2018年重庆市九校联盟高考数学一模试卷（文科）及答案.docx

2018年重庆市九校联盟高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=1，0，1，2，则AB=（）A0，1B1，2C1，0D1，22（5分）已知i为虚数单位，且（1+i）z=1，则复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）的值为（）A1BCD4（5分）已知随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（）A1BCD05（5分）双曲线的一个焦点为F，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（）ABC2D6（5分）某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）ABCD7（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（）ABCD8（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的s=6，则N的所有可能取之和等于（）A19B21C23D259（5分）已知抛物线C：y=2px2经过点M（1，2），则该抛物线的焦点到准线的距离等于（）ABCD110（5分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，当b+c=4时，ABC面积的最大值为（）ABCD11（5分）设定义在（0，+）上的函数f（x）的导函数f（x）满足xf（x）1，则（）Af（2）f（1）ln2Bf（2）f（1）ln2Cf（2）f（1）1Df（2）f（1）112（5分）设m，R，则的最小值为（）A3B4C9D16二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量，且，则= 14（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最大值为 15（5分）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=3对称，当x0，3时，f（x）=x，则f（16）= 16（5分）半径为R的球O放置在水平平面上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，则从点P发出的光线在平面上形成的球O的中心投影的面积等于 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S5=35，a1，a4，a13成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn18（12分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照0，0.5）、0.5，1）、4，4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示（1）求图中a的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在1，1.5）、1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是正方形，A1B1A1C1（1）证明：AB1BC1；（2）当三棱锥AA1B1C1的体积为2，AA1=2时，求点C到平面AB1C1的距离20（12分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP（1）求证：；（2）若kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标21（12分）设函数f（x）=exasinx（1）当a=1时，证明：x（0，+），f（x）1；（2）若x0，+），f（x）0都成立，求实数a的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（2，1），直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+1|（1）解不等式f（x）x+5；（2）若对于任意x，yR，有，求证：f（x）12018年重庆市九校联盟高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=1，0，1，2，则AB=（）A0，1B1，2C1，0D1，2【解答】解：由或x0，即B=x|x1或x0，A=1，0，1，2，AB=1，2，故选D2（5分）已知i为虚数单位，且（1+i）z=1，则复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：由（1+i）z=1，得z=，复数z对应的点的坐标为（），位于第二象限，故选：B3（5分）的值为（）A1BCD【解答】解：，故选：B4（5分）已知随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（）A1BCD0【解答】解：事件与事件AB是对立事件，随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为：故选：C5（5分）双曲线的一个焦点为F，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（）ABC2D【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，如图若A为BF的中点，则OA垂直平分BF，则双曲线C的渐近线与x轴的夹角为，即双曲线的渐近线方程为y=±x，则有a=b，则c=a，则双曲线的离心率e=；故选A6（5分）某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）ABCD【解答】解：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体， 其体积为，故选D7（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（）ABCD【解答】解：把函数经伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再向右平移个单位，得=的图象，故选：B8（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的s=6，则N的所有可能取之和等于（）A19B21C23D25【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=cos+2cos+3cos+得值，由题意，S=cos+2cos+3cos+=6，可得：02+46+810=6，可得：S=cos+2cos+3cos+12cos，或S=cos+2cos+3cos+12cos+13cos，可得：N的可取值有且只有12，13，其和为25，故选：D9（5分）已知抛物线C：y=2px2经过点M（1，2），则该抛物线的焦点到准线的距离等于（）ABCD1【解答】解：根据题意，抛物线C：y=2px2经过点M（1，2），则有2=2p×12，解可得p=1，则抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其焦点坐标为（0，），准线方程为y=，该抛物线的焦点到准线的距离等于；故选：B10（5分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，当b+c=4时，ABC面积的最大值为（）ABCD【解答】解：由：，利用正弦定理可得：sinAsinB=sinBcosA，又sinB0，可得：tanA=，因为：A（0，），所以：A=故，（当且仅当b=c=2时取等号），故选：C11（5分）设定义在（0，+）上的函数f（x）的导函数f（