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中北大学2014届毕业论文毕业论文伺服控制系统辨识算法学生姓名： 学号： 10051041 学 院： 信息与通信工程学院 专 业： 光电信息工程 指导教师： 2014年 6月伺服控制系统辨识算法摘 要 本课题以系统辨识技术为技术支持，以伺服控制系统为背景，以导弹舵机控制系统为实际研究对象。从理论的角度研究了对于一个实际系统的模型参数辨识问题。 首先建立导弹舵机控制系统的数学模型。实验是在空载扫频下完成，控制系统往往是一个三阶线性系统。其次以此为依据，研究模型的待辨识参数及系统模型的参数辨识方法。利用实际收集的数据，通过递推最小二乘算法对导弹舵机控制系统的数学模型的参数进行辨识，得到正常工作下的模型参数。最后，总结全文，提出了下一步工作的重点及方向展望。关键字：系统辨识；三阶线性系统；递推最小二乘算法The identification algorithm of servo control systemAbstract This topic was based on system identification technology, by servo control system for the background , and based on missile servo control system for the actual research object. From the Angle of the theory, study for a practical system model parameter identification problem. First, a mathematic model of the missile servo control system is set up . Experiment is done under no-load frequency sweep, the control system is often a third order linear system. Then on this basis, the research of the model parameters to be identified and system parameter identification method of the model. Using the actual data collected, through the recursive least squares algorithm for missile identification was carried out on the parameters of the mathematical model of servo control system, get the model parameters under normal work.Finally, the paper puts forward the full text; and the next step focus and direction are also discussed.Key Word: System identification;The third order linear system;Recursive least squares algorithm目 录1 绪论11.1 系统辨识的定义11.2 课题来源及研究的目的和意义11.2.1 课题来源11.2.2 研究的目的和意义11.3 系统辨识的发展及现状21.4 本课题的主要研究内容41.5 本章小结42 系统辨识的基本原理及方法52.1 系统辨识的基本原理52.2 系统辨识的基本过程62.3 系统辨识的基本方法72.3.1 最小二乘辨识方法72.3.2 梯度校正法72.3.3 极大似然方法72.4 本章小结83 伺服控制系统数学模型的建立及辨识方案设计93.1 伺服控制系统数学模型的建立93.2 数学模型的参数辨识方案设计103.2.1 