几个重要不等式的极值方法证明毕业论文.doc

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文几个重要不等式的极值方法证明Several important inequalities proved extremum method 姓 名： 学 号： 1107010019 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2015年4月*日 几个重要不等式的极值证明方法 【摘要】 不等式证明具有很强的技巧性,方法灵活多变,是对知识的综合性灵活运用。目前有多种形式的方法可用来证明不等式。本论文则以举例说明的方式给出了应用一元函数极值和多元函数条件极值证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当地选择目标函数和相应的限制条件,应用求一元函数和多元函数的条件极值的方法证明不等式。 【关键词】函数，极大值，极小值，不等式的证明； 【文内图片】Several important inequalities proved extremum methodYangkelinAbstract the inequality proof has the skills of strong, flexible method, is the comprehensiveknowledge of the flexible use. At present, there are a variety of methods can be used to prove the inequality in the form of. Inequality method applies a unary function extremum and multivariateconditional extremum of function show that the thesis is to illustrate the way given in inequality,namely, the proper choice of the objective function and the corresponding limit conditions, method of application for a binary function and multivariate function condition of extreme inequality proving.keyword function, maximum value, minimum value, the inequality proof;目录1 引言52 函数的极值的概念及其判定方法6 2 1一元函数的极值的概念及其判定方法62.2二元函数的极值的概念及其判定方法72.3条件极值的概念73 用极值证明几个重要的不等式83.1平均值不等式的证明83.2 Cauchy不等式的证明 93.3 Schwarz不等式的证明103.4Holder不等式的证明113.5Bernoulli不等式的证明13 3.6 Young不等式的证明13 3.7Hadamard不等式的证明14参考文献17171 引言 不等式问题自古以来是许多数学分支的基石，在数学分析，高等代数，实变函数等书中更是充满各种各样的不等式，这是高等数学中一类较难解决的问题。然而证明不等式的方法多种多样，在这里我们就用极值的方法来证明不等式，因为这是证明不等式的一种较为简便的方法。本文主要让我们了解函数极值的概念及其判别方法，通过这种方法来证明几个重要的不等式。极值关系本身就是不等式:,因此，我们很容易想到用极值的问题来证明不等式。下面，我们就从单值和多值的两种情况来考虑。一元函数极值的定义 若函数f在点的某领域U（）上对一切xU（）有 f()f(x) (f()f() 则称函数f在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点，极大值，极小值统称为极值，极大值点，极小值点统称为极值点。一元函数极值的判定方法极值的第一充分条件：设f在连续，在某领域(;)上可导。（i） 若当x（-，）时（x）0,当x（，+）时（x）0,则f在点取得极小值。（ii） 若当x（-，）时（x）0,当x（，+）时（x）0,则f在点取得极大值。极值的第二充分条件：设f在的某领域(;)上一阶可导，在x=处二阶可导，且（）=0，（）0.(i) 若（）<0，则f在取得极大值。(ii) 若（）>0，则f在取得极小值。极值的第三充分条件：设f在的某领域内存在直到n-1阶导函数，在处n阶可导，且（）=0（k=1,2.,n-1），（）0，则(i) 当n为偶数时，f在取得极值，且当（）<0时取极大值，（）>0时取极小值(ii) 当n为奇数时，f在处不取极值。二元函数极值的定义若函数f在点（，）的某领域U（）内有定义，若对任何点p(x,y) U（），成立不等式 f(p) f() (或f(p) f()，则称函数f在点取得极大（或极小）值，点称为f的极大（或极小）值点。极大值，极小值统称为极值，极大值点，极小值点统称极值点。极值的充分条件： 设二元函数f在点（，）的某领域U（）上具有二阶连续偏导数，且是f的稳定点，则当是正定矩阵时，f在点取得极小值；当是负定矩阵时，f在点不取极值。 （i）当时，在点取得极小值； （ii) 当时， 在点极大值； （iii）当时，在点不能取得极值； （iv）当时，不能肯定在点是否取得极值。条件极值假设n+m元函数的变元满足m个方程 （i=1,2,.,m) (1)如果对满足（1）的点=的某个领域内所有满足这同一组方程的点都成立不等式 则说在有条件极小（大）值，并称为极小（大）值点 1.平均值不等式：，（其中0（i=1,2.,n）其中等 号当且仅当时成立) 证明：设 ， 令 解得由题意知，最大值在唯一稳定点取得所以故，因此。2. Cauchy不等式：（其中为任意实数,i=1,2,.n,当等号成立时当且仅当成比例时成立）证明：首先假定 （i=1,2.,n） 因为设 （i=1,2,.,n）, 易知，为此，作辅助函数令将代入得， （）因此函数在（）取最大值故Cauchy不等式成立又因为所以在为任意实数时Cauchy不等式亦成立。3. Schwarz不等式： （其中） 证明：将a,b n等分，分点为 i=0,1,2.,n.由为可积函数，则有 ， ， .依照离散式的柯西-施瓦茨不等式 得到 根据2的Cauchy不等式证明方法即证取时的极限，便得到参考资料： 陈纪修等，数学分析（上、下册），高等教育出版社，20044.Holder不等式： （其中， i=1,2,.,n; k>1,）证明：要证明holder不等式，我们不妨证明函数 = 在条件 (A>0) 下的最小值是A。因此我们可以用数学归纳法进行证明当n=1时，显然有 .现在假设当n=k时命题为真，即对任意k个数,当 （）时，有A下面证明当n=k+1时的命题也为真：设 求F的最小值令 对G进行求偏导，得： 有以上的方程组解得:, 从而有, 即。于是，解得满足极值的条件唯一解为 （i=1,2,.,n）对应的函数值为： 又因为所研究的区域，（i=1,2,.,k+1）是k+1维空间中一个m维平面在第一卦限的部分，其边界由m+1个m-1维平面组成：其中 i=1,2,.k+1.所以在这个区域上，求得:的最小值就转化为求m个变量的最小值下面，我们以讨论的最小值为例。由数学归纳法假设可知即有 因此，在边界面上的最小值不小于A从而可知，在区域上的最小值为故当n=m+1时命题为真从而，由数学归纳法可知 （1）其中 （i=1,2,.,n）.下面证明Holder不等式 成立事实上，若，则上式显然成立，若，令，则A>0.从而，由不等式（1）知故Holder不等式即证。.5.Bernoulli不等式: (其中) 或 （其中）当且仅当等号成立。证明：由题意可知，当时等号显然成立。 下面，我们作辅助函数： 则F（0）=0，且F(x)=在F（0）处可导，故， ， 当时 ,则F（x）在x=0处取得极小值， 即F（0）=0， 从而可得。 当0<<1时，,则F（x）在x=0处取得极大值， 即F（0）=0， 从而可得。 综上所述：当0， 当时， 当且仅当或x=0时等号成立。 6.Young不等式：设P>1,q>1,且，则，必有 a.b 上式等号成立当且仅当 证明：我们作辅助函数 则 ，易知 又因为当时，在0,1上严格单调递减； 当 在1,上严格单调递增； 故在=1处取得极小值，于是有不等式成立，即， 在此不等式中取，并注意p+q=pq,即可证得不等式 成立 等号成立的充分必要条件是，即。 7. Hadamard不等式：， （的n阶行列式）证明：设A表示矩阵，且表示行列式 要证Hadamard不等式，我们不妨考虑函数在条件 ) (i=1,2,.,n)下的极值问题。其中 （i=1,2,.,n）由于连续函数G在上述n个条件下的元点集是有界闭集下能够取得最大值和最小值下面我们就来求出函数G满足条件极值的必要条件我们先作辅助函数：。又因为G是多项式，当按第i行展开时，有，其中的代数余子式。对方程F求偏导： 解得方程组：，当时，有，所以当函数G满足极值的必要条件时，行列式不同的两行所对应的向量必正交。由行列式的乘法可得： =。（其中的转置）从而，函数G满足极值的必要条件时，必有 G=。又因为函数在条件 （i=1,2,.,n）下不恒为常熟，即得 。从而可得 。 （1）下面证明 (2)若至少有一个i，使则 （j=1,2,.,n）.于是有从而不等式（2）显然成立若对一切i(i=1,2,.,n),都有，令，则 （i=1,2,.,n）.于是，由不等式（1）即得即证明Hadamard不等式 1 华东师范大学数学系，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2010.2 匡继昌，常用不等式，学技术出版社，2003.3 陈纪修等，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2004.4 江泽坚等，实变函数论，高等教育出版社，2007.5 刘伟业，用求条件极值的方法证明不等式，数学通报，1988年01期.6 冯娟，利用极值证明不等式，邢台学院学报，2010年04期.7 郑维行等，实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1980.8 裴礼文,数学分析中的典型问题与分析方法,高等教育出版社，1993.9 D.S密特利诺维奇著,张小萍，王龙译,解析不等式,科学出版社.1987.10 同济大学数学教研室.高等数学M.高等教育出版社.2002.