用数形结合的方法来解决中学数学问题毕业论文.doc

用数形结合的方法来解决中学数学问题【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法, 贯穿于数学的各个分支. 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思雄与形象思维相结合,在解题中借数解析形，以形表达数量关系. 有些数量关系，借助几何图形的直观描述，可以使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。数形有机的结合，使问题化繁为简，化难为易，化抽象为具体,从而达到简洁、明了的解题效果。提高数形结合的灵活性,有助于思维能力的培养, 有利于解题能力的提高. 数形结合在中学数学中有广泛的应用, 本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。【关键词】数形结合 方程问题 不等式问题 最值问题 函数问题 复数问题1 引言数形结合是一种重要的数学思想. 所谓数形结合, 就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,一方面借助形的直观性来阐明数量之间的联系,另一方面是借助于数的精确性来阐明形的某些属性. 华罗庚先生曾指出: “数缺形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质. 注意这一思想方法的渗透,有利于解题能力的培养,有利于优化思维品质,并能在认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系.在处理某些数学问题时, 我们可以从问题的结构特征入手, 充分挖掘出问题的几何背景, 再利用数形结合的方法建立起几何模型, 很多问题便迎刃而解, 且解法简捷. 避免复杂的计算与推理,这不仅培养了学生的观察力,联想力,综合运用知识的能力.还培养了学生的创新意识与能力.数形结合的方法重点在以形助数,贯穿于整个中学数学,本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。2 方程问题方程是中学数学常见的学习、研究对象，尤其是二次方程，是学习的重点和难点。而方程、不等式、函数又有密切联系 ，是知识的融汇点，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。2.1 方程实根的正负情况用代数方法研究方程根的情况,计算复杂.若用形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了.例1 为何值时,二次方程有一个正根，一个负根?解：设 二次方程， a1.(1)当时，抛物线开口向上，如图方程有一个正根，一个负根故此时,不存在。 (2)当时，抛物线开口向下，如图 方程有一个正根，一个负根 故 综上所述，当时，方程有一个正根，一个负根。例2 已知二次方程有一正根和一负根,求的取值范围.解:设二次项系数大于0,函数图象开口向上函数与轴的交点落在轴两侧只需.解之得:-或.例3 已知二次方程有两个正根,求的取值范围.解:设.依题意二次函数的图象与轴的交点落在轴的正半轴.如下二图所示.所以有 或分别解两个不等式组,求交集得的取值范围是.例4 已知方程有两个正根，且一根在(0,1),另一根在(1,2),求的取值范围.解:由已知得:所得不等式组表示平面上一区域,如图.看作点()与(1,2)连线的斜率.连接得最大斜率连接得最小斜率.利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。2.2 求方程实根的个数有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.例5 求方程的实根个数。解：此题若直接解方程则较为困难，若利用数形结合，将代数问题转化为几何问题，则较为简单。即求两曲线的交点的个数。做出函数和的图象，从图中可以看出两曲线的交点M只有一个，方程只有一个实数解。例6 求方程的解的个数.解:作出函数和的图象.观察图象,两函数图象有3个交点.原方程的解有3个.例7 试判断方程的解的个数。解：要解出方程是不可能的。但题目只需要知道方程解的个数。若能突破传统的解方程的思想，利用图形来处理，则轻而易举。方程的解的个数实质是与图象的交点的个数。分别作出和时的图象，由图可知两曲线有两个交点。