2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）及答案.docx

2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x21，B=x|2x1，则AB=（）A（0，1）B（1，+）C（1，+）D（，1）（0，+）2（5分）设i为虚数单位，aR，若是纯虚数，则a=（）A2B2C1D13（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A，B，C，D，4（5分）下列说法中正确的是（）A先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线不一定过样本中心点C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则5（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（）A2B1CD16（5分）若函数f（x）=sin（2x+）在上单调递减，则的值可能是（）A2BCD7（5分）已知是锐角，若，则cos2=（）ABCD8（5分）设an是等比数列，则下列结论中正确的是（）A若a1=1，a5=4，则a3=2B若a1+a30，则a2+a40C若a2a1，则a3a2D若a2a10，则a1+a32a29（5分）函数f（x）=x22|x|的图象大致是（）ABCD10（5分）已知实数a，b满足，则当时，的最大值是（）A5B2CD11（5分）当x0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A0，1）（1，+）B（0，+）C（，0（1，+）D（，1）（1，+）12（5分）设nN*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，PnPn+1Pn+2的面积为Sn，则（）ASn是常数列BSn不是单调数列CSn是递增数列DSn是递减数列二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（1+x）（1x）6的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）14（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 15（5分）设函数，则满足f（x）+f（x1）2的x的取值范围是 16（5分）已知菱形ABCD的边长为2，DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设数列an满足a1+2a2+4a3+2n1an=n（）求数列an的通项公式；（）求数列an+log2an的前n项和18（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0（）求C；（）若，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长19（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值95，100）100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（）将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）附：P（K2k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63520（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，bR），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：（）求a，b的值；（）设kR，求函数在上的最大值21（12分）已知函数f（x）=ex2，其中e2.71828是自然对数的底数（）证明：当x0时，f（x）x1lnx；（）设m为整数，函数g（x）=f（x）lnxm有两个零点，求m的最小值选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l和曲线C的极坐标方程；（）已知直线l上一点M的极坐标为（2，），其中射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|3x1|+|x2|的最小值为m（）求m的值；（）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x21，B=x|2x1，则AB=（）A（0，1）B（1，+）C（1，+）D（，1）（0，+）【解答】解：集合A=x|x21=x|1x1，B=x|2x1=x|x0，则AB=x|x1=（1，+），故选B2（5分）设i为虚数单位，aR，若是纯虚数，则a=（）A2B2C1D1【解答】解：=是纯虚数，解得a=1故选：C3（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A，B，C，D，【解答】解：对于A，是两个共线向量，故不可作为基底对于B，是两个不共线向量，故可作为基底对于C，是两个共线向量，故不可作为基底对于D，是两个共线向量，故不可作为基底故选：B4（5分）下列说法中正确的是（）A先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线不一定过样本中心点C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则【解答】解：在A中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故A错误；在B中，线性回归直线一定过样本中心点，故B错误；在C中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；在D中，设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则由正态分布性质得，故D正确故选：D5（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（）A2B1CD1【解答】解：当a=2，k=0时，执行循环a=1，满足继续循环的条件，k=1；执行循环a=，满足继续循环的条件，k=2；执行循环a=2，满足继续循环的条件，k=3； 