2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）及答案.docx

2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=（x，y）|y=f（x），B=（x，y）|x=1，则AB中元素的个数为（）A必有1个B1个或2个C至多1个D可能2个以上2（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）ABCD3（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A1B1C6D64（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A=0.7x2.3B=0.7x+10.3C=10.3x+0.7D=10.3x0.75（5分）设f（x）=asin（x+）+bcos（x+），其中a，b，都是非零实数，若f（2017）=1，那么 f（2018）=（）A1B2C0D16（5分）若0m1，则（）Alogm（1+m）logm（1m）Blogm（1+m）0C1m（1+m）2D7（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）AB4C3D8（5分）函数f（x）=x3+x2ax4在区间（1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A（1，5）B1，5）C（1，5D（，1）（5，+）9（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合若，则x+y=（）ABCD10（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）AB48C24D1611（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PAPB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12（5分）已知函数f（x）=1（xe，e=2.71828是自然对数的底数）若f（m）=2lnf（n），则f（mn）的取值范围为（）A，1）B，1）C，1）D，1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）的展开式中有理项系数之和为 14（5分）函数y=的单调递增区间是 15（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（mR）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 16（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对xR，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，若函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）若数列的前n项和为Tn，求Tn18（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）19（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点（1）证明：MN平面BCE；（2）求锐二面角MABE的余弦值20（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AHMN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点21（12分）已知aR，函数f（x）=ln（x+1）x2+ax+2（1）若函数f（x）在1，+）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=1，bR，已知函数g（x）=b+2bxx2若对任意x1（1，+），总存在x21，+），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|23已知函数f（x）=|x+1|（1）求不等式f（x）|2x+1|1的解集M；（2）设a，bM，证明：f（ab）f（a）f（b）2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=（x，y）|y=f（x），B=（x，y）|x=1，则AB中元素的个数为（）A必有1个B1个或2个C至多1个D可能2个以上【解答】解：集合A=（x，y）|y=f（x），B=（x，y）|x=1，则AB=（x，y）|y=f（x），且x=1，当x=1时，f（1）的值存在，AB=（1，f（1），有一个元素；当x=1时，f（1）的值不存在，AB=，没有元素；AB中元素的个数至多一个故选：C2（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（）ABCD【解答】解：由，得=，z=，复数z的虚部是故选：C3（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（）A1B1C6D6【解答】解：向量是互相垂直的单位向量，且，则=0+5=1+5×（1）=6故选：D4（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A=0.7x2.3B=0.7x+10.3C=10.3x+0.7D=10.3x0.7【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=0.7×+10.34，即回归直线=0.7x+10.3过样本中心点（，）故选：B5（5分）设f（x）=asin（x+）+bcos（x+），其中a，b，都是非零实数，若f（2017）=1，那么 f（2018）=（）A1B2C0D1【解答】解：f（x）=asin（x+）+bcos（x+），其中a，b，都是非零实数，若f（2017）=asin（2017+）+bcos（2017+）=asinbcos=1，则asin+bcos=1，那么 f（2018）=asin（2018+）+bcos（2018+）=asin+bcos=1，故选：A6（5分）若0m1，则（）Alogm（1+m）logm（1m）Blogm（1+m）0C1m（1+m）2D【解答】解：0m1，函数y=logmx是（0，+）上的减函数，又1+m1m0，logm（1+m）logm（1m）；A不正确；0m1，1+m1，logm（1+m）0；B不正确；0m1，01m1，1+m1，1m（1+m）2；C不正确；0m1，01m1，函数y=（1m）x是定义域R上的减函数，又，；D正确；故选：D7（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）AB4C3D【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，正方体的棱长为2，FH=，DE=，梯形的高为该截面的面积为S=故选：A8（5分）函数f（x）=x3+x2ax4在区间（1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A（1，5）B1，5）C（1，5D（，1）（5，+）【解答】解：由题意，f（x）=3x2+2xa，则f（1）f（1）0，即（1a）（5a）0，解得1a5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2x4在区间（1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x25x4在区间（1，1）没有一个极值点，故选：B9（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合若，则x+y=（）ABCD【解答】.