《材料力学》附录I截面的几何性质习题解.doc

专业整理 附录I 截面的几何性质 习题解习题I-1 试求图示各截面的阴影线面积对轴的静积。（a）解：（b）解：（c）解：（d）解：习题I-2 试积分方法求图示半圆形截面对轴的静矩，并确定其形心的坐标。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的静矩为：半圆对轴的静矩为：因为，所以 习题I-3 试确定图示各图形的形心位置。（a）解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc离顶边上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.6 46.4 Ai=Li*BiYc=AiYci/Ai(b)解：习题I-3(b): 求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左901090055495005450025005750023 13250053Ai=Li*BiYc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai(c)解：习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置型钢号Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽钢2032.83710328.37-1.95-64.03等边角钢80*1015.1262.3535.5462.3535.54647.963363.927.6 -28.49-0.6 Yc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai习题I-4 试求图示四分之一圆形截面对于轴和轴的惯性矩、和惯性积。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的惯性矩为：四分之一圆对轴的惯性矩为： 由圆的对称性可知，四分之一圆对轴的惯性矩为：微分面积对轴、轴的惯性积为：习题I-5 图示直径为的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴的惯性矩。解：圆的方程为：如图，作两条平行轴的、相距为线段，截圆构成微分面积，微分面积为：切去之后，剩下部分对轴的惯性矩为： 习题I-6 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为，竖坐标轴为）。=故正方形对其的对角线的惯性矩为：。习题I-7 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴的惯性矩。 (a)解：(b)习题I-8 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴 的惯性矩              所以              再次应用平行轴定理，得              习题I-9 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边平行，相距1 m。 解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是 ，用平行轴定理得截面对形心轴 的惯性矩                  再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩                                   习题I-10 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是              上面一个圆的圆心到 轴的距离是。    利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：习题I-11 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 （b）等边角钢 的截面积是 ，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：习题I-11（b）图图形bhIxcaAIx中间矩形1060018000000006000180000000 上矩形2501020833 3052500232583333 下矩形2501020833 3052500232583333 左上L形1795100271.61926143869495 右上L形1795100271.61926143869495 左下L形1795100271.61926143869495 右下L形1795100271.61926143869495 1220644645 习题I-12 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩 计算如下：       习题I-12 试求图示各截面对其形心轴的惯性矩。 习题I-13(a)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形10001001000006506500000022583333333 5145833333下矩形300600180000300540000001255400000000 8212500000全图28000011900000042513358333333习题I-13( b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上图(3)2515037502751031250148 7031250 89601489 中图(2)2001503000012537500002 56250000 56328044 下图(1)10050500025125000102 1041667 52667577 全图387504906250127 198597110 习题I-13(c)图形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形214011502461000 5751415075000 271222708333 159 333213698275 半圆790-980333 335-328692667 42750202791 399 198820222116 全图1480667 1086382333 734 134393476159 半圆：半圆：习题I-13(d)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)从下往上220163520828160 374 75093 492438613 1801425202357960 359 41160 324821280 16674107843673957728 0 408242699 408242699 2201430807112189880 329 50307 333432587 44594005722.52893613 341 27034 464367735 239099127341 382 2023302914 习题I-14 在直径圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩和。解：先求形心主轴 的位置 截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：    （y轴向下为正）  （组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）               （组合图形对形心轴x的惯性矩）习题I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42-8.00 1-82.667 1.1893 14.0 圆450.27 00201.062 -0.1893 202.9 42.27 -8-0.1893 188.9        习题I-15 正方形截面中开了一个直径为的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。解：习题I-15图形bi hirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形20020040000100 4000000 133333333 2 133546801 半圆50-3927 79 -309365 685977 24 2860346 全图36073 3690635 102 130686455 形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：。