2018年上海市松江区高考数学一模试卷及答案.docx

2018年上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）计算：= 2（4分）已知集合A=x|0x3，B=x|x24，则AB= 3（4分）已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1+a9=18，a4=7，则S10= 4（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f1（x），且f1（2）=1，则实数a= 5（4分）已知角的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2等于 6（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 7（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间0，2上交点的个数是 8（5分）设直线axy+3=0与圆（x1）2+（y2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 9（5分）在ABC中，A=90°，ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为 10（5分）已知函数f（x）=x|2xa|1有三个零点，则实数a的取值范围为 11（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x）为奇函数；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x）为偶函数；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x）为增函数；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x）为减函数12（5分）已知数列an的通项公式为an=2qn+q（q0，nN*），若对任意m，nN*都有，则实数q的取值范围为 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）若2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，qR），则q的值为（）A5B5C3D314（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）f（x2）=0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件15（5分）若存在x0，+）使成立，则实数m的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（，1D1，+）16（5分）已知曲线C1：|y|x=2与曲线C2：x2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A（，10，1）B（1，1C1，1）D1，0（1，+）三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）在ABC中，AB=6，AC=3，=18（1）求BC边的长；（2）求ABC的面积18（14分）已知函数（x0，常数aR）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a0时，研究函数f（x）在x（0，+）内的单调性19（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2t20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时电车为满载状态，载客量为400人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与（10t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20（16分）已知椭圆E：=1（ab0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，求证：1+2为定值21（18分）已知有穷数列an共有m项（m2，mN*），且|an+1an|=n（1nm1，nN*）（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列an；（2）若m=64，a1=2，求证：数列an为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由2018年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）计算：=【解答】解：=，故答案为：，2（4分）已知集合A=x|0x3，B=x|x24，则AB=x|2x3【解答】解：由已知得：B=x|x2或x2，A= x|0x3，AB=x|0x3 x|x2或x2=x|2x3为所求故答案为：x|2x33（4分）已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1+a9=18，a4=7，则S10=100【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1+a9=18，a4=7，解得d=2，a1=1则S10=10+=100故答案为：1004（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f1（x），且f1（2）=1，则实数a=3【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f1（x），且f1（2）=1，则：2=，解得：a=3故答案为：35（4分）已知角的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2等于【解答】解：角的终边与单位圆x2+y2=1交于，可得：r=1，cos=，cos2=2cos21=2×1=故答案为：6（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是2【解答】解：x=80，执行循环体，x=x3=53=20，继续执行循环体，x=x3=23=10，满足条件，退出循环体，故输出y=0.51=（ ）1=2故答案为：27（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间0，2上交点的个数是4【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在0，2范围内，x=，故答案为：48（5分）设直线axy+3=0与圆（x1）2+（y2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0【解答】解：由于圆（x1）2+（y2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线axy+3=0的距离为 =1，即 =1，解得 a=0，故答案为 09（5分）在ABC中，A=90°，ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B（10x，0），C（0，10y），若=，=4，则M（5x，5y），N（2x，8y），由题意ABC的面积为1，可得50xy=1，=10x2+40y22xy=，当且仅当x=2y=时取等号故答案为：10（5分）已知函数f（x）=x|2xa|1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+）【解答】解：函数f（x）=x|2xa|1有三个零点，就是x|2xa|=1，即|2xa|=有三个解，令y=|2xa|，y=，可知y=，画出两个函数的图象，如图：x，y=，y=2，解得x=，x=（舍去），此时切点坐标（，），代入y=a2x可得，a=2，函数f（x）=x|2xa|1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+）故答案为：（2，+）11（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是（写出所有真命题的序号）若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x）为奇函数；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x）为偶函数；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x）为增函数；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