模块复习第3课时导数的应用及定积分的简单应用-北师大版高中数学选修2-2课件(共86张PPT).pptx

第3课时导数的应用及定积分的简单应用,知识网络,要点梳理,答案:用导数求函数的单调区间函数的极值函数的最值速度、加速度降雨强度边际成本,1.,知识网络,要点梳理,答案:面积问题定义性质微积分基本定理平面图形的面积,知识网络,要点梳理,1.利用导数研究函数的单调性的步骤.(1)找出函数f(x)的定义域;(2)求f(x);(3)在定义域内解不等式f(x)>0,f(x)<0.2.求可导函数f(x)极值的步骤.(1)求函数的导数f(x);(2)令f(x)=0,求出全部的根x0;(3)列表,方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在同一表格内;(4)判断得结论,若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若导数在x0附近左负右正,则在x0处取得极小值.,知识网络,要点梳理,3.求函数f(x)在a,b上最值的步骤.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.4.求定积分的三种方法.(1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分.,知识网络,要点梳理,5.利用定积分求平面图形的面积.在直角坐标系中,由曲线f(x),直线x=a,x=b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况:,知识网络,要点梳理,(3)如果在区间a,b上,f(x)有正有负,即曲线在x轴上方和下方都有图像,如函数f(x)的图像在区间(a,c)上位于x轴上方,在区间(c,b)上位,(4)由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)与直线x=a,x=b(a0.所以,当a=0时,函数f(x)在区间(-,0)上是减少的,在区间(0,+)上是增加的.,专题归纳,高考体验,反思感悟求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)>0或f(x)<0.若含有参数,需对参数进行分类讨论.,专题归纳,高考体验,变式训练1已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a0,函数f(x)在(0,+)上是增加的,函数f(x)无极值.当a>0时,由f(x)=0解得x=a.x(0,a)时,f(x)0,f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上所述,当a0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.反思感悟求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程f(x)=0,再判断f(x)=0的根是不是极值点,可通过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论.,专题归纳,高考体验,(1)如果g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;(2)如果m+n0,即m2>n.,故m2时才可能有符合条件的m,n.当m=2时,只有n=3符合要求;当m=3时,只有n=5符合要求;当m4时,没有符合要求的n.综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.,专题归纳,高考体验,专题三导数与不等式【例3】已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时,恒有x20,f(x)是增加的.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.,(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x,由(1)得g(x)=f(x)f(ln2)>0,故g(x)在R上是增加的.又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x20时,x20时,x2<cex.取x0=0,当x(x0,+)时,恒有x2kx2成立.而要使ex>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2lnx+lnk成立.,所以当x>2时,h(x)>0,h(x)在(2,+)内是增加的.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+)内是增加的,又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k,易知k>lnk,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.,专题归纳,高考体验,综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x2<cex.,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20时,x2<ex,从而h(x)<0,h(x)在(0,+)内是减少的,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x21时,g(x)<0.故x=1是g(x)的极大值点,且是最大值点,则g(x)g(1)=-1.综上,a的取值范围是-1,+).,专题归纳,高考体验,(2)证明:由(1)知,g(x)g(1)=-1,即lnx-x+10.当0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)0;,(x-1)f(x)0.,专题归纳,高考体验,专题四利用求导解应用题【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.分析:本小题主要考查函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.可根据题意得出f(x)的解析式,再利用导数解决.,专题归纳,高考体验,解:(1)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为,专题归纳,高考体验,反思感悟利用导数解决生活中优化问题的一般步骤.(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域;(2)求函数y=f(x)的导数f(x),解方程f(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点;(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值;(4)还原到原实际问题中作答.,专题归纳,高考体验,变式训练4某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,专题归纳,高考体验,=2+10(x-3)(x-6)2,30,函数f(x)在(3,4)上是增加的;当4<x<6时,f(x)0,求a的取值范围.,解:(1)f(x)的定义域为(0,+).当a=4时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f(x)=lnx+-3,f(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.,(2)当x(1,+)时,专题归纳,高考体验,()当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+1>0,故g(x)>0,g(x)在(1,+)单调递增,因此g(x)>0;()当a>2时,令g(x)=0得,由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x(1,x2)时,g(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)0,f(x)单调递增,x(1,+)时,f(x)0,x(x0,2)时,(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)>0,x(-,+).综上可知,f(x)>0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,专题归纳,高考体验,考点二:利用导数研究函数的极值与最值5.(2017全国高考)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1,专题归纳,高考体验,解析:由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.