高三数学一轮复习知识点学案--集合.docx

一轮复习学案第1课时知识点 集合【考纲解读】1. 集合、子集、补集、交集、并集的概念的理解； 2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单集合。【教学目标】理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、 相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单集合。【重、难点】集合的基本关系和基本运算【 考 点 】集合、子集、补集、交集、并集【知识回顾】一：集合知识点1集合与元素(1)集合中元素的特性： 、 、 (2)集合与元素的关系 属于集合A，用符号语言记作 . 不属于集合A，用符合语言记作 .(3)常见集合的符号表示数集自然数集非负整数集正整数集整数集有理数集实数集符号(4)集合的表示方法： 、 、 .2、集合间的基本关系 表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一个元素均为B中的元素真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何 的真子集3、集合的基本运算并集交集补集符号语言若全集为，则集合的补集为_图形语言自然语言二：集合中有关性质1. 主要性质和运算律（1） 包含关系：（2） 等价关系：（3） 集合的运算律：交换律： 结合律: 分配律:.0-1律：等幂律：求补律：ACUA= ACUA=U CUU= CU=U 反演律：CU(AB)= (CUA)(CUB) CU(AB)= (CUA)(CUB)三：方法总结1：集合的概念（1） 解题时要注意集合中元素的三个性质的应用，特别是无序性和互异性。（2） 解题时要注意空集的特殊地位，讨论时防止遗漏。（3） 元素与集合间的从属关系，集合与集合之间的包含关系。（4） 可以用图示显示集合与集合之间的关系，用数轴上的点表示数集，解题时要注意数形结合的思想的应用。（5） 解题时要注意子集、全集、补集等概念的实质。2：集合的运算（1） 两个集合的交、并、补得运算分别与逻辑连接词的对应，但不能等同和混淆。（2） 数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用韦恩图直观显示;对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合的运算。（3） 五个关系式.第1课时学案 集合类型一：集合的基本概念例一：下列各组中各个集合的意义是否相同，为什么？（1）（2）（3）与有实根变式1：已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_变式2：设集合A1,1,3，Ba2，a22，AB3，则实数a的值为_变式3：现有三个实数的集合，既可以表示为，也可以表示为，则 。类型二：集合间的基本关系例二：例3.已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围。变式1：已知函数，集合，则 （ ）A: B: C: D: 变式2：设(1) 若，试判断集合A与B的关系；(2) 若，求实数a组成的集合C.类型三：集合的基本运算例三：（1）集合，则 (2) 若集合Ax|12x13，B，则AB()Ax|1x<0 Bx|0<x1 Cx|0x2 Dx|0x1(3)设集合，则 _变式：若集合（1）若，全集，试求;（2）若，求实数m的取值范围；第2课时知识点 命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲解读】1.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义； 2.理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件的意义。【教学目标】理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件的意义。【重、难点】充要条件的判定、命题真假的判断【 考 点 】充要条件的判定、命题真假的判断【知识回顾】一：知识点总结：1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 叫做命题，其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 (3)命题的否定和否命题的区别 . 3.充分条件、必要条件与充要条件(1)“若，则”为真命题，记，则是的 ，是的 (2)如果既有，又有，记作：，则是的充要条件，也是 的 二：课前练习1：下列是真命题的为（ ）A:若，则 B: 若，则 C:若，则 D: 若，则2：命题若，则的否命题是（ ）A:若，则 B: 若，则C: 若，则 D: 若，则3：是成立的（ ）A:充分非必要条件 B:必要非充分条件 C:非充分非必要条件 D:充分必要条件4：命题“若，则方程有实数根”的逆命题是 。5：是不共线的单位向量，若，则的充要条件是 。三：方法总结1：对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不正确的命题要举出反例；2：在判断命题正误的过程中，要注意简单命题与复合命题的真假关系，四种命题间的真假关系；3：在充分，必要，充要条件的判断过程中，可利用数形结合思想方法；在证明充要条件时，要弄清充分性与必要性；4：特殊情况下，如果命题以的形式出现，则有：（1） 若，则p是q的充分条件；（2） 若，则p是q的必要条件；（3） 若A=B，则p是q的充要条件。第2课时学案 命题及其关系、充分条件和必要条件题型一 四种命题及其关系 在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应的有了逆命题，否命题和逆否命题。例1、下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，同时分别指出它们的真假（1）若，则方程有实根；（2）若，则；（3）面积相等的两个三角形是全等三角形；（4）若，则实数全为零。