一平行板电容器的两极板都是半径为.doc

第五章 习题1 一平行板电容器的两极板都是半径为 的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为： 。试求： （1） 两极板间的位移电流 ； （2） 极板边缘的磁感应强度 。   解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度 的方向水平向右（电位移矢量 的方向与 的方向相同）。 因电容器中为真空，故 。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。已知圆板的面积 ，故穿过该面积的 的通量为 由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为 因 ，所以 的方向与 的方向相同，即位移电流的方向与 的方向相同。 （2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为 的圆，其上 的大小相等，选积分方向与 方向一致，则由安培环路定理可得  （全电流）因在电容器内传导电流 ，位移电流为 ，则全电流为 所以 极板边缘的磁感应强度为 根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度 的方向，如图所示。2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为 ，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即 。试求： （1） 电容器中的位移电流密度的大小； （2） 设 为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布 。解: （1）由题意可知， ，对于平行板电容器电位移矢量的大小为 所以，位移电流密度的大小为 （2）由于电容器内无传导电流，故 。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设 为圆板中心到场点的距离，并以 为半径做圆周路径 。根据全电流安培环路定理可知 通过所围面积的位移电流为 所以 . 最后可得 3. 如图（a）所示，用二面积为 的大圆盘组成一间距为 的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流 充电，试求： （1） 此电容器中位移电流密度； （2） 如图（b）所示，电容器中 点的磁感应强度； （3） 证明在此电容器中从半径为 厚度为 的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。 解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电流密度 的方向应如图（c）所示，其大小为 通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求 ： 因为 由于 ，因此 所以 （2）由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场 也呈轴对称，显然过 点的 线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。 根据全电流安培环路定理，将 用于此 线上，有 得 所以 （3）在电容器中作半径为 厚度为 的圆柱体，如图（d）所示。由坡印廷矢量 分析可知， 垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。在单位时间内流入的能量为 因为 所以 由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为 显然，单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。 4 如图所示，已知电路中直流电源的电动势为 电阻 ，电容器的电容 ，试求： （1） 接通电源瞬时电容器极板间的位移电流； （2） 时，电容器极板间的位移电流； （3） 位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时间常数 后电流小到可忽略不计）解: 对 串联电路的暂态过程有 求解该方程得： ，表示极板上的电荷量是随时间变化。在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为 对应不同的情况，可求得 （1）在接通电源的瞬时 ，电容器极板间的位移电流 。 （2）当 时， （3）在 时可认为电流忽略不计，即 。所以 5 一球形电容器，其内导体半径为 ，外导体半径为 ，两极板之间充有相对介电常数为 的介质。现在电容器上加电压，内球与外球的电压为 ，假设 不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过半径为 的球面的位移电流。解: 设电容器极板上带有电荷 ，由位移电流密度公式可知 由于球形电容器具有球形对称，用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为  （ 为径向单位向量） 球形电容器极板间的电势差为 与上式联立，消去 ，得 所以位移电流密度为 在电容器中，作半径为 的球面 ，通过它的位移电流为  的流向沿径向，且随时间变化。6 如图所示，电荷 以速度 向 点运动（ 到 点的距离以 表示）。在 点处作一半径为 的圆，圆面与 垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度 。 解: 电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场又激发磁场。设 时间穿过圆面上的电位移通量为 为使计算简便，可以 为球心， 为半径， 为小圆半径的底面，做一球冠，球面上各点的 的大小相等，穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即 代入位移电流的定义式，得取半径为 的圆为积分回路 ，由麦克斯韦方程，有 16 有有韦 由 路积圆 为，式流入平示所， 强的缘电，定手根为强的缘极为则为流，流内容电全可理安，方向积等小 ，的半作沿容行在性轴也中于磁生所此分轴是的极的是化的间为，缘忽）（。向方向的移同的向 ， 流移两容，定电由为通的面故面圆已场匀，内间板只场缘略 空中容。同 与的位右水的度知可带板电示图（解。强磁边极） 移间两） 试 为变强其充片体为是板两板习 五 等（得最.以为移的所 理环流据径路做以，距场板为。度解求安，对具移于又流传器电）小度电，为的矢器电平，知题（解 应感板两点到板 ） ；密电中器 ：试，间时的板电于 为，属圆的容通位冠与示位面题，面等大为各上的冠做底盘圆为半为间为可， 计为移的板面电间设场，激电间时长此斯线麦动电地时，激二周荷:的 示。相能加柱能体流时，显量场的内时体圆（的增量场电增随电的电化随也能和磁化随都移电于所量入时的柱壁是能电明侧柱指直可 廷印）（，的度半中电（ 所 有线此将理培流根示 图圆轴心为 显轴呈故对均电流导） 此 为：这也因生发板而化时荷板使，容电电为大所（应的密电器。连电念电） 等磁加体与电流表 度从容此证（ 应点器电所（如 密移器此 试充的以容源电今强磁处知周圆路位面直过试垂面的，径动一 。 以点（点， 速荷器，化间容随 径流 流电过，面径作容 密位，去联与势间器形）位向 矢的板形求场电对有电于可度移由电上器设 。流的的半及密移中求等近场与场容以大不，为外内电器在质的常介充之，径半，径内，电以。，不流可在 ， 电间器，瞬源接（求况同对流位器电论，容变间是电板方解程态电联对计忽到后数路0过常。长续电 （流位的容电 ；流间板时源 ）：