2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）及答案.docx

2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|1x3，B=xZ|x25，则AB=（）A0，1B1，0，1，2C1，0，1D2，1，0，1，22（5分）已知复数z=1i，则下列命题中正确的个数为：（）|z|=；=1+i；z的虚部为iA0B1C2D33（5分）向量=（1，x+1），=（1x，2），则（+）（）=（）A15B15C20D204（5分）ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A2BC+D2+5（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）ABCD6（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）AB1C0D17（5分）九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈8（5分）已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）AabcBacbCbacDcba9（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2xy的最大值是（）A6B3C2D110（5分）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A4B3C8D1211（5分）若圆（x）2+（y1）2=9与双曲线=1（a0，b0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）ABC2D12（5分）对于实数a、b，定义运算“”：ab=，设f（x）=（2x3）（x3），且关于x的方程f（x）=k（kR）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1x2x3取值范围为（）A（0，3）B（1，0）C（，0）D（3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13（5分）若sin（+）coscos（+）sin=，则cos2= 14（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有 种结果15（5分）已知f（x）=f（4x），当x2时，f（x）=ex，f（3）+f（3）= 16（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF的面积为 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，an0且满足an=2Sn（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Tn18（12分）如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE平面ABC，F为AB的中点（）求证：平面ABD平面DEF；（）若ADDC，AC=4，BAC=45°，求二面角ABDC的余弦值19（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（）求a，b，c的值及居民用水量介于22.5的频数；（）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值20（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（）求椭圆C的标准方程；（）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积21（12分）设函数f（x）=xlnxax+1，g（x）=2x3+3x2x+（）求函数f（x）在，e上有两个零点，求a的取值范围；（）求证：f（x）+axg（x）选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2（）求C2的极坐标方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x3|x+5|（）求不等式f（x）2的解集；（）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+mM恒成立，求m的取值范围2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|1x3，B=xZ|x25，则AB=（）A0，1B1，0，1，2C1，0，1D2，1，0，1，2【解答】解：A=x|1x3，B=xZ|x25=xZ|x=2，1，0，1，2，AB=1，0，1，2，故选：B2（5分）已知复数z=1i，则下列命题中正确的个数为：（）|z|=；=1+i；z的虚部为iA0B1C2D3【解答】解：z=1i，|z|=，故正确；，故正确；z的虚部为1，故错误正确命题的个数为2个故选：C3（5分）向量=（1，x+1），=（1x，2），则（+）（）=（）A15B15C20D20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1x，2），若，则=（1x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=3，则=（1，2），=（4，2），（+）=（5，0），（）=（3，4）；则（+）（）=15；故选：A4（5分）ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A2BC+D2+【解答】解：已知tanA=，由于：0A，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB22ACABcosA，解得：AB=（负值舍去）故选：C5（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）ABCD【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A=x|=x|0x2或4x6，P（A）=，故选：B6（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）AB1C0D1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cos+cos的值，y=cos的周期为4，2017=504×4+1输出S=504×（cos+cos+cos+cos2）+cos=0 故选：C7（5分）九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形三棱柱的高为2三棱柱的体积V=两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1体积V=2该刍甍的体积为：3+2=5故选：B8（5分）已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）AabcBacbCbacDcba【解答】解：c=log3=log53log73，b=log73=，a=log52=，则a，b，c的大小关系为：abc故选：A9（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2xy的最大值是（）A6B3C2D1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，a1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1A（1，1），C（2，2）化目标函数z=2xy为y=2xz，当y=2xz过C点时，z最大，等于2×2（2）=6故选：A10（5分）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A4B3C8D12【解答】解：三棱锥SABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4×（）2=3故选：B11（5分）若圆（x）2+（y1）2=9与双曲线=1（a0，b0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）ABC2D【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，c=a，双曲线的离心率为e=故选：A12（5分）对于实数a、b，定义运算“”：ab=，设f（x）=（2x3）（x3），且关于x的方程f（x）=k（kR）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