例8 当a为何值时, 关于的方程无解?有一解?有两解?解:由题意得 即 设, ,则的图象为过定点(1 ,0) 的直线系, 如图所示.直线:为切线,切点为(2 ,4).由图可知(1) 方程(*)无解直线系斜率满足。(2) 方程(*) 有一解直线系斜率满足,此时符合条件。(3) 方程(*) 有两解直线系斜率满足.此时交点横坐标均满足的条件。综上所述,当时,原方程无解; 当时,原方程有一解;当时,原方程有两解。例9 已知方程有四个实根,求的取值范围。解:此方程含绝对值号,并且有四个实根,若以代数方法求解,一时之间难以找到入手点,分类讨论难免繁冗复杂.而画出,的图象后,只须两图象有四个交点即可。即-1<k<0。例10设函数,若,试讨论关于的方程 的实根个数.解: 即.作出函数和的图象,观察图象,可知当时,方程无解.当.当时,方程有两解.结合函数定义域正确画出函数图像。此时要注意交点，分界点。可结合函数的性质或简单的计算、估算作出判断。23 含参数的方程中学数学中常见的是二次方程.很多数学问题最后转化为二次方程问题来处理。在对二次方程问题的探讨中,对含有参数的二次方程实根问题代数解法讨论较繁,解题入手点不简明。若采用数形结合方法解决此类问题,则思路自然、结果简明直观,易操作,容易理解运用。例11 集合,且,求实数的取值范围。解:由题意得方程 ()等价变形为方程 在(0 ,2)中有解。设, , 则的图象为抛物线段， 图象为过定点(0 ,0)的直线系.其中L 1 :为切线,切点为(1 ,2).由图可知,直线系斜率满足时,直线系和抛物线段都相交。的取值范围是.例12 且试求使方程有解时的取值范围解:由题意得:即 设=,则=的图象为等轴双曲线 部分的图象是斜率为1 的平行直线系的部分,如图所示.其中: L 1: L2 :由图可知 (1) 对双曲线右半支,直线系在L 1和渐近线之间时有交点,即轴上的截距满足.解之得:.(2) 对双曲线左半支,直线系在L2上方时有交点,即y 轴上截距满足解之得.综合(1),(2)得:的取值范围是或.因为方程含有参数，所以画出的函数图像就不是静态不变的，而是动态变化的，例如直线系，曲线系。注意寻找分界点，分界直线，例如相切的情况。当然还需要按参数分情况作图。3 不等式问题不等式是中学数学的重要内容。现实世界的不等关系远远多余相等关系。不等式是解决问题的一种有利工具，广泛应用于实际问题。3.1 无理不等式解无理不等式是中学数学的一个重要内容，常规解法是平方去根号转化为有理不等式(组)求解。但上述解法往往运算量大，过程冗长。解题中若能注意到某些代数式的功能作用，将原不等式作适当转化，利用数形结合的方法，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。例13 解不等式： 解: 设，即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，此不等式的解在图象上就是抛物线位于直线上方的部分，故不等式的解集是。例14 已知常数，解关于的不等式.分析：此不等式是一个无理不等式，若按无理不等式解法需将此不等式转化成2个不等式组来解，其过程繁琐，如果考虑不等式的几何意义，就简便多了。解：如图,在同一直角坐标系中作出和图象.由图可知曲线在直线上方部分即为不等式的解集|-。例15 设x > 0,y > 0,z > 0 ,求证:. 解:这是个代数不等式的证明问题,已知条件简单,难以下手.但由代数式的结构联想到余弦定理,有.又 x > 0,y > 0,可以表示以x , y 为边, 夹角为60°的三角形的第三边。同理也有类似的几何意义. 于是构造如图所示的四面体,使.且,由余弦定理得:= 同理:= 在ABC 中, AB + BC > CA , 原不等式成立.无理不等式常需要平方升幂，此时要注意定义域不能改变。符合题意的图像只是全部图像中的部分。3.2 二元二次不等式组例16 解不等式组解:先考虑相应的方程组如图，它们分别表示双曲线和圆由(3)知代入(4)得:.原不等式的解集为或熟悉代数式结构，巧用几何意义。3.3 高次不等式中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。高次不等式需转化为低次不等式来求解。最常用的是数轴标根法。例17 解不等式.解:因最高次项系数为- 1 < 0 ,所以原不等式可变形为,方程有实根, , ,说明曲线与轴有交标根,如图所示:不等式的解集为 用数轴标根法求解高次不等式要注意将不等式正确变形为最高次项的系数为正数的形式，注意曲线在数轴上的绕法，特别是重根的情况。