三种辨识方法的比较103.2.2 最小二乘法在系统辨识中的应用113.2.3 伺服控制系统参数辨识方法的设计113.3 本章小结124 最小二乘算法的研究及课题案例仿真分析134.1 最小二乘算法的研究134.1.1 一般最小二乘算法的分析与设计134.1.2 递推最小二乘算法的分析与设计15第 页 共 页4.2 课题案例仿真分析194.2.1 模型参数辨识步骤194.2.2 仿真分析204.3 本章小结235 总结与展望245.1 本文工作总结245.2 展望24附录A 在matlab环境下系统辨识的程序代码26参考文献29致谢31第 1 页 共 36 页第 页 共 页1 绪论1.1 系统辨识的定义 系统辨识是指利用系统已知的和观测到的信息，构造该系统的数学模型的理论和方法。在现代控制理论、信号处理、生物医学以及社会经济等领域的定量分析应用中，常常需要建立被研究对象的数学模型，以表征对象的因果关系，描述对象的运动规律。在此基础上，可以更方便地解决所遇到的各种问题。因此，系统辨识作为建立系统数学模型的主要方法之一，也就成为很多领域的研究工作的重要前提。系统辨识主要有两大部分组成，一个是系统模型的辨识，一个是系统模型参数的辨识。系统模型的辨识主要解决在对某一系统的模型不确定或完全未知的情况下，如何根据该系统对特定输入的响应来得到一个数学模型，并用此模型代替真实系统来进行研究的问题。系统模型参数的辨识主要解决当系统模型已知的情况下，确定模型中的一些未知参数的问题。参数辨识方法目前在伺服控制系统数学模型参数辨识过程中得到了广泛的应用。本文将以导弹舵机控制为背景来研究一个三阶线性系统数学模型中的参数辨识。1.2 课题来源及研究的目的和意义1.2.1 课题来源导弹舵机控制系统往往是一个三阶线性系统，产品完成后需要测试其系统参数以确定其合格与否。1.2.2 研究的目的和意义 在提出和解决一个辨识问题时，明确最终模型的使用目的是至关重要的。它对模型结构、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。通过辨识建立数学模型可实现如下6个目的：系统仿真：为了研究不同输入情况下系统的输入情况，最直接的方法是对系统本身进行实验，但实际上是很难实现的。为此，需要建立数学模型，利用仿真系统的特性或行为，从而间接地对系统进行仿真研究。系统预测：无论在自然科学领域还是在社会科学领域，往往需要研究系统未来发展的规律和变化趋势，才能预先作出决策和采取措施。科学的定量预测大多需要采用模型预测方法。系统设计和控制:在工程设计中，必须掌握系统中所包括的所有部件的特性或子系统的特性，一项完善的设计，必须使系统各部件的特性与系统的总体设计要求相适应。为此，需要建立数学模型，在设计中分析、考察系统各部分的特性以及各部分之间的互相作用和它们对总体系统特性的影响。系统分析：根据实验数据建立起系统的数学模型之后，可以将所研究的系统的主要特性及其主要变化规律表达出来，将所要研究的系统中主要变量之间的关系比较集中的揭示出来，从而为分析系统提供线索和依据。故障诊断：许多复杂的系统，如导弹、飞机、大型化工和动力装置等，需要经常监事和检测可能出现的故障，以便及时排除故障。这就要求必须不断地收集系统进行过程中的信息，通过建立数学模型，推断过程动态特性的变化情况。然后，根据动态特性的变化情况判断故障是否发生、何时发生、故障大小及故障位置等。验证机理模型：根据实验数据建立起的数学模型之后，将非常有利于理解所获得的实验数据，从而可以探讨和分析不同的输入条件对该系统输出变量的影响，以检验所提出的理论，更全面的理解系统的动态行为。1.3 系统辨识的发展及现状系统辨识是自动控制学科的一个重要分支，是控制系统设计的基础，目前也是一个十分活跃的研究领域，由于其特殊作用，许多较有效的辨识方法已被广泛的应用于各个领域，尤其是复杂系统和参数不容易确定的系统模型。控制理论出现以前，试验法建模已广泛应用于自然现象预测、天文学行星轨道预测和其它基础学科基本定律的建立、概率统计与回归分析等。经典控制理论的兴起，开始用试验法建立系统传递函数，进而确定系统模型，这些是系统辨识的最早形式。 