2.5离散型随机变量的均值与方差-北师大版高中数学选修2-3练习.docx
5离散型随机变量的均值与方差A组1.设随机变量X的分布列为P(X=k)=14,k=1,2,3,4,则EX的值为()A.52B.72C.14D.2解析:EX=114+214+314+414=1410=52.答案:A2.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示,据统计,随机变量的分布列如下:0123P0.10.32aa则a的值和的数学期望分别是()A.0.2,1.8B.0.2,1.7C.0.1,1.8D.0.1,1.7解析:由题意得0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.E=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.答案:B3.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的件数,则EX等于()A.35B.815C.1415D.1解析:离散型随机变量X服从N=10,M=3,n=2的超几何分布,EX=nMN=2310=35.答案:A4.已知XB(n,p),EX=2,DX=1.6,则n,p的值分别为()A.100,0.8B.20,0.4C.10,0.2D.10,0.8解析:由题意可得np=2,np(1-p)=1.6,解得p=0.2,n=10.答案:C5.同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为,则D=()A.158B.154C.52D.5解析:两枚硬币同时出现反面的概率为1212=14,则B10,14,故D=10141-14=158.答案:A6.已知X的分布列为X-202P0.40.30.3若Y=3X+5,则DY的值为()A.24.84B.2.76C.4.4D.29.84解析:EX=-20.4+00.3+20.3=-0.2,DX=(-2+0.2)20.4+(0+0.2)20.3+(2+0.2)20.3=2.76,DY=D(3X+5)=9DX=24.84.答案:A7.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=112,则随机变量X的均值EX=.解析:P(X=0)=13(1-p)2=112,p=12.则P(X=1)=231212+1312122=412=13,P(X=2)=2312122+131212=512,P(X=3)=231212=16.则EX=0112+113+2512+316=53.答案:538.随机变量的取值为0,1,2,若P(=0)=15,E=1,则D=.解析:设=1时的概率为p,则E=015+1p+21-p-15=1,解得p=35,故D=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25.答案:259.(2016赣州模拟)2016年里约的周边商品有80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣.甲、乙两厂生产同一产品,为了解甲、乙两厂的产品质量,以确定这一产品最终的供货商,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量.(2)当产品中的微量元素x,y满足x175,且y75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量.(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值.解(1)乙厂生产的产品总数为51498=35.(2)样品中优等品的频率为25,乙厂生产的优等品的数量为3525=14.(3)=0,1,2,P(=i)=C2iC32-iC52(i=0,1,2),的分布列为012P31035110均值E=135+2110=45.10.导学号43944040设袋子中装有除颜色外都相同的a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若E=53,D=59,求abc.解(1)由题意得=2,3,4,5,6.故P(=2)=3366=14,P(=3)=23266=13,P(=4)=231+2266=518,P(=5)=22166=19,P(=6)=1166=136,所以的分布列为23456P141351819136(2)由题意知的分布列为123Paa+b+cba+b+cca+b+c所以E=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53,D=1-532aa+b+c+2-532ba+b+c+3-532ca+b+c=59,化简得2a-b-4c=0,a+4b-11c=0.解得a=3c,b=2c,故abc=321.B组1.袋中装有大小、形状、质地完全相同,标号分别为1,2,3,9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设为这3个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为3,4,5,则有两组相邻的标号3,4和4,5,此时的值是2),则随机变量的均值E为()A.16B.13C.12D.23解析:依题意得,的所有可能取值是0,1,2.且P(=0)=C73C93=512,P(=1)=C72A22C93=12,P(=2)=C71C93=112,因此E=0512+112+2112=23.答案:D2.随机变量的分布列如下,其中a,b,c为等差数列,若E=13,则D的值为()-101PabcA.49B.59C.13D.23解析:由分布列得a+b+c=1,由均值E=13得-a+c=13,由a,b,c为等差数列得2b=a+c,由得a=16,b=13,c=12,所以D=16169+1319+1249=59.答案:B3.随机变量X的分布列为:X01mP15n310且EX=1.1,则DX=.解析:由分布列的性质得15+n+310=1,所以n=12.又EX=015+112+m310=1.1,解得m=2.所以DX=(0-1.1)215+(1-1.1)212+(2-1.1)2310=0.49.答案:0.494.随机变量的分布列如下:-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E=13,则D=.解析:由题意得2b=a+c,a+b+c=1,c-a=13,由得a=16,b=13,c=12,易求得D=59.答案:595.一个口袋中有5个相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3个球,以表示取出球的最大号码,则E=.解析:由题意知的分布列为345P110310610所以E=3110+4310+5610=4.5.答案:4.56.某网站针对某歌唱比赛的歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下:观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上(含20岁)100100400(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值;(2)若在参加活动的20岁以下的人中,用分层抽样的方法抽取7人作为一个样本,从7人中任意抽取3人,用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数,写出X的分布列,并计算EX,DX.解(1)因为利用分层抽样的方法抽取n个人时,从“支持A”的人中抽取了6人,所以6100+200=n200+400+800+100+100+400,解得n=40.(2)X的所有可能取值为0,1,2,则分布列为X012P274717所以EX=027+147+217=67,DX=270-672+471-672+172-672=2049.7.导学号43944041某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45,23,23,他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量,求随机变量的分布列和均值E.解(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,则事件A,B,C相互独立,A B C与事件E是对立事件.则P(E)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-151313=4445.(2)的可能取值为32,2,52,3.P=32=P(ABC)=145,P(=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=845,P=52=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=2045,P(=3)=P(ABC)=1645.所以的分布列为322523P14584520451645所以E=32145+2845+522045+31645=7730.10
