设，由斯托克斯公式和两类曲面积分之间联系，有。六。试卷 试卷（一） 选择题1设是顶点为的三角形的边界。则曲线积分的值为（ ）。 （A）；（B），（C），（D）2设L是椭圆，沿顺时针方向轴上面一半的有向曲线，则曲线积分的值为（ ）。 （A）， （B）， （C）， （D）。3设为在平面上方部分，则=（ ）。 （A），（B），（C）， （D）4设为球面的下半球面取下侧，则=（ ）。（A）， （B）。（C）。， （D）。5若在区域内总有，则对于内任意一条封闭曲 线总有（ ）。（A） （B） （C） （D）前述结论都不对。（二） 填空题1偏心圆：，则曲线积分_。2设曲线积分。为平面上闭曲线，为常数，方向为逆时针。则闭曲线所围住区域的面积为_3。设为空间曲面，曲面薄片上任一点面密度的大小等于该点到原点的距离，则曲面薄片的质量为曲面积分_.4设为平面在第二卦限部分取上侧的曲面积分_。5。是曲线上的一段弧。则_。（三）计算，其中为抛物线上点到点的一段弧。（四）设变力构成力场，试确定质点在力的作用下沿圆柱螺旋线。（为常数）参数从移到的一段弧时所作的功。（五）设微分方程：（1） 验证是所给微分方程在平面上的积分因子（2） 求全微分函数，使（3） 写出是所给微分方程的通解（六）计算，其中为上的部分。（七）利用高斯公式证明向量通过围住任意体积V的闭曲面的流量等于体积的三倍。（八）计算，其中为锥面之间的外侧。（九）求抛物柱体被平面，所围成的（第一卦限）部分的侧面积。试卷（一）选择题1在上连续，为圆周： ，。 则下面正确的是（ ）。（A） （B）（C） （D）前述结论都不对2设是椭圆曲线的顺时针方向，为中的部分，为中的部分。和与的方向一致，则有（ ）。（A） （B）（C） （D）。3设是球面的外侧，是在平面的下半部分是上的第一卦限部分，和与的方向一致，则有（ ）。（A） （B）（C） （D）4设是长方体表面的外侧。则曲面积分值为（ ）。（A） （B）（C） （D）。5已知微分为某函数的全微分，则常数分别为（ ）。（A） （B） （C） （D）(二) 填空题1 设为右半单位圆周，则_。2 设是从到的一段弧。是上的连续函数，在上任一点处的切向量为。则化为在上对坐标的曲线积分是_。3 设流体穿过曲面，则在单位时间内流向的外侧的通量为曲面积分_。4 设是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分_。5 为空间封闭曲面取外侧的有向曲面，是由围住的空间区域的体积，曲面：，则_。（三） 平面上两曲线弧构件的形状、弧长、质量都相同，曲线弧为抛物线弧的部分，线密度分别为，。曲线弧的一端在原点，求：(1) 曲线线弧另一端的坐标。（2）曲线弧的质量。（3）曲线弧的弧长。（四）计算。 其中： 从到。 （五）设在有向曲线弧上对坐标的曲线积分存在，其中为上从到在第一象限的弧段， 试求。（六）设是连续函数，记，其中为锥面 在与之间部分。当时，试求。（七） 求分布在锥体的侧面的电总量。且在上每一点的电荷密度等于。其中为。（八）计算其中是上半球面的上侧。（九）利用斯托克斯公式计算向量沿空间曲线 ：（在的部分，由轴正向看去是逆时针方向）的环流量。试卷（一）选择题1设：，为在第一象限中的部分，则有（ ）。 （A） （B）（C） （D）。2设和分别为沿上下半圆周从点到点，和分别为沿上下半椭圆从点到点，则有（ ）。（A） （B）（C）（D）。3设为圆柱面被平面及平面所截外侧部分，则（ ）。 （A） （B）（C）（D）4设是椭圆曲线。为中的部分，为中的部分，则有（ ）。（A） （B）（C） （D）。5设是球面的外侧，为其法向量的方向角，是由所围成的球体，则的值为（ ）。（A） （B） （C） （D）。 （二）填空题1设是沿从到的一段弧。化为对弧长的曲线积分为_。2 已知为某函数的全微分。则常数_。3设为平面上有向闭曲线，：，方向为逆时针。为由所围住区域的面积。则曲线积分_。4 设为的上侧，则对面积的曲面积分化为对坐标面的曲面积分为_。5设为圆柱面与平面的交线，若从轴正向看为逆时针方向，是内的连续可导函数，则xy)dz=_。（三）计算，其中为与的交线。（四） 设均为连续可导函数， 与路径无关（为平面上的曲线）。并对任意有：，且。试求。（五） 设在上非负且连续可导，曲线：，过点和点的一段弧，曲面为曲线绕轴旋转一周而成。均匀薄片（面密度为常数1）绕原点的转动惯量。（1） 求证化为在上对弧长的曲线积分为。（2） 用曲面积分计算法，求证：=。（六）在曲面上对面积的曲面积分存在，其中：，。 试求。（七） 计算 其中： 从轴正向看去，取顺时针方向。 （八） 在锥体曲面族 ：中，求曲面使曲面积分的值为最小（其中参数，曲面取上侧）。（九） 在处可导，在的某邻域内连续，且，记，其中：为上半球面。（这里为常数，）。试求七试卷答案及题解试卷答案及题解（一）选择题（二）填空题（1） ， （2） ， （3） ，（4） ， （5） 。（三） 。（四） 。（五） （1）。故 是积分因子。（2）解 。解 。 通解： ，或。是任意常数。（六）。： 。（七）。（八） 曲面的方向为下侧，在面投影区域：。（九） 设：。由对弧长曲线积分几何意义，得侧面积。试卷答案及题解（一）选择题。（二） 填空题（1） ， （2） ， （3），（4） ， （5） 。（三） （1） 设的坐标为。则。 。 即的坐标为。（2）质量为。（3）弧长为。（四）设：，：，：。（五） 记则 。（六）在面上投影区域： 。（七） ：，：。电总量为：。（八） ：，：（下侧）是由与围成的空间区域。直接法：。高斯法：原式=原式+。（九）：（上侧），：。环流量为。试卷答案及题解 （一）选择题。 （二）填空题（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （5） 。（三）由对于坐标的轮换对称性， 则。对上任一点。是以为圆心，半径为的圆。周长。（四） 设，由，设，则， 两边对求导，。而，。（五） ：（1）。为面密度的薄片的质量，用元素法取为为积分变量，变化范围，在上，即 。 由曲线积分计算法，故。（2） 设：，：。 由对称性， 。 （六）记，：。则。 （七） 由；，（舍去）。：设：（下侧）：。取所张曲面为。则 。 （八） 曲面的投影区域：。当时：。当时：设：，投影区域：。：，投影区域：和均为上侧。因为。取时， 为最小值。所求曲面：。（九）曲面：。投影区域：。=。-