20世纪六七十年代，随着现代控制理论的发展，系统辨识发展成为现代控制理论的一个活跃分支，研究成果十分显著。现代控制理论的特点是需要依赖对象的数学模型来设计控制系统。这个阶段，辨识、状态估计和控制理论发展成为现代控制论三个相互渗透的领域。随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛。但是它的实际应用不能脱离被控对象的数学模型。然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此，利用第 30 页 共 30 页控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。比如，为了分析、设计一个控制系统需要建立控制对象的数学模型；对生物规律、药物反应或社会经济等问题进行定量分析时，也需要建立相应的数学模型。总之，充分掌握研究对象的运动规律，在表征它们的因果关系时，确立对应的数学模型，这是控制理论能否成功地用于实际的关键之一。系统辨识正是适应这一需要而成的一门学科，它的理论得到了迅速发展并广泛应用于许多领域。 进入20世纪80年代，系统辨识发展面临新趋势，一方面由于鲁棒控制的出现，使自适应鲁棒控制成为研究的新热点。相比，系统辨识本身的研究相对减弱，研究成果也急剧减少；另一方面，一些过去认为陈旧的东西，如连续系统辨识又以新面貌重新出现，引起人们的关注。 20世纪90年代以来，系统辨识有了新的发展动向，重新引起学者们的关注。一方面，Gevers 认为，辨识与控制的配合是控制理论研究中一个新的挑战。这一问题的研究已导致系统辨识和控制器设计两方面的不断变革。而鲁棒自适应控制和鲁棒预测控制等的研究正是结合了这一控制器设计方面的变革。另一方面，系统辨识本身向着时变动态系统的跟踪和连续时间系统的辨识方向扩展。同时，由于计算机技术的飞速发展，系统辨识技术也得到了迅速发展和应用。系统辨识的软件化和应用化研究已成为当前理论探索和实验研究及工作技术应用为一体的一个研究热点。 近年来，系统辨识理论正在日趋成熟，形成了比较完善的理论体系和方法，系统辨识的实际应用也愈来愈广泛。在这些应用中，可以看出一些特点：首先，在广泛应用的同时，逐步形成了专业化的特点，如在机器人、航空航天、社会经济、农业和生物等不同领域，其辨识方法都有明显的特色；其次，辨识的内涵己经拓宽，它已不仅仅是利用输入、输出数据来辨识参数和结构，对于那些模型己经建立，并能正常运行，但在环境改变下，某些特征的识别也将是辨识研究的课题，其典型例子是关于系统的故障诊断。此外，随着计算机功能和相关仿真软件的发展，系统辨识得到了空前的发展，它的“纯数字化"成为许多研究工作者的追求目标，并被广泛应用于各种应用领域。这一阶段，传统的过程辨识方法发展得比较成熟和完善，对线性过程具有良好的辨识效果，但对于复杂过程和非线性过程往往得不到满意的辨识结果，而且普遍存在不能同时确定过程的结构和参数以及往往得不到全局最优解的缺点。 随着智能控制理论研究的不断深入及其在过程控制领域的广泛应用，针对传统过程辨识的不足和局限性，把神经网络、遗传算法、模糊理论等知识应用于过程辨识中，发展为许多新型的过程辨识方法，即遗传算法辨识、神经网络辨识、模糊辨识等。现今过程辨识的发展方向是研究综合多学科、新兴学科知识，并易于实现的过程辨识方法。1.4 本课题的主要研究内容本课题结合递推最小二乘法，对根据导弹舵机控制系统建立的三阶线性的数学模型的参数进行估计，从而提高模型精度，使运行安全可靠。主要内容如下：根据导弹舵机控制系统原理建立相应的数学模型。研究开发与此相对应的离散状态空间模型，以便于工程实现。确定模型的有关参数，通过递推最小二乘算法对模型参数进行辨识并给出辨识结果的分析。本课题具体工作及章节分配如下：第一章 概述了系统辨识的发展历史及现状，给出了课题来源及研究的目的和意义，最后给出本课题的主要研究内容。第二章 针对本文的研究重点，初步介绍了系统辨识的基本原理和基本方法。阐述了系统辨识的常用辨识模型和辨识的一般过程。第三章 以伺服控制系统为背景，首先，介绍了导弹舵机系统，建立了一个三阶线性数学模型；最后，对建立的数学模型进行分析，确定待辨识参数，设计并确定辨识方案。