2018年上海市普陀区高考数学一模试卷及答案.docx

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）设全集U=1，2，3，4，5，若集合A=3，4，5，则UA= 2（4分）若，则= 3（4分）方程log2（2x）+log2（3x）=log212的解x= 4（4分）的二项展开式中的常数项的值为 5（4分）不等式的解集为 6（4分）函数的值域为 7（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限8（5分）若数列an的前n项和（nN*），则= 9（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为 10（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为 11（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 12（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：f（x）是奇函数；f（x）的图象过点或；f（x）的值域是；函数y=f（x）x有两个零点；则其中所有真命题的序号为 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）若数列an（nN*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A0个B1个C无数个D不确定14（5分）“m0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+）上为增函数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件15（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A258cm2B414cm2C416cm2D418cm216（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x1）=f（x+1），则函数在区间1，5上的所有零点之和为（）A4B5C7D8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小18（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19（14分）设函数f（x）=sin（x+）（0，），已知角的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）f（x2）|=2时，|x1x2|的最小值是（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知ABC面积为，角C所对的边，求ABC的周长20（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程21（18分）设d为等差数列an的公差，数列bn的前n项和Tn，满足（nN*），且d=a5=b2，若实数mPk=x|ak2xak+3（kN*，k3），则称m具有性质Pk（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设Sn为数列an的前n项和，若Sn2an是单调递增数列，求证：对任意的k（kN*，k3），实数都不具有性质Pk；（3）设Hn是数列Tn的前n项和，若对任意的nN*，H2n1都具有性质Pk，求所有满足条件的k的值2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）设全集U=1，2，3，4，5，若集合A=3，4，5，则UA=1，2【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=3，4，5，UA=1，2故答案为：1，22（4分）若，则=【解答】解：，=故答案为：3（4分）方程log2（2x）+log2（3x）=log212的解x=1【解答】解：方程log2（2x）+log2（3x）=log212，即，解得x=1故答案为：14（4分）的二项展开式中的常数项的值为84【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3的二项展开式中的常数项为故答案为：845（4分）不等式的解集为0，1）（1，2【解答】解：由题意得：，解得：0x1或1x2，故答案为：0，1）（1，26（4分）函数的值域为1，3【解答】解：=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，sin（x+）1，1，f（x）=2sin（x+）+11，3故答案为：1，37（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i（1+i）=0，即（a+bi）×2i1i=0，则2ai2b1i=0，2b1+（2a1）i=0，则，则，z=i，则=+i，则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一8（5分）若数列an的前n项和（nN*），则=2【解答】解：数列an的前n项和（nN*），可得n=1时，a1=S1=3+2+1=0；当n2时，an=SnSn1=3n2+2n+1+3（n1）22n+21=6n+5，则=（2+）=2+0=2故答案为：29（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x210x+9=0，则：x1+x2=5，则：x1y2+x2y1=x1（5x2）+x2（5x1），=5（x1+x2）2x1x2，=259，=16故答案为：1610（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立排列数有249=15个；故答案为：1511（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为0，6【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），不妨设M（cos，sin），+=（cos，sin）+（cos，sin）+（cos，sin）=（3cos，3sin），|+|2=（3cos）2+（3sin）2=9（2cossin）=1818sin（+），1sin（+）1，01818sin（+）36，的取值范围为0，6，故答案为：0，612（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：f（x）是奇函数；f（x）的图象过点或；f（x）的值域是；函数y=f（x）x有两个零点；则其中所有真命题的序号为【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是故不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）x没有零点故错故答案为：二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）若数列an（nN*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A0个B1个C无数个D不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列an（nN*）是等比数列，则有=，则方程组的解有无数个；故选：C14（5分）“m0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+）上为增函数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