3.4 绝对值不等式若用代数求法求解,需分情况讨论,去除绝对值号来求解.但分类讨论繁琐,过程复杂.利用数形结合方法,将不等式两边视为两个函数图象,则求解简单明了.例18 已知解关于的不等式。解:在同一坐标系中,作出和的图象解方程组 得到交点的横坐标为由图可知,当时,在 的上方 不等式的解集为|.例19 解不等式 ().解：设,.两曲线有一个交点,且交点在第一象限.列出方程 即 解之得:原不等式的解集为:x|x>例20 下列不等式一定成立的是（ ）。解：构造两个函数，(1)即同理 即,错误.不等式中的绝对值号体现在图像上就是曲线的翻折。3.5 含参数的不等式若对参数分类讨论来求解,.过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。例21 若不等式+恒成立,求的取值范围.解：要使不等式恒成立，只要+的最小值.若用常规的方法来求最小值则较为烦琐。若考虑用绝对值的几何意义，把+理解为到数轴上两点(-1,0),(1,0)的距离的和，则较为简单。当时,有+最小值2. 的取值范围是.例22 设函数,其中,解不等式.解：此题是含字母的不等式，分类讨论思路不清楚，且较烦琐。若运用函数图形的特点，则较为直观清楚。由得。记,.则=1()。表示双曲线的上半支.表示过(0,1)的直线系.从以上两图可以清楚地看出不等式的解。当时,不等式的解集为，当时,不等式的解集为。例23 解关于不等式 分析:按常规的解法,将不等式视为型.需分为:和两类讨论解,即将原不等式等价转化为或即或然后对进行讨论,但是在对进行讨论时,较难找到讨论对象的分界点。若构造图形则具体、直观、简洁,能避免繁冗的计算和讨论.解:设=,则表示位于轴上方的抛物线的一段,其顶点为当抛物线在平移时,其开口大小也在变化,如图.(1)当即时,不等式解集为(,+),(2)当即时,不等式解集为()即,其中是方程的一个实根.与含参数的方程同理，含参数的不等式的图像也是动态变化的，要注意“动中求静”，找出分界情况。当然还需要按参数分情况作图。3.6 特殊的不等式例24 已知是定义在(-3,3)上的奇函数,当时,函数图象如图所示.那么不等式的解集是( ). 解：显然，不能直接求解不等式。利用奇函数关于原点对称的性质可画出在(-3,3)上的图象。同一坐标系中画的图象。找出图象分别在轴上，下部分的对应“数”的区间。答案选。像这类特殊的不等式，往往没有常规解法，不能直接求解，探求捷径是必须的。结合代数知识与函数性质画出图像，作出判断，方便快捷。四.最值问题 最值问题若采用代数方法求解,需要大量的计算,过程冗长,且较难找到切入点,一时之间难以入手.若能深刻挖掘题目的几何背景,利用几何意义将问题巧妙地转化,往往能简化过程,取得良好的解题效果.4.1 转化为直线的截距将所求问题看作直线的截距，即求满足题目条件的直线系何时取得最值。例25 已知,求的最大值和最小值.解:已知等式可化为,它表示以(-3,4)为圆心,2为半径的圆.可看作是直线的截距.当取得最值时,直线恰是圆的切线.从而由距离公式可得:解得5±2.故 umax=5+2, umin=5-2.例26 设且.求的最小值. 解已知等式可化为它表示以点(1 ,1) 为中心,为渐近线的等轴双曲线的右上支.显然,当直线与双曲线相切时, 取得最小值.切点为 (2 ,2).故umin = 4例27 已知满足. 求的最大值与最小值. 解:令=则原问题转化为: 在椭圆上求一点, 使过该点的直线斜率为3, 且在轴上的截距最大或最小. 由图可知,当直线与椭圆相切时, 有最大截距与最小截距.联立方程得 由得 b = ± 13, 故y - 3x 的最大值为13, 最小值为- 13.例28 对任意的有,求的最大值.解:设,则.求的最大值即是求直线族在轴上截距的最大值.由条件画出图象,已知条件表示的是直线上方的一段圆弧.当直线位于位置时截距的最大.求出交点坐标.则直线的截距是6.的最大值是6. 将最值问题转化为直线系的截距，注意找出直线与曲线相切的情况。4.2 转化为直线的斜率例29 求函数的最大值和最小值分析：对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点(-3,-2)与单位圆上的点连线的斜率。解:可以看作是定点(-3,-2)与单位圆上的点连线的斜率。因此,的最值就是直线与单位圆相切时的斜率.设切线方程为 即 .由点到直线的距离公式得 解得: ，。例30 如果实数满足方程，求的最大值。解:不妨设点在圆上，圆心为,半径等于,则所求表示的是点与原点连线的斜率。