题型二 充分条件与必要条件的判定 充分条件、必要条件、充要条件的判断（1） 定义法分清条件和结论；找推式：判断“及”的真假；下结论（2）条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断。例2、指出下列命题中，p是q的什么条件（1）；（2），；（3）p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形；（4）在中，变式：（1）若向量，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)设是等比数列， 则“”是“数列是递增数列”的 ()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件题型三 充分条件与必要条件的应用解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解。例3、已知，(1)是否存在实数，使是的充要条件，若存在，求出的范围；(2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围变式1：知是的充分不必要条件，求实数a的取值范围。变式2：已设命题；命题，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围。第3课时知识点 简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词【考纲解读】1.理解简单的逻辑联结词，及其命题的真假； 2.理解全称量词与存在量词的意义，并能正确对含有一个量词的命题进行否定【教学目标】理解简单的逻辑联结词，及其命题的真假；理解全称量词与存在量词的意义，并能正确对含有一个量词的命题进行否定【重、难点】全称命题、特称命题的否定、真假判断以及逻辑联结词【 考 点 】全称命题、特称命题的否定、真假判断以及逻辑联结词【知识回顾】一：知识点总结1命题，的真假判断真真真假假真假假2全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示 存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示(2)含有 的命题，叫做全称命题；“对中任意一个，有成立”可用符号简记为： (3)含有 的命题，叫做特称命题；“存在中的元素，使成立”可用符号简记为： 3、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定二：课前练习1：下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ）A:所有菱形的四条边都相等B:若2x为偶数，则C:若对，则D:是无理数 2：下列命题是假命题的是（ ）A: B: C: D:3：若“p且q”与“或”均为假命题，则（ ）A:p真q假 B:p假q真 C:p与q均真 D: p与q均假4：命题“存在，使得”的否定是 。5：命题“任意，存在”是 命题。（真or假）三：方法总结1：逻辑连接词与集合间的关系逻辑连接词与集合的交集，并集，补集有着密切的关系，要注意类比。2：一些常用的正面叙述的词语及它的否定词语如下：正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定词语不等于不大于不小于不是不都是至少有两个正面词语至少有一个任意的所有一定否定词语一个也没有某个某些不一定特别的“且”的否定词为“或”; “或”的否定词为“是”四：章末总结本章知识多以选择题考查，23道选择题；1.一般集合运算借助数轴、韦恩图图解决，多考查集合中代表元素的特性，空集在集合运算中的作用；2.充分条件、必要条件常与其他章节知识综合考查；3.四种命题的判断常与其他章节知识综合考查，注意“命题的否定”与“命题的否命题”的区别：命题的否定只否定命题的结论，命题的否命题是条件和结论都否定。第3课时学案 简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1、分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断其真假(1) ：3是9的约数，：3是18的约数；(2) ：菱形的对角线一定相等，：菱形的对角线互相垂直；(3) ：是有理数，：是无理数变式：已知命题：函数在上为增函数，：函数在上为减函数，则在命 题中真命题的是（ ） A、， B、， C、， D，题型二 判断全(特)称命题的真假例2、试判断以下命题的真假 (1) (2) ，是无理数 (3) (4) 题型三 全(特)称命题的否定例3、写出下列命题的否定并判断其真假：(1) ：不论取何实数，方程必有实数根；(2) ：有的三角形的三条边相等；(3) ：菱形的对角线互相垂直；(4) ：题型四 利用命题的真假求参数的取值范围例4、命题：关于的不等式，对一切恒成立，：函数是增函数，若或为真，且为假，求实数的取值范围变式：已知命题：，命题：，若命题是真命题，求实数的取值范围。第4课时知识点 映射、函数的概念及函数的定义域【考纲解读】1.了解映射的概念，掌握函数的概念、同一函数、函数解析式；2.会函数定义域的常见求法。【教学目的】使学生了解映射的概念，掌握函数的概念、同一函数、函数解析式及函数定义域的常见求法。【重、难点】映射、函数的概念，函数定义域的常见求法。【考点】映射的概念，掌握函数的概念、同一函数、函数解析式及函数定义域的常见求法。【知识回顾】1.映射 (1)映射的概念：设A、B 是两个集合，如果按照某种对应发则，对于集合A中的_，在集合B中_，这样的_叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB。(2)象和原象，给定一个集合A到B的映射，且，如果元素和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素的_,元素叫做元素b的_.2.函数 （1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个_的值，按照某个对应发则,都有_的值和它对应，那么就是的函数，记为（2）近代定义：函数是由一个_到另一个_的映射。