第四章 根据第三章已确立的辨识方案，考虑到最小二乘法的不足，用递推最小二乘法辨识导弹舵机系统的数学模型参数，并对辨识结果进行分析研究。第五章 对全文进行的工作进行总结，并对进一步的研究工作提出了展望。1.5 本章小结 本章给出了本课题的来源及研究的目的和意义，简单介绍了系统辨识的发展历史及研究现状，最后对本课题的主要研究内容作出了必要的总结。2 系统辨识的基本原理及方法2.1 系统辨识的基本原理系统辨识的目的是根据系统所提供的测量输入输出数据，在某种准则意义下估计出模型的未知参数，其基本原理如图2.1所示。 图2.1 系统辨识的基本原理 其实质就是利用待测系统动态过程提供的输入、输出数据，不断调整模型结果和参数，使模型结果尽量接近真实结果。由原理图可知，为了获得对象模型参数的估计值，通常采用逐步逼近的办法。在时刻，根据时刻的参数估计值及当前和历史输入输出数据计算出系统模型在该时刻的输出预报值： （2.1） 同时计算出预报误差： （2.2）式中， 为系统实际输出。然后将输出预报误差反馈到辨识算法中，在某种准则条件下，计算出 时刻的模型参数估计值，并以此更新模型参数。如此循环迭代下去，直到对应的准则函数取最小值。这时模型的输出也已在该准则意义下最好的逼近系统的实际输出值 ，于是便获得了所需要的系统模型。2.2 系统辨识的基本过程 如果建立某一系统的数学模型的目的已十分确定，同时对该系统已具备一定的先验知识，就可以开始辨识系统的数学模型。一般，系统辨识的基本过程包括四个阶段。首先，根据系统建模目的及先验知识进行系统辨识试验设计；然后，根据系统建模目的及先验知识选择合适的模型类型和结构；其次，根据观测数据采用适当的方法估计出模型的未知参数；最后，对所得的数学模型进行验证。各主要阶段相互关系如图 2.2 所示。 图 2.2 系统辨识的一般过程 由此可见，建立系统的数学模型需要先根据辨识目的，利用先验知识初步确定模型结构；然后采集输入输出数据并进行相关处理，进行模型结构辨识和模型参数辨识；最后经过验证获得最终的模型。2.3 系统辨识的基本方法 迄今为止，系统辨识技术已出现了许多不同的辨识方法。对于线性系统，根据所涉及的模型形式的不同可分为非参数模型辨识方法和参数模型辨识方法两种。 非参数模型辨识方法获得的模型为非参数模型，其模型采用响应曲线来描述，可通过实验获得，无明显的参数，也不必事先确定过程模型的具体结构，因此该方法可应用于任意复杂的过程。 参数模型辨识方法需要先假定一种模型结构，然后通过极小化模型与真实系统对象之间的误差准则函数来确定模型的参数。根据不同的原理，参数模型辨识方法又可分为三种，即：最小二乘法、梯度校正法和极大似然法。2.3.1 最小二乘辨识方法1795年，著名数学家高斯为研究解决行星运行轨道预报问题提出了最小二乘法。此后，最小二乘法就成为参数估计理论的奠基石。至今，最小二乘法仍然是系统辨识领域研究和应用最广泛的方法之一。最小二乘法的基本结果有两种形式，一种是经典的一次完成算法，另一种是现代的递推算法。递推算法适用于计算机在线辨识，一次完成算法在理论研究方面更为方便。2.3.2 梯度校正法 梯度校正法的基本思想是利用最速下降法原理，沿着误差准则函数关于模型参数的负梯度方向，逐步修改模型的参数估计值，直至误差准则函数达到最小值。2.3.3 极大似然方法极大似然法是一种传统的概率性的参数估计方法，它的基本方法是构造一个以观测数据和未知参数为自变量的似然函数，通过极大化这一似然函数来获得模型的参数估计。使这个似然函数达到极大的参数值就是模型的参数估计值。2.4 本章小结 系统辨识是一门应用性学科，近年来，它的应用愈来愈广泛。迄今为止，系统辨识技术已出现了许多不同的辨识方法。本章就系统辨识的基本原理、基本辨识过程及常用辨识方法进行了说明，着重介绍了系统辨识的三种基本辨识算法。这对以后几章的研究打下了坚实的基础。3 伺服控制系统数学模型的建立及辨识方案设计3.1 伺服控制系统数学模型的建立由于古典和现代控制理论在很大程度上依赖于结构已知的系统数学模型，而且现代控制理论是严格建立在被控对象的数学模型的前提下的，控制算法对被控对象的精度要求很高，没有精确的模型要实现一种先进的控制方案是非常困难的。