当与圆相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。,=1.=.将最值问题转化为直线的斜率问题，要注意将原式正确变形，不同的变形，其对应的函数图像也不同。注意找出相切的情况。 4.3 转化为距离将所求问题通过变形、构造等方法巧妙地转化为距离。即求点与点，点与直线距离和与差。结合几何知识，不难求得结果。若是直接采用代数方法求解，计算复杂，往往徒劳而难以求得结果。.例31 求函数 的最小值.解：y表示轴上点到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和，做出A关于轴的对称点（1，-1）。|=| 又两点之间直线段最短|+|=|+| y的最小值为|=例32 已知,且,求的最大值和最小值.分析:本题可通过消元，转化成二次函数求解.但较麻烦，然而转换角度从解析几何的角度来看:表示一条直线而就是直线上点到原点的距离的平方.解:满足,的点集是线段.线段上的点到原点距离的最大值是=1.最小值是.代入距离公式得=. 的最大值是1,最小值是.例33 求函数的最大值.解：在直角坐标系中,设定点A(3,2)与B(0,1)和动点.函数的几何意义是动点到两定点距离之差.点在抛物线上，而=.当且仅当点在延长线上时（即图中位置）上式取等号.联立直线与抛物线的方程解得:的横坐标时, 有最大值例34 已知.求的最小值解:由得.这是焦点为,准线为的抛物线方程.问题转化为在抛物线上求一点使它到两定点(-2,4),(0,2)的距离之和最小.再由抛物线的定义转化为寻找一点使它到定点和准线距离之和最小.即为图中的点时最小距离是=6. 例35 求的最小值.解:表达式使我们联想到距离公式,由于为参数.即要求两动点和所连线段长度的最小值,须求出动点到直线的距离=的最小值, 所求值为.例36 如果实数a,b,c,d满足 求的最值.解:由已知得看作是圆上的点， 看作是圆上的点,是两点,距离的平方.如图过两圆的圆心,做直线交两圆于.则,例37 设lal,b>0，试求的最小值.解:是圆上的点,是等轴双曲线上的点,而解析式表示动点和动点距离的平方.利用图象的对称性可得,直线与两曲线交点间距离最短.因此最小值为. 结合函数图像找出最大或最小距离，利用几何知识加以判断。5 函数问题 函数问题与函数图象密切相关.结合函数的性质画出函数图象，容易理解题意，求解过程简单，结果直观形象。5.1 比较函数值的大小函数解析式形式多样，函数值形式也多样。作出函数图像，在图像上找出与函数值对应的点；作出符合题意的图形及利用三角函数线都是简便快捷的解题方法，且结果直观。例38 比较三个数的大小0.32,20.3.解:这三个数看成三个函数:,在时对应的函数值.在同一坐标系内作出这三个函数的图像, 从图像可以直观地看出当时,对应的三个点的位置, 从而可得出结论: 例39 比较大小arcsin_arccos解:若用代数方法则考虑利用函数单调性去解决,这就存在函数名称同化的问题，这正是该题之难点.若将两式理解为已知函数值对应的锐角，则A= arcsin和B= arccos为图形中两个角.因此易得B>A。 arcsin<arccos.例40 若0<x<比较x、sinx、tgx的大小。解:画出单位圆借助三角函数线及弧长, sinx=,tgx=,x=弧长AB，tgx>x>sinx。例41 定义在上的函数满足当时，=2-|-4|，则 （ ）。 解：由知又时，=2-|-4|，时，时，作出图象，则（-1，0）上是增函数，（0，1）是减函数。又故选例42 设，则与的大小关系是?解：设，则=由三角形两边之和大于第三边，得。即 当时，例43 在这四个函数中，当时，使恒成立的函数有（ ）个。解:(1)的函数图象如图。易得=，=。 即满足不合题意。(2)同理分析的函数图象。此函数满足，符合题意。(3)画出函数的图象。不合题意.(4)画出函数的图象在(0,)内, 函数满足在(，1)内, 函数满足,不合题意.函数的个数只有1个.比较不同名的函数值大小较为困难。若采用代数方法需有较强的公式变形技巧及运算技巧。将函数值在图像上表示出来，不仅能化“不同”为“统一”，而且避免大量的计算。尤其是解选择题的快捷途径。5.2 函数的定义域例44 求函数的定义域.解：要使函数有意义，必须有：即 解法一:在同一坐标系中画出和的图象.找出公共区间.解法二:利用三角函数线.由图可知,函数的定义域为()正确找出图像的公共部分。5.3 函数的值域例45 求函数y=|x+3|-|x+1|的值域。