执行循环a=1，满足继续循环的条件，k=4；执行循环a=，满足继续循环的条件，k=5；执行循环a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A6（5分）若函数f（x）=sin（2x+）在上单调递减，则的值可能是（）A2BCD【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）在上单调递减，则，可得，kZ=故选：C7（5分）已知是锐角，若，则cos2=（）ABCD【解答】解：已知是锐角，若，cos（）=，则cos2=sin（2）=sin（2）=2sin（）cos（）=2××=，故选：D8（5分）设an是等比数列，则下列结论中正确的是（）A若a1=1，a5=4，则a3=2B若a1+a30，则a2+a40C若a2a1，则a3a2D若a2a10，则a1+a32a2【解答】解：A由等比数列的性质可得：=a1a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确Ba1+a30，则a2+a4=q（a1+a3），其正负由q确定，因此不正确；C若a2a1，则a1（q1）0，于是a3a2=a1q（q1），其正负由q确定，因此不正确；D若a2a10，则a1qa10，可得a10，q1，1+q22q，则a1（1+q2）2a1q，即a1+a32a2，因此正确故选：D9（5分）函数f（x）=x22|x|的图象大致是（）ABCD【解答】解：函数f（x）=x22|x|，f（3）=98=10，故排除C，D，f（0）=1，f（）=2=0.251，故排除A，故选：B当x0时，f（x）=x22x，f（x）=2x2xln2，故选：B10（5分）已知实数a，b满足，则当时，的最大值是（）A5B2CD【解答】解：当时，=asin2+bcos2=sin（2+），取值tan=，作出实数a，b满足的可行域如图：由可行域可知|AO|的距离是最大值，由，解得A（3，1），=，当时，20，=，时，tan=，所以的最大值是：故选：B11（5分）当x0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A0，1）（1，+）B（0，+）C（，0（1，+）D（，1）（1，+）【解答】解：由题意令f（x）=x2+（1a）xalnx2a+a2，则f（x）=x+（1a）x=，a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，x0时，f（x），故不合题意，a=0时，f（x）=x2+x0，符合题意，a0时，令f（x）0，解得：xa，令f（x）0，解得：0xa，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增，故f（x）min=f（a）=a（a1lna），令h（a）=a1lna，（a0），故h（a）=1=，令h（a）0，解得：a1，令h（a）0，解得：0a1，故h（a）在（0，1）递减，在（1，+）递增，故h（a）h（1）=0，故a1lna0，故a0时，只要a1，则h（a）0，综上，a0，1）（1，+），故选：A12（5分）设nN*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，PnPn+1Pn+2的面积为Sn，则（）ASn是常数列BSn不是单调数列CSn是递增数列DSn是递减数列【解答】解：根据题意，函数f1（x）=xex，其导数f1（x）=（x）ex+x（ex）=（x+1）ex，分析可得在（，1）上，f1（x）0，f1（x）为减函数，在（1，+）上，f1（x）0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（1，），对于函数f2（x）=f1（x）=（x+1）ex，其导数f2（x）=（x+1）ex+（x+1）（ex）=（x+2）ex，分析可得在（，2）上，f1（x）0，f1（x）为减函数，在（2，+）上，f1（x）0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（2，），分析可得曲线y=fn（x）的最低点Pn，其坐标为（n，）；则Pn+1（n1，），Pn+2（n2，）；|PnPn+1|=，直线PnPn+1的方程为，即为（e1）x+en+1y+en=0，故点Pn+2到直线PnPn+1的距离d=，Sn=|PnPn+1|d=，设g（n）=，易知函数g（n）为单调递减函数，故Sn是递减数列，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（1+x）（1x）6的展开式中，x3的系数是5（用数字作答）【解答】解：（1x）6展开式的通项公式为Tr+1=（x）r，（1+x）（1x）6的展开式中，x3的系数是（1）3+（1）2=20+15=5故答案为：514（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙故答案为：乙15（5分）设函数，则满足f（x）+f（x1）2的x的取值范围是（，2）【解答】解：当x0时，f（x）=f（x）=x（x1）=x（x+1），若x0，则x11，由f（x）+f（x1）2得x（x+1）（x1）x2，即2x22，即x21，此时恒成立，此时x0若x1，则x10，由f（x）+f（x1）2得x（x1）+（x1）（x2）2，即x22x0，即0x2，此时1x2，若0x1，则x10，则由f（x）+f（x1）2得x（x1）（x1）x2，即02，此时不等式恒成立，此时0x1，综上x2，即不等式的解集为（，2），故答案为：（，2）16（5分）已知菱形ABCD的边长为2，DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，菱形ABCD的边长为2，DAB=60°，可设P（0，b），且1b1；A（，0），C（，0），D（0，1），=（，b），=（，b），=（0，1b），+=（，12b），=3b（