Z变换的定义ppt课件.ppt
第八章 线性离散系统的理论基础本章主要与学习重点v第一节 v第二节 信号的采样采样定理 v第三节 Z变换 v第四节 线性常系数差分方程v第五节 脉冲传递函数v第六节 采样控制系统的时域分析 v第七节 采样控制系统的频域分析 v小结本章主要内容本章主要内容 本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函概念及求取方法等。 本章重点本章重点 学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。v 采样控制系统v 数字控制系统v 离散控制系统的特点v 采 样 信 号自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型连续控制系统，见图（a）采样控制系统，见图（b）数字控制系统，见图（c） 采样系统的特点采样系统的特点在连续系统中的一处或几处设置采样在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；开关，对被控对象进行断续控制；通常采样周期远小于被控对象的时间通常采样周期远小于被控对象的时间常数；常数；采样开关合上的时间远小于断开的时采样开关合上的时间远小于断开的时间；间； 采样周期通常是相同的。采样周期通常是相同的。第二节 信号的采样采样定理n离散时间函数的数学表达式先看一下原理示意图：采 样 过 程n采样函数的频谱分析 为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即max2sn香农（Shannon）采样定理 把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。实用的办法是加入保持器。常用的为零阶保持器。01( )TSheWssn零阶保持器的幅频与相频特性如下图所示： 第三节 Z 变 换q Z 变 换 的 定 义q Z 变 换 的 方 法q Z 变 换 的 性 质q Z 反 变 换一. Z变换的定义0( )( ) ()kftf ttkT采样函数00( )( )() ()()kTskkL ftFsLf kTtkTf kT e0( )( )()TskkeZ ftF zf kT z令z，则上式变为对其进行拉氏变换：此式称为采样函数 的Z变换。( )ft2Z变换的方法n 级数求和法n部分分式法n级数求和法例8-1 求1*（t）的Z变换 。00121( )1 ( )1()111kkF zZtkT zzzzzzz解：n例8-2 求 的F(Z)。ate 001220111akTkaTaTkaTaTF zeze zezezzezze解：n部分分式法n例8-3 求解 的Z变换 。( ) ()aF ss sa 1111( )(1)( )1(1)()ataTaTaTABF sssassaL F stezzzeF zzzezze解：因为而所以n例8-4 求sin)(tZzF22221()2211111121211222222sin11111( )2 12 1sinsin11 2cosjtj Tj Tj Tj TssjjjjLtsssjsjLesjF zzsjezjezzTzTezezzzTz解：因为所以三. Z 变 换 的 性 质n线性性质n延迟定理n超前定理n复位移定理n初值定理n终值定理n卷积和定理n线性性质*1122*1 1221122( )( ), ( )( )( )( )( )( )Z ftF z Z ftF zZftftF zF z若：，则n延迟定理设t0，f(t)=0，令Zf(t)=F(z)，则延迟定理为 ()( )iZ f tiTz F zn超前定理令 Zf(t)=F(z)，则 10 ()( )()iiikkZ f tiTz F zzf kT zn复位移定理设 Zf(t)=F(z)，则 ( )()ataTZ ef tF zen初值定理设 Zf(t)=F(z)，如果Z时F（z）的极限存在，则函数的初值为 lim( )(0)lim( )zf tfF zn终值定理设 Zf(t)=F(z)，则函数的终值为 111lim( )( )lim(1) ( )lim(1) ( )tzzf tfzF zzF z n卷积和定理 若 ， 其中，k=0，1，2，且当k=-1，-2，-3，时， xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0，则 式中，kirciTTxikgkTx0)()()( )( )( )crXzW z Xz)()(),()(kTxZzXkTgZzWrrnZ反变换n幂级数展开法n部分分式法n反演积分法（留数法）n差分方程的定义n差分方程的解法n差分方程的定义n对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k)有关，而且与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)有关，还与过去的输出值xc(k-1)， xc(k-2)有关。可以把这种关系描述如下：xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+ =b0 xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+ 或表示为 xc(k)=Txr(k) 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。n差分方程的解法n迭代法nZ变换法n迭代法n例 8-5：已知采样系统的差分方程是)2(2)() 1()(kxkxkxkxrrcc初始条件： 2)0(, 000)(crxkkkkxn解：令k=1，有 ) 1(2) 1 ()0() 1 (rrccxxxx(1)21 0(1)1ccxx 因为所以令k=2，有 )0(2)2() 1 ()2(rrccxxxx(2)( 1)20(2)3ccxx 因为所以同理，求出 6)4(, 2)3(ccxx输入输出关系如下图所示。