解:就x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，即可得y的范围. 函数的图象如图，由图象即可得y2，2.例46 对任意两实数,定义运算“*”如下：*=.求函数*的值域。解：*=画出函数*图象如图。的值域为（-，0。例47 求函数值域。解：=2可看作与单位圆上的点（）所连线段的斜率的2倍。设过点的直线方程为 ，即 由点到直线的距离公式得：解得：，即函数值域为。例48 求y =在0, 5 上的值域.解: y =的对称轴x= 2 0,5 .观察图象,当=2时,=-3.当=5时,=15.函数的值域是-3,15.例49 函数当时,恒成立,求的取值范围.解: 此题是二次函数问题中典型的“轴变区间定”问题.画出图形,分情况讨论,思路清晰,不易出错.函数的对称轴为.(1) 当,即时,在-2,2上单调递增 当时,有 依题意, 解得, 此时不存在.(2) 当,即时,在-2,-上单调递减,在,2上单调递增. 当时, 依题意, 解得, .(3) 当,即时, 在-2,2上单调递减 当时,有 依题意, 解得, .综上所述,.例50 求函数y =+的值域.解:根据所给函数的结构特征,将函数变形=+它表示x 轴上的点到平面上两点(0,)和(,-)的距离之和. 从而求函数的值域问题就等价于求距离和的最大、最小值问题。如图, 利用平面几何知识, 三角形两边之和大于第三边的性质可得, ym in = |AB| = 5, 而无最大值。函数的值域为5,+).例51 求函数的值域.解:联想到两点间的距离公式,建立直角坐标系,并在轴上取两定点,.()是纵坐标为的任意一点.,由三角形两边之差小于第三边可知=1即即即函数的值域为(-1,1). 中学数学函数的值域求解有近10种方法，其中很多方法都能与数形结合这一思想方法巧妙结合。5.4 函数的单调区间函数图像最为直观形象地反映函数的单调性。例52 设函数.指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上是增函数还是减函数。解：当时，=当时，=即 根据二次函数的作图方法，作出函数图象.单调区间为-3,-1),-1,0),0,1),1,3.由图可知:函数在-3,-1),0,1)上为减函数,在-1,0),1,3上为增函数。例53 求函数=的单调区间和值域。解: =,将看作是动点()到直线的距离.而动点()的轨迹为单位圆的上半部分,由图可知函数=在上是减函数，在-，1上是增函数.函数的值域为,。从函数图像能直接观察出单调区间。本小节的后一例题，巧妙运用数形结合，充分发挥了图像的图形功能。5.5 函数的奇偶性,单调性 根据题意，结合函数的奇偶性质：“偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称。”及增减性质画出图像求解，不仅能提高解题效率，而且有助于全面分析解决问题。例54 已知是定义在( - ,0) (0 ,+ ) 上的偶函数,并且在( - ,0) 上是增函数, 若= 0 ,求0的解集.解:是偶函数,图像关于轴对称,由= 0 ,可知图像过点( - 3 ,0),(3 ,0) . 又函数在( - ,0) 是增函数,则在(0 , + ) 是减函数,可画出符合题意的图形,如图由0 或解集为( - 3 ,0) (3 , + ) . 例55 设定义在一2,2上的偶函数在0,2上单调递减，求实数的取值范围.解:利用偶函数图象关于轴对称，以及偶函数的定义:=，有.画出图象,根据已知条件,得: 解得:-1。利用函数的奇偶性、单调性对画出函数的精确图，粗略图有很大帮助。六.复数问题将复数在平面内表示出来，复数就有了几何表示，与点对应，与向量对应，从而建立了复平面，复数成为几何中的重要部分。复数是对实数的扩充，将三角、几何等知识联系起来，不仅能更好地理解、把握复数问题，为解题带来方便，而且能够优化数学思维，提高分析问题、解决问题和综合运用的能力。6.1 复数的模及复数运算的几何意义 利用复数模及复数加，减，乘，除运算的几何意义是解决复数问题的基本方法，贯穿与中学数学复数问题的始终，应用于各个方面。若是直接假设复数的代数形式或三角形式带入求解，计算复杂。例56 设|=|=1,|+|=,求|-|. 解:|=|=1,|+|=,由勾股定理知此平行四边形是边长为1的正方形,它的两条对角线都是.|-|.=.例57 设复数,z2满足|=|=1,且+ =+i,求,的值.解:|=|=1且+ =+i,|-|=1., +,所对应的向量构成等边三角形。