解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，BCD中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB22DCCBcos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2ADC=90°，DB2=x2+y2，x2+y2=7+2如图，作，则 CC=x1，CB=y，RtCCB中，由勾股定理得 BC2=CC'2+CB2，即 6=（x1）2+y2，由可得 x=1+，y=那么：x+y=1+2故选：B10（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）AB48C24D16【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，ABC是正三角形，所以AE=AO=所求球的体积为：=32故选A11（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PAPB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为kPA=，kPB=由点斜式得PA，PB的方程分别为：y=（xx2），联立解得P，因为P在l上，所以=1，所以kPAkPB=1，所以PAPB反之也成立所以“点P在l上”是“PAPB”的充要条件故选：C12（5分）已知函数f（x）=1（xe，e=2.71828是自然对数的底数）若f（m）=2lnf（n），则f（mn）的取值范围为（）A，1）B，1）C，1）D，1【解答】解：由f（m）=2lnf（n）得 f（m）+f（n）=1，f（mn）=1=1，又lnn+lnm+2=（lnn+1）+（lnm+1）（）=4+4+4=8，lnn+lnm6，f（mn）=1，且m、ne，lnn+lnm0，f（mn）=11，f（mn）1，故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）的展开式中有理项系数之和为32【解答】解：由，得通项，当r=0、2、4、6时，Tr+1为有理项，此时有理项系数之和为=故答案为：3214（5分）函数y=的单调递增区间是0，【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kx+2k+可得2kx2k+，kZ，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为，由x0，可得x0，故答案为：0，15（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（mR）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4【解答】解：由题 O1（0，0）与O2：（m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得|m|再根据题意可得O1AAO2，m2=5+20=25，m=±5，利用，解得：AB=4故答案为：416（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对xR，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，若函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）【解答】解：f（x+2）=f（x）f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=1可得f（1+2）=f（1）f（1），又f（1）=f（1），f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），f（x）是最小正周期为2的偶函数当x2，3时，f（x）=2x2+12x18=2（x3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点f（x）0，g（x）0，可得0a1，要使函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则有g（2）f（2），可得 loga（2+1）f（2）=2，即loga32，3，解得a，又0a1，0a，故答案为：（0，）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）若数列的前n项和为Tn，求Tn【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a12，解得a1=2当n2时，Sn1=2an12，所以an=SnSn1=2an2（2an12），即=2，所以数列an是以首项为2，公比为2的等比数列，故an=2n（nN*）（2）=（n+1）（）n，则Tn=2（）+3（）2+4（）3+（n+1）（）n，Tn=2（）2+3（）3+4（）4+（n+1）（）n+1，上面两式相减，可得Tn=1+（）2+（）3+（）4+（）n（n+1）（）n+1，=1+（n+1）（）n+1，化简可得Tn=3（n+3）（）n18（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5，15内的0.2；则XB（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=19（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点（1）证明：MN平面BCE；（2）求锐二面角MABE的余弦值【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP由题意可得MPADBC，因为MP平面BCE，BC平面BCE，所以MP平面BCE，同理可证NP平面BCE因为MPNP=P，所以平面MNP平面BCE，又MN平面MNP，所以MN平面BCE（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系令AB=2，则所以设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角MABE的余弦值为20（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AHMN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点【解答】解：（1）设P（x0，y0），又 A（2，0），F（1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且2x02，所以=，函数在2，2单调递增，当x0=2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12所以的取值范围是0，12（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0由=（8km）24×（3+4k2）（4m212）0得4k2+3m2设M（x1，y1），N（x2，y2），则=0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k216km+7m2=0，所以或均适合当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点21（12分）已知aR，函数f（x）=ln（x+1）x2+ax+2（1）若函数f（x）在1，+）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=1，bR，已知函数g（x）=b+2bxx2若对任意x1（1，+），总存在x21，+），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）在1，+）上为减函数f（x）=2x+a0在1，+）上恒成立a2x在1，+）上恒成立，令h（x）=2x，由h（x）0（或利用增函数减减函数）h（x）在1，+）上为增函数h（x）min=h（1）=，所以a；（2）若对任意x11，+），总存在x21，+），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（1，+）上的值域是函数g（x）在1，+）上的值域的子集对于函数f（x），因为a=1，所以f（x）=ln（x+1）x2x+2，定义域（1，+）f（x）=2x1=令f（x）=0得x1=0x2=（舍去）当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2所以f（x）的值域为（，2）对于函数g（x）=x2+2bx+b=（xb）2+b+b2当b1时，g（x）的最大值为g（1）=1bg（x）值域为（，1b由1b2b3；当b1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+bg（x）值域为（，b2+b由b2+b2b1或b2（舍去），综上所述，b的取值范围是（，31+）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|【解答】解：（1）由消去参数，得即C的普通方程为由，得sincos将代入得y=x+2所以直线l的斜率角为（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2则，所以t10，t20所以23已知函数f（x）=|x+1|（1）求不等式f（x）|2x+1|1的解集M；（2）设a，bM，证明：f（ab）f（a）f（b）【解答】（1）解：当x1时，原不等式化为x12x2解得：x1；当时，原不等式化为x+12x2解得：x1，此时不等式无解；当时，原不等式化为x+12x，解得：x1综上，M=x|x1或x1；（2）证明：设a，bM，|a+1|0，|b|10，则 f（ab）=|ab+1|，f（a）f（b）=|a+1|b+1|f（ab）f（a）f（b）=f（ab）+f（b）f（a）=|ab+1|+|1b|a+1|=|ab+1|+|b1|a+1|ab+1+b1|a+1|=|b（a+1）|a+1|=|b|a+1|a+1|=|a+1|（|b|1|）0，故f（ab）f（a）f（b）成立第27页（共27页）