因此，为了提高控制能力，必须改善系统数学模型的精度。这样，就要对系统数学模型的各个参数进行辨识。下面就导弹舵机系统的数学模型的建立问题及模型参数辨识方案设计问题研究如下。 直流电动机是是舵机控制系统的关键组成部分, 其原理是将电信号转变成机械运动, 它的运动方程可由如下四个方程表达式： （3.1） （3.2） （3.3） （3.4） 式中, 为电枢电压( V) , 为电枢电流( A ), La 为电枢总电感(H) , 为电枢总电阻() , 为电机反电势(V ) ,为电机转动的角度( rad) , 为电机转矩(),为折算电机轴的负载转矩(),为加速转矩( ), 为折算电机轴的总转动惯量( ) , 为反电势系数( ) , 为转矩系数( )。数学推导后, 假设舵机空载条件下, 电机的传递函数为： （3.5）3.2 数学模型的参数辨识方案设计3.2.1 三种辨识方法的比较 在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以选择辨识方法来估计模型中的参数，进而精确确立模型方程。 最小二乘法、梯度校正法和极大似然法是模型参数辨识中三种重要的方法。对于假设模型给定的前提下，三种辨识方法得到的参数估计值都具有很好的统计特性。但这三种方法具有明显的差别，具体表现在下面几个方面：三种方法所依据的基本数学原理不同。 最小二乘法依据最小二乘原理，它认为只要残差的平方值尽可能小，参数估计值就尽可能的接近实际值，它通过最小化误差的平方和来寻找最佳的函数数据匹配。梯度校正法则要求沿着准则函数的最速下降方向来修正估计参数值，直到目标函数达到最小值为止。极大似然法依据极大似然原理，它要求在待估参数条件下的观测数据的联合概率密度函数尽可能大，也就是要求似然函数达到最大值这意味着模型输出的概率分布将最大可能的逼近实际过程输出的概率分布。那么，此时得到的参数值就是估计参数值。三种方法所应用的广泛性不同。 最小二乘法是应用最广泛的参数辨识方法，工程上容易实现，鲁棒性强，可直接获得过程参数模型，并且对线性过程具有良好的辨识效果。极大似然法可以应用于参数非线性的回归模型，而最小二乘法一般不可以应用于参数非线性的回归模型。 梯度校正法的一个显著优点就是计算量小、计算简单，在一定条件下也可用于在线实时辨识，但是当过程的输入输出含有噪声时，它要求必须预先知道噪声的统计特性，这将大大限制了梯度校正法的使用范围。三种方法的参数估计量的性质存在明显的差异。参数估计量的统计特性包括无偏性、一致性和有效性。一般，通过参数估计量的统计特性就可以衡量它的优良度和可信度，进而确认相应辨识算法的实用价值。最小二乘估计量是最优线性无偏估计量，当模型噪声为白噪声时，利用最小二乘法可获得无偏估计量；对高阶模型来说，性能明显优于其它方法，而且具有比较可靠的收敛性。渐进性质是极大似然估计量的普遍特性，然而无偏性却不一定是所有极大似然估计量都具有的性质，即：渐进无偏估计量不一定是无偏估计量。梯度校正法与最小二乘法相比，虽然计算量小，但算法收敛速度较慢；除此之外，其对噪声的干扰比较敏感，参数估计波动较大。梯度校正法中，权矩阵的选至关重要。输入输出数据向量的各分量直接影响参数估计值，而权矩阵的作用则是用来控制各输入输出分量对参数估计值的影响程度。只有当权矩阵满足一定条件时，梯度校正法的参数估计值才能保证是大范围一致渐近收敛的，如果有一个条件不满足，所的参数估计值就不是渐近收敛的。除此之外，权矩阵选择的最佳与否将直接影响参数估计值收敛于真值的快慢。因此，在应用梯度校正法辨识模型参数时，要实现辨识参数的无偏一致有效性将是很复杂的，必须考虑权矩阵的选取条件。 综上所述，最小二乘法最简单实用，即可用于动态系统、静态系统、线性系统和非线性系统的参数估计，也可用于离线和在线估计。其递推算法收敛可靠，并且当方程误差为白噪声时，可得到无偏、一致和有效的估计，从而得到广泛应用。通过对三种辨识方法的比较，考虑到辨识的快速性、辨识精度及准确性等方面，本课题选用最小二乘法作为本课题背景模型参数的辨识研究方法。