对竖直形心轴的惯性矩： 习题I-15图形arIy（mm4）正方形200133333333.3半圆502454367 全图130878966 习题I-16 图示由两个号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴 、 的惯性矩是 ， ；横截面积为 ；槽钢背到其形心轴 的距离是 。    根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是              ； 若           即    等式两边同除以2，然后代入数据，得              于是       所以，两槽钢相距              习题I-17 试求图示截面的惯性积解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为，则由平行移轴公式得：故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 习题I-17 图形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重复加的矩形10102500全图上图+下图-重复图=497500习题I-18 图示截面由两个的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩和最小惯性矩。解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为轴正向；过C点，垂直于轴的直线为轴向上为正。把坐标绕C点逆时针转后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴。主惯性矩，查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下： ，角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）习题I-19 试求图示正方形截面的惯性积和惯性矩，并作出比较。解： （为形心主惯性轴）结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。习题I-20 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。（a）解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。 IxIyIxy575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187 575146666.5183146666.6-259200000Iy0=54184146 (b)解：以20号槽钢（图I）的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下：习题I-20(b) 长度单位:cm图形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI32.81.951064328.3II10.2-1.416-15163.8全图43.149.4492.11.1511.4习题I-20（b）图形AiIxci'Iyci'IxciIyciIxciyci'Ixciycitan2a0a0Ix0Iy0I32.8-1.430.8041913.7143.619811650-37.635II10.24.573-2.58101.316.6315.584.60-120.66全图43.122962490-158.290.15474.42308.2237.2 习题21 试用近似法求习题I-4所示截面的，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径。解：圆的方程为：把y轴的半径10等分，即。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y坐标与x坐标如下表所示。习题I-21599.87510249691598.8715102224542596.8225106051543593.67351011475184589.30451018083835583.52551025263736575.99651032107227566.14751037205888552.68851038060059531.2295102818055近似解19890221精确解19634938误差(%)1.30习题I-22 试证明：直角边长度为的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）解: 令得:.19: :。特为惯其称的有标直相对并轴行性用证简：为值惯轴对角行对角腰度边明 % 确 0似 0 0 -示表标与 中 个上往。轴，分即分径的为方的径半该已较值的该的截-题似试 题. . . .全 . . . 0 . 图 . .全. . . . 图 位度 0-下算心截组。号槽。系，轴左轴缘）图号 0000. . 000 . . 合重主心直与主的面 矩惯心，位惯心面图确-变不性、，之心轴垂互心方正零积的们矩惯它轴互的形论轴惯形解较出作惯性的形示试 计略可示，虚用离距间惯面轴性，下数钢边号：表矩惯轴性的截也称两的是的针时点坐为向直于，过向为，平过心同共位心的，图矩性和性的该试合线图缀角的由截 0 =图图全0 矩的00 0形0000 矩 图 - ：为惯坐成边边面形得公，为惯心高宽形性惯截图     相槽两      ，据代，同边     ；    别矩惯，对合，平 性惯 是 形背；为横 矩的、形的对钢 少为距槽，相惯轴对面，合的槽两图 - 全 半. 0方 图 矩性心竖：性轴水。 （： 全 半 000000方 图 -解矩惯心竖心形对置形面定所图形的直了截方    . - . . 0 -00矩 ( -矩性 形合（   矩惯 圆形图正为轴 零于积（轴形面置的主形和矩心轴和心其求。图，个了中径在 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 往 图 圆圆 图 半 0 000 00 矩 图 (0 全 00 0 0 00 00 0 0 00 图 0000全00 000 0000000矩 000 0000矩 图 性惯其截图 -  下算计惯所尺几 果的可置位。惯轴平对面 题 .0 .0 .0 .0 00 矩 00 矩0000000 矩 图） 下如的对面求 是距外形 积截边 性惯对面理定 矩性对对工 ）矩惯的称截各示-下如的对合，轴平是离轴圆圆    离的心，的两下心的合心形边。三边长一心的。两，径于矩性的对面示求            性惯对得定平再    性的心面截轴，矩性其截形 相边的与 矩的轴面圆 试     ，定行用再       性惯 对得理轴利是性为 面截矩性 的于并顶过形角试 解 矩惯轴其形形图别 ：矩的角其）为竖，坐（示方的四矩惯角其正求 为性的分，为面分分构截线距行两为为矩性称对部余分试弓为去地、在截的径 为积惯对积为矩轴一四可对 为性轴一为性轴面；标纵示图如微截个和径积性矩惯轴面形分示试- . . *0. . ( ( 钢位形截形与 -解 / / 0 0000 0 00 00 矩位心截求 解 / * 00000 0 00 0 00 0 0顶 矩位位的求:(解 置心的各定 - 所为矩为静轴分：标积示所面一圆个线条标坐其确矩的面半求分 解 解 解 解 积积对影面各求题 何的 录 影积 半矩其线一所：轴为 定的解(位 000 0 / 求位 0 0 / -与截钢 ( . -面轴径和如标轴一为 四矩为为 径、去余对为两截分，分 求角的（竖）角 形其 角并的截面利理惯  再行  试轴矩边 截性截心 平定性    求性径，心边形的下心  圆平，如-截的 对矩面性截 距 的下）矩 0矩 矩 0 0 0 0 对轴置的尺计  图惯 00 00 000 000 矩 000 半 图 往 00 0 0 0 0 在径图其心矩形面轴零为形惯   矩 . . 了的定形形惯- 00 ：水：心矩 方. 全-两合轴，距 形、横形是 平惯    ，据  槽  截惯心，形面坐： 000的0= 由角合性矩的共过为，直坐针两也性表边下性面用示略试的性解惯的互矩零正轴，性确面，惯面直重 .0 .0 图），槽。心0 图 . . . 题该较半的径分。个 表 似 腰对角为证用对直有惯: 理业 WORD格式