答案:A,专题归纳,高考体验,6.(2016全国乙高考)函数y=2x2-e|x|在-2,2的图像大致为(),专题归纳,高考体验,解析:特殊值验证法,取x=2,则y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;当0<x<2时,y=2x2-ex,则y=4x-ex,由函数零点的判定可知,y=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.答案:D,专题归纳,高考体验,(1)若a=0,则f(x)的最大值为;(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.,解析:令g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由g(x)=3x2-3=0,得x=1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-,0),(0,0),(,0).又g(x)与(x)图像的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与(x)的大致图像如图所示.,专题归纳,高考体验,(2)由图像知,当a-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.,解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.,专题归纳,高考体验,f(x)与f(x)在区间(-,+)上的情况如下:,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.,专题归纳,高考体验,(3)当=4a2-12b0,x(-,+),此时函数f(x)在区间(-,+)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.当=4a2-12b=0时,f(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x(-,x0)时,f(x)>0,f(x)在区间(-,x0)上单调递增;当x(x0,+)时,f(x)>0,f(x)在区间(x0,+)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b>0.故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.,专题归纳,高考体验,9.(2016全国丙高考)设函数f(x)=cos2x+(-1)(cosx+1),其中>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x);(2)求A;(3)证明|f(x)|2A.,解:(1)f(x)=-2sin2x-(-1)sinx.(2)(分类讨论)当1时,|f(x)|=|sin2x+(-1)(cosx+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.当0<<1时,将f(x)变形为f(x)=2cos2x+(-1)cosx-1.(构造函数)令g(t)=2t2+(-1)t-1,则A是|g(t)|在-1,1上的最大值,专题归纳,高考体验,|g(-1)|=,|g(1)|=2-3,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,(3)由(1)得|f(x)|=|-2sin2x-(-1)sinx|2+|-1|.,所以|f(x)|1+1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)x>cx.,解:(1)(导数与函数的单调性)由题设,f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-1,令f(x)=0解得x=1.当00,f(x)单调递增;当x>1时,f(x)<0,f(x)单调递减.,专题归纳,高考体验,(2)由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,lnx1,(构造函数)设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxlnc,当x0,g(x)单调递增;当x>x0时,g(x)cx.,专题归纳,高考体验,11.(2016四川高考)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;,专题归纳,高考体验,则s(x)=ex-1-1.而当x>1时,s(x)>0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a>0.,专题归纳,高考体验,因此,h(x)在区间(1,+)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.,专题归纳,高考体验,考点四:导数与函数12.(2017全国高考)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-lna.当x(-,-lna)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-lna)单调递减,在(-lna,+)单调递增.(2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.()若a>0,由(1)知,当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为,专题归纳,高考体验,当a=1时,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点;,专题归纳,高考体验,13.(2017全国高考)已知函数f(x)=ax3-ax-xlnx,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.,专题归纳,高考体验,(2)由(1)知f(x)=x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-lnx.,时,h(x)0.因为f(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f(x0)=0得lnx0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2.所以e-2<f(x0)<2-2.,专题归纳,高考体验,考点五:导数在实际问题中的应用14.(2016江苏高考)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?,专题归纳,高考体验,解:(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=am,PO1=hm,则0<h<6,O1O=4h.连接O1B1.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点六:定积分的计算,A.e+2B.e+1C.eD.e-1,答案:C,专题归纳,高考体验,f(x),g(x)为区间1,1上的一组正交函数.给出三组函数:,其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3,专题归纳,高考体验,答案:C,专题归纳,高考体验,答案:0,专题归纳,高考体验,18.(2015山东高考)执行下边的程序框图,输出的T的值为.,解析:初始n=1,T=1.,专题归纳,高考体验,考点七:求图形的面积19.(2013湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是(),专题归纳,高考体验,且汽车停止时速度为0,因此由v(t)=0可解得t=4,即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离,答案:C,专题归纳,高考体验,20.(2015天津高考)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.,解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图像如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.,专题归纳,高考体验,21.(2015陕西高考)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线形(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.,解析:以梯形的下底为x轴,上、下底边的中点连线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),专题归纳,高考体验,答案:1.2,