1.4简单计数问题-北师大版高中数学选修2-3练习.docx
4简单计数问题A组1.设集合A=0,2,4,B=1,3,5,分别从A,B中任取2个元素组成无重复数字的四位数,其中能被5整除的数共有()A.24个B.48个C.64个D.116个解析:只含0不含5的有:C21C22A33=12;(2)只含5不含0的有:C22C21A33=12;(3)含有0和5的有:当0在个位时,有C21C21A33=24;当5在个位时,有C21C21A21A22=16.共有12+12+24+16=64个.答案:C2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在4个位置,共有A43=24种放法,故选D.答案:D3.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案:C4.将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有()A.12种B.20种C.40种D.60种解析:(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A55,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故除以这三个元素的全排列A33再乘以2,可得A55A332=40.答案:C5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为()A.24B.28C.36D.48解析:穿红色衣服的人相邻的排法有A22A44=48种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种.而红色、黄色同时相邻的有A22A22A33=24种.故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A55-248+24=48种.答案:D6.某校准备参加2017年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有种.解析:原问题等价于把10个相同的小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球排成一排,从中间9个间隙中选出7个截成8段(有C97=36种截法),对应放到8个盒子里,有36种放法.因此,不同的分配方案共有36种.答案:367.(2016山东潍坊高二检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为.(用数字作答)解析:第一步:将两位爸爸排在两端有2种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A33种排法;第三步:将两个小孩排序有2种排法.故总的排法有22A33=24(种).答案:248.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有C32A42=36种;二是有三人各获得一张奖券,共有A43=24种.因此不同的获奖情况有36+24=60种.答案:609.导学号43944014某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?解(1)从余下的34种商品中,选取2种,有C342=561(种),故某一种不合格商品必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有C343种或者C353-C342=C343=5 984(种).故某一种不合格商品不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种合格商品中选取1件,从15种不合格商品中选取2件有C201C152=2 100(种).故恰有2种不合格商品在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2件不合格商品有C201C152种,选取3件不合格商品有C153种,共有选取方式C201C152+C153=2 100+455=2 555(种).故至少有2种不合格商品在内的不同的取法有2 555种.(5)任意选取3件的总数有C353种,因此共有选取方式C353-C153=6 545-455=6 090(种).故至多有2种不合格商品在内的不同的取法有6 090种.B组1.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A43=24.故选D.答案:D2.(2016广东惠州市统考)任取三个互不相等的正整数,其和小于100,则由这三个数构成的不同的等差数列共有()A.528个B.1 056个C.1 584个D.4 851个解析:先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项.设这三个成等差数列的数分别为a,b,c.由题意得a+b+c100,即3b100,得b可以取2,3,33,共32个数.第一类,b=2时,a,c的取值共有2个(a=1,c=3和a=3,c=1,对应的是两个数列);第二类,b=3时,a,c的取值共有4个;第三十二类,b=33时,a,c的取值共有64个.根据分类加法计数原理,可得满足题意的数列共有2+4+64=1 056个.答案:B3.(2016江西南昌高三联考)将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限),每人只参加一项,则共有x种不同的方案,若每项比赛至少要安排一人时,则共有y种不同的方案,其中x+y的值为()A.1 269B.1 206C.1 719D.756解析:依题意得x=36=729,当每项比赛至少要安排一人时,先分组,有C61C51C44A22+C61C52C33+C62C42C22A33=90种,再排列,有A33=6种,所以y=906=540,因此x+y=1 269,故选A.答案:A4.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为N1,其中N2,N3分别表示第二、三行中的最大数,则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是.解析:(元素优先法)由题意知6必在第三行,安排6有C31=3种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字有A52=20种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排在第二行,有C21=2种方法,剩下的两个数字有A22=2种排法,按分步乘法计数原理,所有排列的个数是C31A52C21A22=240.答案:2405.(2016浙江宁波效实中学第一学期)对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边染相同的颜色,则不同的染色方法共有种.解析:不妨假设AB边染黄色,BC边染红色,若CD边染黄色,则DE边染蓝色,AE边染红色,或DE边染红色,AE边染蓝色,共2种情况;若CD边染蓝色,则DE边染红色,AE边染蓝色,或DE边染黄色,AE边染红色或DE边染黄色,AE边染蓝色,共3种情况,根据对称性,不同的染色方案共有(2+3)32=30种.答案:306.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择3个,4个,5个,10个同时按下,可发出和声,若有一个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同的和声数为(用数字作答).解析:可发出和声的情况共分以下8类:当选择3个音键时,有C103种情况;当选择4个音键时,有C104种情况;当选择10个音键时,有C1010种情况.所以不同的和声数为C103+C104+C1010=968.答案:9687.导学号43944015把7个完全相同的小球放置在三个盒子中,允许有的盒子一个也不放.(1)如果三个盒子完全相同,有多少种放置方法?(2)如果三个盒子各不相同,有多少种放置方法?解(1)因为小球完全相同,三个盒子也完全相同,所以把7个小球分成三份,比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中,无论哪一份小球放入哪一个盒子,均是同一种放置方法,因此,只需将7个小球分成如下三份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可.所以共有8种不同的放置方法.(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1,x2,x3,显然有x1+x2+x3=7,于是,问题就转化为求这个不定方程的非负整数解的组数问题,令yi=xi+1(i=1,2,3),得y1+y2+y3=10,问题又成为求不定方程y1+y2+y3=10的正整数解的组数的问题,把10个小球排成一排,在10个小球中间的9个空中,任取两个空插入“隔板”,即可将10个球分成三组,故不定方程的解有C92=36组.故有36种放置方法.8.导学号43944016已知平面,在内有4个点,在内有6个点.(1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少个不同平面?(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?解(1)所作出的平面有三类:内1点,内2点确定的平面,有C41C62个;内2点,内1点确定的平面,有C42C61个;,本身.所作的平面最多有C41C62+C42C61+2=98(个).(2)所作的三棱锥有三类:内1点,内3点确定的三棱锥,有C41C63个;内2点,内2点确定的三棱锥,有C42C62个;内3点,内1点确定的三棱锥,有C43C61个.最多可作出的三棱锥有C41C63+C42C62+C43C61=194(个).7