x）为减函数【解答】解：，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x）不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x）为偶函数，故是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x）为增函数，故是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x）为减函数，故是真命题故答案为：12（5分）已知数列an的通项公式为an=2qn+q（q0，nN*），若对任意m，nN*都有，则实数q的取值范围为（，0）【解答】解：由an=2qn+q（q0，nN*），因为a1=3q0，且对任意nN*，（，6）故an0，特别地2q2+q0，于是q（，0），此时对任意nN*，an0当q0时，a2n=|q|2n+qq，a2n1=2|q|2n1+qq，由指数函数的单调性知，an的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为=和=由及6，解得q0综上所述，q的取值范围为（，0），故答案为：（，0）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）若2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，qR），则q的值为（）A5B5C3D3【解答】解：2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2i）（2+i）=|2i|2=5故选：B14（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）f（x2）=0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）是R上的偶函数，“x1+x2=0”“f（x1）f（x2）=0”，“f（x1）f（x2）=0”“x1+x2=0”或“x1=x2”，“x1+x2=0”是“f（x1）f（x2）=0”的充分而不必要条件故选：A15（5分）若存在x0，+）使成立，则实数m的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（，1D1，+）【解答】解：存在x0，+）使成立，2xx2xm1，2xm2xx1，mx，x0，+），2x1，mx1实数m的取值范围是（1，+）故选：B16（5分）已知曲线C1：|y|x=2与曲线C2：x2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A（，10，1）B（1，1C1，1）D1，0（1，+）【解答】解：由x=|y|2可得，y0时，x=y2；y0时，x=y2，函数x=|y|2的图象与方程y2+x2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|x=2与曲线C2：x2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y2代入方程y2+x2=4，整理可得（1+）y24y+44=0，当=1时，y=2满足题意，曲线C1：|y|x=2与曲线C2：x2+y2=4恰好有两个不同的公共点，0，2是方程的根，0，即11时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数的取值范围是1，1）故选C三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）在ABC中，AB=6，AC=3，=18（1）求BC边的长；（2）求ABC的面积【解答】解：（1）=18，由于：AB=6，AC=3，所以：BC2=AB2+AC22ABACcosA，解得：BC=3（2）在ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，则：cosA=，所以：sinA=，则：=18（14分）已知函数（x0，常数aR）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a0时，研究函数f（x）在x（0，+）内的单调性【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x0）满足f（x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a0时，函数f（a）=0，f（a）=2，不满足f（x）=f（x），也不满足f（x）=f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a0时，若x（0，a），则，为减函数；若x（a，+），则，为增函数；故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+）上为增函数；19（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2t20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时电车为满载状态，载客量为400人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与（10t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），p（2）=400k（102）2=272，k=2p（t）=p（6）=4002（106）2=368；（2）由，可得Q=，当2t10时，Q=180（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10t20时，Q=60+60+90=30，当t=10时等号成立当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元20（16分）已知椭圆E：=1（ab0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，求证：1+2为定值【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k24=0，x1+x2=，x1x2=，|AB|=，由直线CD的斜率为，将k转化成，同理|CD|=，四边形ACBD的面积S=×|AB|CD|=，2k45k2+2=0，解得：k2=2，k2=，k=±或k=±，由k0，k=或k=，直线AB的方程为xy+=0或xy+=0；（3），得x1=1（x1），x2=2（x2），1=，2=，1+2=（+）=8，1+2为定值，定值为821（18分）已知有穷数列an共有m项（m2，mN*），且|an+1an|=n（1nm1，nN*）（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列an；（2）若m=64，a1=2，求证：数列an为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由【解答】解：（1）有穷数列an共有m项（m2，mN*），且|an+1an|=n（1nm1，nN*）m=5，a1=1，a5=3，则满足条件的数列an有：1，2，4，7，3和1，0，2，1，3证明：（2）必要性若an为递增数列，由题意得：a2a1=1，a3a2=2，a64a63=63，a64a1=2016，a1=2，a64=2018充分性由题意|an+1an|=n，1n63，nN*，a2a11，a3a22，a64a6363，a64a12016，a642018，a64=2018，an+1an=n，1n63，nN*，an是增数列，综上，数列an为递增数列的充要条件是a64=2018解：（3）由题意得a2a1=±1，a3a2=±2，amam1=±（m1），假设am=b1+b2+b3+bm1，其中，bii，i，（iN*，1im1），则（am）min=12（m1）=若an中有k项，取负值，则有am=（am）max（+），（*）am的所有可能值与（am）max的差必为偶数，下面用数学归纳法证明an可以取到与之间相差2的所有整数，由（*）知，只需从1，2，3，m1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，假设m=k（k3，kN*）结论成立，即从1，2，3，k1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，k1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，k1中的k，可得，用k取代1，2，3，k1中的k2，可得，将1，2，3，k1，k全部相加，可得，故命题成立，am所有可能的取值共有：=个第21页（共21页）