nZ变换法n例 8-6：求解初始条件：xc(0T)=0, xc(1)=1 0)(2) 1(3) 2(kxkxkxcccn解：由超前定理，令 )()(zXkxZcc于是 22(2)( )(0)(1)ccccZ x kz Xzz XzX)0()()1(ccczXzzXkxZ代入原式得 0)(2)0(3)(3) 1 ()0()(22zXzXzzXzXXzzXzcccccc整理后得 21)2)(1(23)(2zzzzzzzzzzzXc()( 1)( 2) ,0,1,2rkcx kTkk 所以第五节 脉冲传递函数n脉冲传递函数的定义n脉冲传递函数的推导n开环系统脉冲传递函数n闭环系统脉冲传递函数n脉冲传递函数的定义( )( )( )( )( )ccrrXzx kZW zXzx kZ输出脉冲序列的 变换输入脉冲序列的 变换n脉冲传递函数的推导n由单位脉冲响应推出n由拉氏变换求出n由差分方程求出n开环系统脉冲传递函数n串联各环节之间有采样器的情况)()()()()()(2111zXzWzWzXzWzXrcc12( )( )( )( )( )crXzW zW z W zXzn串联各环节之间无采样器的情况)()()()()(*)()()(*2121zxsWsWZzXsXsWsWsXrctc12( )( )( )( )( )crXzW zZ W s W sXzn结论：结论： 中间具有采样器的环节，中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间没传函之积，而串联环节中间没有采样器时，其总的传函等于有采样器时，其总的传函等于各环节相乘积后再取各环节相乘积后再取Z变换。变换。n闭环系统脉冲传递函数应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。n例8-7 11( )( )( )1( )cBrWzXzWzXzW H zn例8-8( )( )( )( )( )1( )( )CBrXzD z W zWzXzD z WH zn例8-9221( )( )1( )cNW zXzW W z第六节 采样控制系统的时域分析 n用Z变换法求系统的单位阶跃响应n采样系统的稳定性分析n采样控制系统的稳态误差n用Z变换法求系统的单位阶跃响应n例8-10 已知系统的动态结构图如下图所示，求系统的单位阶跃响应。n解：( )( )( )1( )( )(1)11( )(1)1()(1)(1)(1)()(1)()kcrkkkTTTTTW zXzXzW zKW zZs szzKW zZs szzez zez zzezzezze令，则)1 ()(1()1 ()(1)()(TTTkkBezezzezzWzWzW232(1)( )( )1( 1 2)(2)TcBTTTTzzeXzWzzzezeeze 所以112310.3680.632( )1 1.7361.1040.368TcTsezXzzzz令，则，而 123( )0.6321.0971.205ccXzXzzzz利用长除法，将展开得()0.632 () 1.097 (2 ) 1.2 (3 )cZx kTtTtTtT求 反变换得n例8-11 在上例中加入保持器后再求输出量。n解：11 211211111( )(1)(1)(1)11(1)(1)(1)TskTTTTTTeTzW zZzss szzezz TeTeezzee)1 ()2()1 () 1()(1)()(2TTTTkkBTezTzeTeeTzzWzWzW20.3680.2641( )0.632BzTsWzzz将代入得23212340.3680.264( )( )121.6320.6320.3681.41.4cBzzzXzWzzzzzzzzz所以)4(4 . 1)3(4 . 1)2()(368. 0)(TtTtTtTtkTxc 由此结果看出，由于增加了保持器，使得系统输出量的超调量增加了。n采样系统的稳定性分析nZ平面上系统稳定的条件 闭环系统的稳定稳定条件是脉冲传函的全部极点位于Z平面上以原点为圆心的单位圆内。否则将是不稳定的。 n把S平面映射到Z平面上 n闭环传递函数极点的位置与暂态特性的关系 n采样控制系统的稳态误差 具有单位反馈的采样系统如下图所示： 采样系统的稳态误差和连续系统一样，都和输入信号的类型有关，也和系统本身的特性有关。在分析时，利用Z变换的终值定理求出。 系系 统统 类类 型型位位 置置 误误 差差速速 度度 误误 差差加加 速速 度度 误误 差差01/kp101/kr2001/ka第七节 采样控制系统的频域分析 n双线性变换nBode图双线性变换 为了利用连续系统在S平面上的一些结论，我们把Z平面通过变映射到W平面上，且令稳定边界在W平面的虚轴上。这种变换被称为W变换。 nS平面与W平面频率间的关系 ：2tan211WTTzWz或写成22tan22WTTTTWS当频率较小时，这样平面的频率就等于 平面的频率。Bode图n典型环节的Bode图如下图所示( )()1( )(),( )()1,1( )()1wwwwwwwwaW jjbW jjcW jjzdW jjz 为为为为小小 结：结：n离散时间系统与连续时间系统在数学分析工具、稳定性、动态特性、静态特性、校正与综合等方面都具有一定的联系和区别，许多结论都具有相类同的形式，在学习时要注意对照和比较，特别要注意它们不同的地方。 n处理离散系统的基本数学工具是Z变换。要掌握Z变换的定义及主要性质，要会使用Z变换表。 n离散系统的脉冲传递函数与连续系统中的传递函数一样重要。它是研究离散系统最有力的手段之一，要能熟练地求出典型离散系统的闭环脉冲传递函数。对一些常见的离散系统框图应能推导出输出Z变换的表达式。 n要掌握 s平面与z平面的对应关系，掌握离散系统的稳定判据及采样周期等参数对稳定性的影响。能对离散系统的动态特性作一般分析，能够根据系统结构特点分析其静态误差特性。