x）满足xf（x）1，则（）Af（2）f（1）ln2Bf（2）f（1）ln2Cf（2）f（1）1Df（2）f（1）1【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+），即x0，则，故，即f（2）f（1）ln2，故选A12（5分）设m，R，则的最小值为（）A3B4C9D16【解答】解：令点P（2m，2+m），Q（cos，sin）点P在直线上，点Q的轨迹为单位圆：x2+y2=1因此的最小值为：单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值=（41）2=9故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量，且，则=10【解答】解：向量，且，1×m（2）×2=0，解得m=4，=1×2+（2）×（4）=10故答案为：1014（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最大值为【解答】解：实数x，y满足作出可行域，目标函数z=3x+y，由解得A，的最优解对应的点为，故故答案为：15（5分）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=3对称，当x0，3时，f（x）=x，则f（16）=2【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象关于直线x=3对称，则有f（x）=f（6x），又由函数为奇函数，则f（x）=f（x），则有f（x）=f（6x）=f（x12），则f（x）的最小正周期是12，故f（16）=f（4）=f（4）=f（2），即f（16）=（2）=2；故答案为：216（5分）半径为R的球O放置在水平平面上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，则从点P发出的光线在平面上形成的球O的中心投影的面积等于3R2【解答】解：半径为R的球O放置在水平平面上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，轴截面如下图所示，从点P发出的光线在平面上形成的球O的中心投影的面积为：S=3R2故答案为：3R2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S5=35，a1，a4，a13成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn【解答】解：（1）S5=355a3=35a3=7，设公差为d，a1，a4，a13成等比数列（舍去d=0）an=2n+1（2），=18（12分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照0，0.5）、0.5，1）、4，4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示（1）求图中a的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在1，1.5）、1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04同理，在0.5，1），1.5，2），2，2.5），3，3.5），3.5，4），4，4.5）等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由1（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a解得a=0.30（2）设中位数为m小时因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.720.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.470.5，所以2m2.5由0.50×（m2）=0.50.47，解得m=2.06故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时（3）由题意得平均户外活动时间在1，1.5），1.5，2）中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有21种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），同时在同一组的有：（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共9种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是正方形，A1B1A1C1（1）证明：AB1BC1；（2）当三棱锥AA1B1C1的体积为2，AA1=2时，求点C到平面AB1C1的距离【解答】（1）证明：如图，由ABB1A1是正方形得AB1BA1，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1A1C1，又AA1A1B1=A1，A1C1平面ABB1A1，且AB1平面ABB1A1，故AB1A1C1，且BA1A1C1=A1，故AB1平面BA1C1，且BC1平面BA1C1，AB1BC1（2）解：三棱锥AA1B1C1的体积为2，得如图，设AB1BA1=O，连接OC1，则，设点A1到平面AB1C1的距离为d，则，由对称性知：点C到平面AB1C1的距离为20（12分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP（1）求证：；（2）若kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标【解答】证明：（1）设Q（x1，y1），由椭圆，得B（2，0），A（2，0），；（2）由（1）知：设P（x2，y2），直线PQ：x=ty+m，代入x2+4y2=4，得（t2+4）y2+2mty+m24=0，由kAPkAQ=1得：（x12）（x22）+y1y2=0，（t2+1）（m24）+（m2）t（2mt）+（m2）2（t2+4）=0，5m216m+12=0，解得m=2或m=m2，直线PQ：，恒过定点21（12分）设函数f（x）=exasinx（1）当a=1时，证明：x（0，+），f（x）1；（2）若x0，+），f（x）0都成立，求实数a的取值范围【解答】（1）证明：由a=1知f（x）=exsinx，当x0，+）时，f'（x）=excosx0（当且仅当x=0时取等号），故f（x）在0，+）上是增函数，又f（0）=1，故x（0，+），f（x）f（0）=1，即：当a=1时，x（0，+），f（x）1（2）解：当a=0时，f（x）=ex，符合条件；当a0时，设与y2=asinx在点（x0，y0）处有公切线，则，故；当a0时，设与y2=asinx在点（x0，y0）处有公切线，同法可得；综上所述，实数a的取值范围是请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（2，1），直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|PB|的值【解答】（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数）直线l的直角坐标方程为，圆C的极坐标方程为=4cos，即2=4cos，圆C的直角坐标方程为x2+y24x=0（2）将代入x2+y24x=0，整理得：，|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=3选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+1|（1）解不等式f（x）x+5；（2）若对于任意x，yR，有，求证：f（x）1【解答】（）解：f（x）x+5|2x+1|x+52x+1x+5或2x+1x5，解集为x|x4或x2（）证明：第23页（共23页）