3.2.2 最小二乘法在系统辨识中的应用 系统辨识是通过建立动态系统模型，在模型输入输出数据的基础上，运用辨识方法对模型参数进行辨识，从而得到一个与所观测的系统在实际特性上等价的系统。应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种。离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正，以取得更为准确的参数估计值由于在线辨识方法具有实时采集系统输入输出数据，实时辨识模型参数，且占据计算机存储量小的优点，因此与离线辨识相比，在线辨识方法得到了更为广泛的应用。3.2.3 伺服控制系统参数辨识方法的设计 我们知道最小二乘法采用的模型为，因而在本文的仿真实验中要将线性系统化成上述最小二乘的模型，才可以用最小二乘法对其进行参数的辨识。导弹舵机系统是一连续三阶线性系统，其系统的传递函数为，将其转换为最小二乘的模型即为 （3.6） 其相应的差分方程为 （3.7） 因考虑被辨识系统中含有噪音，被辨识模型式（3.7）改写为 （3.8）式中，为系统输出量的第次观测值；为系统输出量的第次真值，为系统输出量的第次真值，以此类推；为系统的第个输入值，为系统的第个输入值；是均值为0的随机噪音。本课题就是利用递推最小二乘算法对参数、的辨识。3.3 本章小结 本章简单介绍了导弹舵机系统程数学模型，并对上一章所讲到的最小二乘算 法、极大似然法和梯度校正法进行比较研究选择最小二乘法作为本课题的参数辨识方法。对导弹舵机系统数学模型进行初步处理，明确本课题的辨识参数。4 最小二乘算法的研究及课题案例仿真分析4.1 最小二乘算法的研究4.1.1 一般最小二乘算法的分析与设计考虑随机模型的参数估计问题，首先考虑单输入单输出。如图4.1所示，将待辨识的系统看成“灰箱”，它只考虑系统的输入、输出特性，而不强调系统的内部结构。如图4.1中，输入和输出是可以测量的；是系统模型，用来描述系统的输入、输出特性；是测量噪声。 图 4.1 单输入单输出系统的“灰箱”结构 对单输入单输出随机系统，被辨识模型为 （4.1）其相应的被辨识模型式为 （4.2） 式中，为系统输出量的第次观测值；为系统输出量的第次真值，为系统输出量的第次真值，以此类推；为系统的第个输入值，为系统的第个输入值；是均值为0的随机噪音。 如果定义： 则式（4.2）可改写为 （4.3）式中，为待估参数。 令则有，于是，式（4.3）的矩阵形式为 （4.4） 最小二乘法思想就是寻找一个的估计值，使得各次测量的与由估计的确定的测量估计之差的平方和最小，即 （4.5）要使上式达到最小，根据极值定理，则有 （4.6）对式（4.6）进一步整理，得 （4.7）如果的行数大于等于列数，即，满秩，则存在。则的最小二乘估计为： （4.8）式（4.8）说明，最小二乘估计虽不能满足式（4.4）中的每个方程，使每个方程都有偏差，但它使所有方程偏差的平方和达到最小，兼顾了所有方程的近似程度，使整体误差达到最小，这对抑制测量误差是有益的。4.1.2 递推最小二乘算法的分析与设计当获得一批数据后，利用式（4.8）可一次求得相应的参数估值，这样处理问题的方法称为一次完成算法。它在理论研究方面有许多方便之处，但当矩阵的维数增加时，矩阵求逆运算的计算量会急剧增加，将给计算机的计算速度和储存量带来负担，而且不适合在线辨识，无法跟踪参数随时间变化的情况。为了减少计算量，减少数据在计算机中所占的储存量，也为实时地辨识出动态系统的特性，在用最小二乘法进行参数估计时，把它转化成参数递推的估计。 参数递推估计是指对被辨识的系统，每取得一次新的测量数据后，就在前一次估计结果的基础上，利用新引入的测量数据对前一次估计的结果进行修正，从而递推地得出新的参数估值。这样，随着新测量数据的引入，一次接一次的进行参数估计，知道估计值达到满意的精确程度为止。