习题课1—二项式定理的应用-北师大版高中数学选修2-3练习.docx
习题课二项式定理的应用A组1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8解析:只有第5项的二项式系数最大,n2+1=5.n=8.答案:D2.12x-2y5的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20解析:由已知,得Tr+1=C5r12x5-r(-2y)r=C5r125-r(-2)rx5-ryr(0r5,rZ),令r=3,得T4=C53122(-2)3x2y3=-20x2y3.故选A.答案:A3.使3x+1xxn(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析:由二项式的通项公式得Tr+1=Cnr3n-rxn-52r,若展开式中含有常数项,则n-52r=0,即n=52r,所以n最小值为5.答案:B4.设函数f(x)=x-1x6,x<0,-x,x0,则当x>0时,ff(x)表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x>0时,f(x)=-x<0,则ff(x)=-x+1x6=x-1x6.Tr+1=C6r(x)6-r-1xr=(-1)rC6rx6-r2x-r2=(-1)rC6rx3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3C63=-20.答案:A5.已知21010+a(0a<11)能被11整除,则实数a的值为.解析:根据题意,由于21010+a=2(11-1)10+a,由于21010+a(0a<11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.答案:96.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)42=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5(21-3)42=10.答案:107.在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项为.解析:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则C20r320-r2r>C20r+1319-r2r+1,C20r320-r2r>C20r-1321-r2r-1,所以3(r+1)>2(20-r),2(21-r)>3r,即375<r<425,所以r=8.所以当r=8时,系数绝对值最大的项为T9=C20831228x12y8.答案:T9=C20831228x12y88.导学号43944020已知(x23+3x2)n的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数和为2n,22n2n=2n=32,n=5.(1)n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项,T3=C52(x23)3(3x2)2=90x6,T4=C53(x23)2(3x2)3=270x223.(2)设展开式中第k+1项的系数最大,则由Tk+1=C5k(x23)5-k(3x2)k=3kC5kx10+4k3,得3kC5k3k-1C5k-1,3kC5k3k+1C5k+1,72k92,k=4,即展开式中系数最大的项为T5=C54(x23)(3x2)4=405x263.9.求证:3n>(n+2)2n-1(nN+,n>2).证明因为nN+,且n>2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.(2+1)n=2n+Cn12n-1+Cnn-12+12n+n2n-1+2n+1>2n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n>(n+2)2n-1(nN+,n>2).10.求证:1+2+22+25n-1(nN+)能被31整除.证明1+2+22+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=Cn031n+Cn131n-1+Cnn-131+Cnn-1=31(Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1),显然Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1为整数,原式能被31整除.B组1.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是()A.-,15B.45,+C.-,-45D.(1,+)解析:二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=C9rx9-ryr.依题意,有C91x9-1yC92x9-2y2,x+y=1,xy<0,由此得x8(1-x)-4x7(1-x)20,x(1-x)<0,解之,得x>1,即x的取值范围为(1,+).答案:D2.(2016湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 0152 015除以8的余数为()A.1B.3C.5D.7解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+C2 01512 0162 014(-1)1+C2 0152 015(-1)2 015,倒数两项和为2 0152 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+a8(x-1)8,则a7=.解析:x8=1+(x-1)8=C80+C81(x-1)+C87(x-1)7+C88(x-1)8,a7=C87=8.答案:84.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为.解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,令x=1,得a0+a1+a2+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+a10,两式相减,可得a1+a3+a9=1-3102.答案:1-31025.设1x+x23的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为.解析:Tr+1=C3rxr-3x2r=C3rx3r-3,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积S=03 (3x-x2)dx=32x2-13x303=92.答案:926.导学号43944021设a0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.解析:由题意得a1=1aCn1=na=3,n=3a;a2=1a2Cn2=n(n-1)2a2=4,n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).a=3.答案:37.求证:32n+2-8n-9(nN+)能被64整除.分析可将32n+2写成(8+1)n+1的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果.证明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n-182+Cn+1n8+Cn+1n+1-8n-9=Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n-182+(n+1)8+1-8n-9=Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n-182=64(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1),所以32n+2-8n-9(nN+)能被64整除.8.导学号43944022已知在二项式(axm+bxn)12中,a>0,b>0,mn0且2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求ab的取值范围.解(1)设Tk+1=C12k(axm)12-k(bxn)k=C12ka12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,则有m(12-k)+nk=0,即m(12-k)-2mk=0.m0,k=4,它是第5项.(2)第5项是系数最大的项,C124a8b4C123a9b3,C124a8b4C125a7b5,由得ab94,由得ab85,85ab94.8