（3）函数的三要素 函数是由_、_以及_三部分组成的特殊的映射。（4）函数的表示法 _、_、_（5）常见求解析式的方法有： 、 、 。（6）函数的定义域是指_。（7）根据函数解析式求定义域的依据有_（8）已知的定义域是a,b,求的定义域，是指满足_;已知的定义域是a,b，指的是_.求的定义域,是指的条件下，求 的值域。（9）实际问题或是几何问题给出的函数的定义域:_。（10）如果函数是由几个部分的数学式子组成的，那么函数的定义域是_。（11）求定义域的一般步骤：_第4课时学案 映射、函数的概念及函数的定义域题型一 函数的概念例1判断下列函数是否是同一函数？ （1）； （2）；123（3）；（4）；如图所示变式.（1）下列四个命题正确的是 函数是其定义域到值域的映射； f(x)是函数；函数y2x(xN)的图象是一条直线； f(x)与g(x)x是同一个函数（2）下列图像，表示y是x的函数图象的是_题型二 函数的定义域例2.求下列函数的定义域（1）函数的定义域是 .（2）函数f(x)的定义域是 变式.下列函数中，与函数定义域相同的函数为()A B C D 题型三 求函数值和解析式例3（1）已知,则= （2）已知,则 .（3）设是二次函数，方程有两个相等的实根，且，则的解析式为_（4）已知，则 变式：下列函数中，不满足的是()A B C D题型四 分段函数及其应用例4（1）已知函数，则 （2）设函数 ，则满足的值为 变式. 设函数 ， 则_. 第5课时知识点 函数的单调性【考纲解读】1.了解函数单调性的概念；2.掌握判断一些简单函数单调性的方法，并能利用函数的单调性解决一些问题；3.理解函数最值的定义，会求某些函数的最值。【教学目标】了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法，并能利用函数的单调性解决一些问题；理解函数最值的定义，会求某些函数的最值。【重、难点】函数单调性的判定，函数的单调性与函数最值的综合问题。【 考 点 】函数单调性的概念 判定【知识回顾】1. 单调性的定义（“定义域优先”原则）（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I.对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。（2）单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间2.复合函数的单调性： 同增异减求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤： (1)确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”3.分段函数的单调性：若在定义域上单增，前段函数的最大值应小于后段函数的最小值。4.判断函数单调性的方法定义法 导数法 利用基本初等函数的单调性利用复合函数的单调性 图像法5.求函数的单调区间的方法：(1)利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间第5课时学案 函数的单调性题型一 函数单调性的判断例1. 讨论函数在上的单调性变式: 证明函数在上是增函数题型二 求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间 变式：给定函数；其中在区间上单调递减的函数序号是_题型三 单调性的应用例3.（1）函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，则有（）ABC D（2）已知是上的减函数，则的取值范围是A、 B、 C、D、（3）已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.变式：（1）已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围.（2）若函数的单调递增区间是，则= 例4.已知函数 (且为自然对数的底数)（1）判断函数的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数，使不等式对一切都成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 第6课时知识点 函数的奇偶性、周期性【考纲解读】1.理解函数奇偶性的概念，并会判断一些简单函数的奇偶性；2.了解周期函数的概念，最小正周期的概念，会利用一些简单关系式求函数的周期。【教学目标】了解函数奇偶性的概念，并会判断一些简单函数的奇偶性；了解周期函数的概念，最小正周期的概念，会利用一些简单关系式求函数的周期。【重、难点】灵活利用奇偶性、周期函数的概念解决一些简单函数的奇偶性、周期性问题。【 考 点 】函数的奇偶性.函数的周期性.【知识回顾】：一、函数的奇偶性：1.函数的奇偶性(1)偶函数：如果对于函数的定义域内_都有_，那么函数是偶函数，偶函数的图像关于_对称；(2)奇函数：如果对于函数的定义域内_都有_，那么函数是奇函数,奇函数的图像关于_对称。【注意】（1）奇、偶函数的定义域必定关于_对称；（2）若函数的定义域不关于原点对称，则函数 。2.利用定义证明函数奇偶性的一般步骤：（学生自行依据定义总结归纳） （1） （2） （3） 3.证明（判断）函数奇偶性的常用方法： (1)定义法； （2）图像法（仅限于判断）。4.奇、偶函数的常用性质（1）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；反之亦然。（2）若奇函数在处有定义，则必有_；（3）若为偶函数，则= = ；（4）奇函数在关于原点对称的区间上有_单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有_单调性；（5）在公共的定义域内，奇+奇=_,奇×奇=_，偶+偶=_，偶×偶=_，奇×偶=_（6）任意一个函数必定可写成一个奇函数和一个偶函数的和，其中=_ _,=_ _。二、函数的周期性；1.周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。