高考数学解析几何的解法.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高考数学解析几何的解法中学数学免费网 解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线的方程； （2）计算出点P、Q的坐标； （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 显然, 于是 直线的方程为；（2）由方程组解出、； （3）, . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后，得关于的一元二次方程 于是其判别式由已知，得=0即 在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 代入式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 讲解：（1）原点到直线AB：的距离. 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则 即故所求k=±.为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，ABF2的面积最大值为12 （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程 讲解：（1）设, 对 由余弦定理, 得，解出 （2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 .则x1、x2是上述方程的两根且，也可这样求解： ，AB边上的高 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得：于是是上述方程的两根.,AB边上的高,从而当且仅当m=0取等号，即由题意知, 于是 .故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 例5 已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理，得 线段AB的中点坐标为（）. 由已知得，故椭圆的离心率为 . （2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .例6 已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ，故，所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图，在RtABC中，CBA=90°，AB=2，AC=。DOAB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；A O B C（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=动点P的轨迹是椭圆曲线E的方程是 . （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得设M1（, 则 i) L与y轴重合时， ii) L与y轴不重合时， 由得 又, 或 01 ,而 , ,的取值范围是 . 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点. （1）求证：;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: （1）易求得抛物线的焦点. 若lx轴，则l的方程为.若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得. 综上可知 .（2）设，则CD的垂直平分线的方程为假设过F，则整理得 ，. 这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，APB=60°，试说明怎样运土石最省工？讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|MB|=|BP|AP|=50,M在双曲线的右支上.故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.-