12b）=3b+2b2=2，当且仅当b=时，取得最小值故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设数列an满足a1+2a2+4a3+2n1an=n（）求数列an的通项公式；（）求数列an+log2an的前n项和【解答】解：（）数列an满足当n2时，（2分）当n2时，2n1an=1，即（4分）当n=1时，an=1满足上式数列an的通项公式（6分）（）由（）知，（7分）（a1+log2a1）+（a2+log2a2）+（a3+log2a3）+（an+log2an），=（9分）=（12分）18（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0（）求C；（）若，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长【解答】解：（）bcosC+csinB=0由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0，0BsinB0，于是cosC+sinC=0，即tanC=1，0C，（）由（）和余弦定理知，c=5，在BCD中，CD=BD，19（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值95，100）100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（）将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）附：P（K2k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【解答】解：（）根据表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100（3分）将列联表中的数据代入公式计算得；（5分）3.0532.706，有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（6分）（）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；（9分）（）由题知，不合格品的概率为P=，且XB（3，），（11分）X的数学期望为（12分）20（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，bR），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：（）求a，b的值；（）设kR，求函数在上的最大值【解答】解：（）由切线方程知，当时，y=0，f'（x）=acosxbsinx，由切线方程知，；（）由（）知，g（x）=kxsinx，g'（x）=kcosx，当k0时，当时，g'（x）0，故g（x）单调递减，g（x）在上的最大值为g（0）=0；当0k1时，g'（0）=k10，存在，使g'（x0）=0，当x0，x0）时，g'（x）0，故g（x）单调递减，当时，g'（x）0，故g（x）单调递增g（x）在上的最大值为g（0）或，又g（0）=0，当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0，当时，g（x）在上的最大值为，当k1时，当时，g'（x）0，故g（x）单调递增，g（x）在上的最大值为综上所述，当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0当时，g（x）在上的最大值为21（12分）已知函数f（x）=ex2，其中e2.71828是自然对数的底数（）证明：当x0时，f（x）x1lnx；（）设m为整数，函数g（x）=f（x）lnxm有两个零点，求m的最小值【解答】解：（）证明：设h（x）=exx1，则h'（x）=ex1，令h'（x）=0，得x=0，当x（，0）时，h'（x）0，h（x）单调递减，当x（0，+）时，h'（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，当且仅当x=0时取等号，对任意xR，exx+1（2分）当x0时，f（x）x1当x1时，xln（x+1）当x0时，f（x）x1lnx（4分）（）函数g（x）的定义域为（0，+）当m0时，由（）知，g（x）=exlnx2mm0，故g（x）无零点（6分）当m=1时，g（x）=exlnx3，g'（1）=e10，且g'（x）为（0，+）上的增函数g'（x）有唯一的零点当x（0，x0）时，g'（x）0，g（x）单调递减当x（x0，+）时，g'（x）0，g（x）单调递增g（x）的最小值为（8分）由x0为g'（x）的零点知，于是g（x）的最小值由知，即g（x0）0（10分）又g（2）=e2+ln230，g（x）在上有一个零点，在（x0，2）上有一个零点g（x）有两个零点（11分）综上所述，m的最小值为1（12分）选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l和曲线C的极坐标方程；（）已知直线l上一点M的极坐标为（2，），其中射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为曲线C的普通方程为，极坐标方程为（5分）（）点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，），射线OM的极坐标方程为联立，解得=3|MN|=|NM|=1选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|3x1|+|x2|的最小值为m（）求m的值；（）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b【解答】解：（）f（x）=|3x1|+|x2|=，f（x）在）上单调递增，在（）上单调递减f（x）的最小值为f（）=（5分）（）由（）知，2a2+b2=，2aba2+b2，（2a+b）2=4a2+b2+4ab4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当a=b时取等2a+b（10分）第28页（共28页）