如：函数 的最小正周期为。【注意】（1）周期函数的周期 ，不一定有 ；如： 。 （2）周期函数的定义域至少有一方是 。如： 。2.函数周期性的常见结论：（1）若函数满足，由周期函数的定义可知 是函数的一个周期；（2）若则 ，所以 是函数的一个周期； 若 则 ，所以 是函数的一个周期； 若则 ，所以 是函数的一个周期。第6课时学案 函数的奇偶性、周期性题型一 函数奇偶性的判断 例1.判断下列函数的奇偶性。（1） （2）（3） (4)（5） （6）变式：（1）下列命题中，正确命题的个数是 函数既是奇函数又是偶函数；函数是奇函数；是偶函数题型二 奇偶性的应用例2.（1）若是定义在上的奇函数。当时，求函数的解析式。（2）若奇函数的定义域是，则等于 变式：设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是 题型三 函数周期性例3设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有当时， (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式 例4. 已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则( ). A. B. C. D. 变式：设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，则的值为() 第7课时知识点 函数的图像【考纲解读】1.掌握绘制函数图象的原理、函数图象变换的一般规律；2.能利用函数图象研究函数的性质，解决一些实际问题。【教学目标】巩固掌握绘制函数图象的原理、函数图象变换的一般规律，能利用函数图象研究函数的性质，解决一些实际问题。【重、难点】会画常见函数的图象，并运用函数图象理解和研究函数的性质，灵活解题。【 考 点 】函数的图象【知识回顾】一、描绘函数的图象有两条基本途径：1、 描点法：其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的 ；化简函数 ；讨论函数的性质（ 、 、 、 ）；其次：列表（尤其注意特殊点，零点，最大值最小值，与坐标轴的交点），再描点，连线。2、 图象变换法： （1）平移变换：水平平移：的图象，可由的图象向 （+）或向 （）平移 个单位而得到。 竖直平移：的图象，可由的图象向 （+）或向 （）平移 个单位而得到。（2） 对称变换：与的图象关于 对称。与的图象关于 对称。与的图象关于 对称。与的图象关于直线对称的函数的解析式是 。与的图象关于直线对称的函数的解析式是 。与的图象关于点对称的函数的解析式是 。与的图象关于点对称的函数的解析式是 。若函数的图象自身关于直线对称，则函数满足 。若函数的图象自身关于点对称，则函数满足 。的图象可将的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴_，其余部分不变。 （3） 伸缩变换 （仅限于三角函数） 函数的图象，可将图象上所有点的纵坐标变为_，_不变而得到。函数的图象，可将图象上所有点的横坐标变为_倍，_不变而得到。二.识图 对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的_、_、_、_、_，注意图象与函数解析式中参数的关系。三.用图 函数图象形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探究解题途径，获得问题结果的重要工具。常用函数图象研究函数性质、不等式问题，方程解的个数等，要重视_解题的思想方法。四.了解有关结论（1）函数与函数的图象关于直线对称。（2）若定义在R上的函数关于直线x=a和x=b(b>a)都对称，则是周期函数，_是它的一个周期（未必是最小正周期，下同）。 （3）若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c) (b>a)成中心对称，则是周期函数，_是它的一个周期。 （4）若定义在R上的函数的图象关于点(a,c)成中心对称，又关于直线x=b(b>a)成轴对称，则是周期函数，_是它的一个周期。第7课时学案 函数的图像题型一 画函数图象例1作出下列函数的图象： （1） （2） （3） （4） （5）变式：将函数的图象通过怎样适当的变换得出下列函数的图象： （1） （2） （3） （4） （5）题型二 识别函数图象11-1yxy11-1xy11-1x11-1yx例2函数的图象大致为 ( ) A. B. C. D.-1211yxO11yxO变式：已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为 A-1211yxO211yxO-1211yxOB C D题型三 函数图象的应用例3.对实数和，定义运算“”, .设函数，.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 变式.（1）使成立的的取值范围是 （2）若方程有四个根，求的取值范围。第8课时知识点 函数的值域 最值【考纲解读】掌握常见求函数值域、最值的方法【教学目标】掌握常见求函数值域、最值的方法（直接法、配方法、反解法、分离常数法、不等式法、换元法、数形结合法、单调性法、导数法等）【重、难点】灵活利用常见求函数值域、最值的方法（“定义域优先”原则）解决实际问题。【 考 点 】掌握常见求函数值域、最值的方法（直接法、配方法、反解法、分离常数法、不等式法、换元法、数形结合法、单调性法、导数法等）【知识回顾】：1.函数值域的定义： 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做_,函数值的集合叫做函数的_.2.确定函数的值域的原则：（1）当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指_中实数y的集合。（2）当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指_.（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3.基本初等函数的值域（1）