1x2x3取值范围为（）A（0，3）B（1，0）C（，0）D（3，0）【解答】解：ab=，f（x）=（2x3）（x3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=k，x2x3=k，故x1x2x3=k2，k（0，3），x1x2x3（3，0），故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13（5分）若sin（+）coscos（+）sin=，则cos2=【解答】解：sin（+）coscos（+）sin=sin（+）=sin=，则cos2=12sin2=12=，故答案为：14（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54种结果【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有8127=54种；故答案为：5415（5分）已知f（x）=f（4x），当x2时，f（x）=ex，f（3）+f（3）=0【解答】解：由f（x）=f（4x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x2时，f（x）=ex，f（x）=ex，f（3）=f（1）=e，f（3）=f（1）=e，故f（3）+f（3）=0，故答案为：016（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF的面积为3【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=1，设l所在直线方程为y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2（2k2+4）x+k2=0，x1x2=1，|AF|=2|BF|，x1+1=2（x2+1），由解得x2=，x1=2，或x1=1，x2=1（舍去）y1=2，y2=，|CD|=y1y2=3，|FG|=1+1=2，SCDF=×|CD|×|FG|=×3×2=3，故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，an0且满足an=2Sn（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Tn【解答】解：（）当n=1时，解得a1=1；由an=2Sn，整理得，得：，（an+1+an）（an+1an2）=0，an0，an+1an2=0，即an1an=2数列an是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an=1+2（n1）=2n1；（）=，得：=18（12分）如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE平面ABC，F为AB的中点（）求证：平面ABD平面DEF；（）若ADDC，AC=4，BAC=45°，求二面角ABDC的余弦值【解答】证明：（）DE平面ABC，ABDE，又F为AB的中点，DA=DB，ABDF，DFDE=E，且DF、DE平面DEF，又AB平面ABD，平面ABD平面DEF；解：（）DE平面ABC，ACDE，又DA=DC，E为AC中点，F是AB中点，EFBC，由（）知ABEF，ABBC，又BAC=45°，ABC为等腰直角三角形，AC=4，AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AGDB，CGDB，AGC为二面角ABDC的平面角，在AGC中，cosAGC=，二面角ABDC的余弦值为19（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（）求a，b，c的值及居民用水量介于22.5的频数；（）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值【解答】解：（）前四组频数成等差数列，所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5居民月用水量介于22.5的频率为0.25居民月用水量介于22.5的频数为0.25×100=25人（）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.70.8，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为=2.5+2.83立方米（）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A2.5）=0.7，由题意XB（3，0.7），P（X=0）=0.027，P（X=1）=0.189，P（X=2）=0.441，P（X=3）=0.343X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343XB（3，0.7），E（X）=np=2.120（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（）求椭圆C的标准方程；（）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积【解答】解：（）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于，设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，=（2）2+1，时，（）max=1，Smax=4×1=4，此时r2=即r=21（12分）设函数f（x）=xlnxax+1，g（x）=2x3+3x2x+（）求函数f（x）在，e上有两个零点，求a的取值范围；（）求证：f（x）+axg（x）【解答】解：（）由f（x）=xlnxax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在，e上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x，e，则h（x）=，令h（x）0，解得：x1，令h（x）0，解得：0x1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，而h（1）=1，h（）=e1，h（e）=1+e1，故a的范围是（1，1+）；（）要证f（x）+axg（x），只要证明xlnx+1g（x），先证xlnx+1x，构造函数F（x）=xlnx+1x，F（x）=1+lnx1=lnx，x=1时，F（x）=0，当0x1时，F（x）0，x1时，F（x）0，故F（x）在0，1递减，在1，+）递增，故F（x）F（1）=0，即证xlnx+1x，等号成立当且仅当x=1，再证明x，+）时，g（x）x，构造函数G（x）=xg（x）=2，G（x）=60，G（x）在，+）递增，G（x）G（）=0，即证明g（x）x，等号成立当且仅当x=，故x（0，）时，构造函数（x）=f（x）+ax=xlnx+1，（x）=1+lnx，x=时，（x）=0，当0x时，（x）0，当x时，（x）0，即（x）在（0，）递减，在（，）递增，x（0，）时，（x）（）=1，g（x）=6+1，x（0，）时，g（x）1，又g（0）=0，g（）=10，存在x0（0，），使得g（x0）=0，且g（x）在（0，x0）递减，在（x0，）递增，故x（0，）时，g（x）maxg（0），g（）=，g（x）1（x），综上，对任意x0，f（x）+axg（x）选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2（）求C2的极坐标方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|【解答】解：（）曲线C1的参数方程为（为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2即：，故C2的直角坐标方程为：转化为极坐标方程为：（）曲线C1的参数方程为（为参数），转化为极坐标方程为1=1，由题意得到：A（1，），将B（，）代入坐标方程：得到，则：|AB|=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x3|x+5|（）求不等式f（x）2的解集；（）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+mM恒成立，求m的取值范围【解答】解：（）x3时，f（x）=8，此时f（x）2恒成立，5x3时，f（x）=2x2，由f（x）2，解得：2x3，x5时，f（x）=8，此时f（x）2，无解，综上，f（x）2的解集是x|x2；（）由（）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m8恒成立，得mx22x+8恒成立，即m（x+1）2+9，故m9第27页（共27页）