最小二乘递推算法的的基本思想可以概括为当前估计值上次估计值 修正值 以图3.1所示的单输入单输出系统为辨识对象，根据式（4.8），利用次测量数据所得到的最小二乘估值为 当新获得一对输入与输出数据时，可根据式（4.3）可得 根据式（4.4）可进一步获得 （4.9）式中 ， （4.10）同理，根据式（4.8），有 （4.11）设 (4.12) (4.13)则有： （4.14） （4.15）将式（4.10）代入式（4.15），得： （4.16）由于式（4.14）可写为： （4.17）则式（4.16）可写为： （4.18）将式（4.10）代入式（4.13），得： （4.19） 将式（4.12）代入式（4.19），得： （4.20） 根据矩阵求逆公式，式（4.20）可变为 （4.21）对式（4.20）两边同求逆，可得： （4.22）将式（4.22）代入式（4.18），得 (4.23) 令为增益矩阵，并将式（4.21）代入，整理得 （4.24）综合式（4.21）、式（4.23）和式（4.24）得到最小二乘估计的递推算法为递推最小二乘算法式（4.23）具有明显的物理意义：为前一时刻的参数估值；是在以前测量的基础上对本次测量值的预测；是当前时刻的测量值，而为预测误差。由于预测误差实际上是前一时刻估计值与实际参数的偏差形成的，因此当前参数的估计值必须根据预测误差对前一时刻估计值进行修正来获得，修正的增益矩阵.递推最小二乘算法根据前次测量数据得到的及新的测量数据，可以计算出增益矩阵，从而由递推算出，同时可计算出下一次递推计算所需要的。在每次递推计算中，信息变换情况如图4.2所示： 图4.2 递推最小二乘估计算法的信息变换图4.2表明，递推计算的初始值至关重要，初始值应从和开始，而和的取值有两种选择方式。（1）根据一批数据，利用一般最小二乘算法获得，取前组数据，采用式（4.8）获得 然后从组数据向后递推，为了减少计算量，的取值不宜太大。（2）任意假设和，通过递推算法进行迭代。 为方便起见，取和,为正实数。随着递推的进行，初始值和对估计结果的影响越来越小。 当递推最小二乘算法的参数估计达到一定精度时，可以自动停止递推运算，可选用如下的停机准则 ，为适当小的数4.2 课题案例仿真分析4.2.1 模型参数辨识步骤由上面的递推算法，可知递推最小二乘法的辨识步骤为：首先，将建立的导弹舵机系统的数学模型转化为最小二乘法采用的模型，以确定需要辨识的参数，已知其系统的传递函数为因此，假设该系统的理想传递函数为 （4.25）对连续系统进行脉冲抽样，模型仿真的采集数据是在周期为0.02s 中采集，并将其转换为辨识模型为 （4.26）其相应的差分方程为 （4.27） 综上，可得本仿真实验的辨识模型为 （4.28）式中，、为辨识参数；是随机噪声。然后，给定初始条件。为方便起见，任意假设和的初始值，取，和相对误差。最后，利用递推最小二乘算法，对辨识参数进行辨识。本课题算法的的程序流程图如图4.3。 图4.3 递推最小二乘参数辨识的流程图4.2.2 仿真分析仿真实验是在matlab的环境进行的，在仿真导弹舵机系统的数学模型时，设定的噪音是服从的随机噪音；输入采用4阶序列，其幅值为5，如图4.4；仿真实验的辨识结果、估计精度、辨识系统输出曲线和原始数据的拟合情况分别如图4.5、图4.6和图4.7所示，辨识的参数如表4.1所示：表4.1 递推最小二乘算法的辨识参数辨识参数理想真值-2.982.96-0.98021.3275.281.313估计值（第20次迭代）-2.97612.9512-0.97521.36235.30351.3512估计值（第40次迭代）-2.97572.9511-0.97561.32415.28081.3242估计值（第60次迭代）-2.97602.9514-0.97571.31845.27991.3223估计值（第80次迭代）-2.97622.9520-0.97601.30445.26911.3219估计值（第100次迭代）-2.91682.9533-0.97671.30695.26781.3252 图4.4 输入4阶序列图4.5 仿真实验的辨识结果 图4.6 估计精度图4.7 辨识系统输出曲线和原始数据的拟合情况根据表4.1的数据，由此可知，辨识参数与其理想真值十分接近，表明参数收敛性较好，也表明了该辨识方算法是准确可行的。如图4.7所示，根据递推最小二乘算法得到的输出曲线可以平滑的穿过原始数据，表明辨识结果是理想的。4.3 本章小结