=()= (-+i)+ =+i + (-+i)=+i (+i) =+i=1, =-+i又, 具有对称性另一种情况是=-+i , =1.例58 关于的二次方程,都是复数.设方程两根为,且满足.求的最大值和最小值.解:由韦达定理知,= . 又 得即复数是在以为圆心,7为半径的圆上.原点在圆内.连结延长交圆于点与点则 .例59 非零复数,满足|+|=|-|,求证:一定是负数.证明: 设复数,+分别对应复平面上的点,则四边形是平行四边形 |+|=|-|得|=|. 平行四边形是矩形 ,即有 一定是负数.复数的加减乘除运算都有几何意义，模也有几何意义。数形结合在复数中的应用与实数类似。6.2 辐角主值辐角主值是复数的重要概念，对于理解复数的几何意义和进行运算都起着重要的作用。复数没有大小，但复数的模与辐角主值有大小，所以复数的模与辐角主值常与最值问题相结合。例60 设a rg (z + 2) =, arg (z - 2) =求复数z.解:利用复数的几何意义,可作出图.可表示为,可表示,可表示为.AOB =且点是的中点|=|=|=2.即|= 2.=/轴COB= B =-=-= =-1+.例61 设复数,求复数的辐角主值的最大值和最小值.解:复数表示以为圆心,1为半径的圆(包括圆周).复数表示以(对应于-2)为圆心,1为半径的圆(包括圆周).过作圆切线.为切点。在和中,=2=2则辐角主值的最大值210,最小值150.例62 已知复数满足= ,求的最大值。解：要求的最大值，即求的最小值,由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。满足=复数对应的复平面上的点的轨迹是以(0,-1)为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为=,故的最大值是=。例63 设复数满足. (1) 求|的取值范围; (2) 求取得最值时的复数.解:表示复数所对应的点Z在圆心为原点,半径为15的圆上(包括边界) .(1) | z - 25 i | 表示圆上的点Z到点的距离,由图可知|= 25 + 15 = 40 ,|= 25 - 15 = 10 ,10| z - 25 i |40.(2) 过作圆的切线,设切点为, ,则,分别为 取最大值,最小值时对应的复数. 设=, 由图可知,.由平面几何知识可知:,于是可得=15 () =.由对称性知z2 =在复平面内画出函数图像，分析求解方法与其在实数范围内类似。7 总结 由此可见,数形结合是一种重要的思想方法,在中学数学中有广泛的应用. 在学习过程中,注意这一思想的渗透,方法的应用,不仅能开辟解题新捷径,还能培养创新意识,提高综合运用的能力.通过写毕业论文,我突破了自已很多方面。现在知道利用各种办法去搜集,整理资料,把以前所学的知识和掌握的方法应用到了论文中。衷心感谢老师耐心细致的指导，正是老师耐心细致的指导才有了这篇论文的产生。参考文献：1罗仲华.高考总复习金版专辑(1)数学M.北京:北京教育出版社,2005.35-39.2李许令.数形结合思想在解题中的应用J.中学数学月刊,2005,(9)：19-21.3周友良，邓升平.数形结合思想在解题中的应用J .中学数学月刊，2005，（9）：46-47.4杜英丽.走向高考数学（B本理科）M.北京:人民日报出版社，2006.201-205.5李志春.百汇大课堂数学（理科）M.吉林:延边人民出版社,2006.78.6任志鸿.高中总复习优化设计M.北京:西苑出版社,2007.52-55.7李盘喜.高中数学解题题典M.吉林:东北师范大学出版社.2007.221-223.8曹翠玲.谈数形结合思想的培养J .湖北三峡学院学报,1998,（1）:29-31.9周平.用数形结合解题举例J .数学教学,2005,（7-8）:88.10吴国秀.数形结合在解题中的巧妙应用J .中学理科,2001,（7）：17-18.11(美)Jacqueline G. brooks. The construction principle classroom instruction case elementary education reform and develops translates the clump of educational model and the method series M. Beijing: Light industry publishing house. 2005.28-3112贾鸿玉.高考捷径测试评估大考卷数学M.北京:中国致公出版社，2007.121-122. 27