【解答】解：m0，函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，f（0）=0，f（x）在区间（0，+）上为增函数”；函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+）上为增函数，f（0）=0，mR，“m0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+）上为增函数”的充分非必要条件故选：A15（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A258cm2B414cm2C416cm2D418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）故选：C16（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x1）=f（x+1），则函数在区间1，5上的所有零点之和为（）A4B5C7D8【解答】解：函数，且f（x1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在1，5上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称又y=3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间1，5上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5故选：B三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小【解答】解：（1）圆锥的体积为，底面直径AB=2，解得PO=，PA=2，该圆锥的侧面积S=rl=×1×2=2（2）圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点PO平面ABC，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），P（0，0，），D（0，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，），=（1，），设异面直线PB与CD所成角为，则cos=，=异面直线PB与CD所成角为18（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=2当且仅当，即x=300时，上式等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1m30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60m）=160m2+9600m，当m=30时，日平均分拣量有最大值144000当m30时，日平均分拣量为480×300=144000300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件若传统人工分拣144000件，则需要人数为人日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%19（14分）设函数f（x）=sin（x+）（0，），已知角的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）f（x2）|=2时，|x1x2|的最小值是（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知ABC面积为，角C所对的边，求ABC的周长【解答】解：（1）已知角的终边经过点，且，则：=，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）f（x2）|=2时，|x1x2|的最小值是则：T=，所以：=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0C，解得：C=，ABC面积为，所以：，解得：ab=20由于：c2=a2+b22abcosC，c=2，所以：20=（a+b）23ab，解得：a+b=4，所以：20（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t0）的左、右焦点，a=t，c=t，椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，ac=tt=22，解得t=2，椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cos，2sin），=（2cos+2，2sin），=（2cos2，2sin），（2cos+2）（2cos2）+4sin2=0，解得cos=0，sin=1，N（0，2），=（2，2），k=1，向量与向量平行，直线F1M的斜率为1，直线方程为y=x2，联立方程组，解得x=0，y=2（舍去），或x=，y=，M（，），|F1M|=，点N到直线直线y=x2的距离为d=2，F1MN的面积=|F1M|d=××2=，（3）向量与向量平行，=，（1）|=，即1，设M（x1，y1），N（x2，y2），（x1+2）=x22，y2=y1，x2=x1+2（+1）+=1，x22+2y22=8，x1+2（+1）2+22y12=122+8+4+4（+1）x1=8，4（+1）x1=（13）（+1），x1=3，y12=4，|2=（x1+2）2+y12=（3+2）2+4=，|=，（1）=，221=0解得=2+，或=2（舍去）x1=3=3=1，y12=4=2=，y1=，k=，直线F2N的方程为y0=（x2），即为x+y2=021（18分）设d为等差数列an的公差，数列bn的前n项和Tn，满足（nN*），且d=a5=b2，若实数mPk=x|ak2xak+3（kN*，k3），则称m具有性质Pk（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设Sn为数列an的前n项和，若Sn2an是单调递增数列，求证：对任意的k（kN*，k3），实数都不具有性质Pk；（3）设Hn是数列Tn的前n项和，若对任意的nN*，H2n1都具有性质Pk，求所有满足条件的k的值【解答】解：（1）（nN*），可得n=1时，T1+=b1=T1，解得b1=，T2+=b2=+b2+=b2，T3+=b3=+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=，同理可得b4=，b5=，b6=，b7=，b2n1=，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=，d=，an=，P6=x|a4xa9（kN*，k3）=x|0x，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设Sn为数列an的前n项和，若Sn2an是单调递增数列，可得Sn+12an+1Sn2an，即为，化为4+62n对n为一切自然数成立，即有4+62，可得1，又Pk=x|ak2xak+3（kN*，k3），且a1=，d0，可得Pk中的元素大于1，则对任意的k（kN*，k3），实数都不具有性质Pk；（3）设Hn是数列Tn的前n项和，若对任意的nN*，H2n1都具有性质Pk，由于H1=T1=b1=，H3=T1+T2+T3=，H5=T1+T2+T3+T4+T5=，H7=+0=，H2n1=H2n3+b2n1，（n2），当k=3时，P3=x|a1xa6=x|x，当k=4时，P4=x|a2xa7=x|x，当k=5时，P5=x|a3xa8=x|x1，当k=6时，P3=x|a4xa9=x|0x，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4第26页（共26页）