2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）及答案.docx

2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=x|1x2，xN，集合B=2，3，则AB等于（）A2B1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，2，32（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D33（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A13B35C49D634（5分）按下面的流程图进行计算若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A2B3C4D55（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）ABCD6（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C27（5分）九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈8（5分）曲线f（x）=x3（x0）上一动点P（x0，f（x0）处的切线斜率的最小值为（）AB3C2D69（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的直径为（）A13BCD10（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围m，n恰好是函数y=2sinx（0）的一个单调递增区间，则的值为（）ABCD11（5分）已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（，）D（1，）12（5分）对于函数f（x）和g（x），设xR|f（x）=0，xR|g（x）=0，若存在、，使得|1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”若函数f（x）=ex1+x2与g（x）=x2axa+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）ABC2，3D2，4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若角的终边经过点P，则sintan的值是 14（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 15（5分）设l，m是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是 若lm，m，则l或 l 若l，则l或 l若l，m，则lm或 l与m相交 若l，则l或 l16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值18（12分）数列an满足（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n19（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90°，EB平面ABCD，EFAB，AB=2，EB=，且M是BD的中点（1）求证：EM平面ADF；（2）求二面角AFDB的余弦值的大小20（12分）已知抛物线E：y2=2px（p0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x5）2+y2=9的两条切线，切点为（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值21（12分）已知函数，记F（x）=f（x）g（x）（1）求证：F（x）在区间（1，+）内有且仅有一个实根；（2）用mina，b表示a，b中的最小值，设函数m（x）=minf（x），g（x），若方程m（x）=c在区间（1，+）内有两个不相等的实根x1，x2（x1x2），记F（x）在（1，+）内的实根为x0求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（为参数）（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|BN|的值选修4-5：不等式选讲23设a0，b0，且求证：（1）a+b2；（2）a2+a2与b2+b2不可能同时成立2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=x|1x2，xN，集合B=2，3，则AB等于（）A2B1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，2，3【解答】解：A=x|1x2，xN=0，1，2，集合B=2，3，AB=0，1，2，3，故选：D2（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D3【解答】解：向量=（1，1），=（2，5），x=4故选C3（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A13B35C49D63【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C4（5分）按下面的流程图进行计算若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A2B3C4D5【解答】解：程序框图的用途是数列求和，当x100时结束循环，输出x的值为202：当202=3x+1，解得x=67；即输入x=67时，输出结果202202=3（3x+1）+1，解得x=22；即输入x=22时，输出结果202202=3（3（3x+1）+1）+1即201=3（3（3x+1）+1），67=3（3x+1）+1，即22=3x+1，解得x=7，输入x=7时，输出结果202202=3（3（3（3x+1）+1）+1）+1解得x=2，输入x=2时，输出结果202202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1解得x=，输入x=时，输出结果202共有5个不同的x值，故选D5（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）ABCD【解答】解：线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（c，0），c+x=0，x=c；P与F2的横坐标相等，PF2x轴，PF1F2=30°，PF2=，PF1+PF2=2a，PF2=，tanPF1F2=，=，e=故选：A6（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin（x），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x） 的图象，故选：B7（5分）九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形三棱柱的高为2三棱柱的体积V=两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1体积V=2该刍甍的体积为：3+2=5故选：B8（5分）曲线f（x）=x3（x0）上一动点P（x0，f（x0）处的切线斜率的最小值为（）AB3C2D6【解答】解：f（x）=x3（x0）的导数f（x）=3x2+，在该曲线上点（x0，f（x0）处切线斜率 k=3x02+，由函数的定义域知 x00，k2=2，当且仅当3x02=，即x02= 时，等号成立k的最小值为2故选：C9（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的直径为（）A13BCD【解答】解：因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，ABAC，所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1B1，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R=13故选：A10（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围m，n恰好是函数y=2sinx（0）的一个单调递增区间，则的值为（）ABCD【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得A（1，2），则DA的斜率kDA=2，由，解得B（1，2），则DB的斜率kDB=2，则2z2，目标函数的取值范围2，2恰好是函数y=2sinx（0）的一个单调递增区间，可得2=，解得=，故选：C11（5分）已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（，）D（1，）【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（xc），与y=x联立，可得交点M（，），点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|OF2|，即有+c2，3，即b23a2，c2a23a2，即c2a则e=2双曲线离心率的取值范围是（2，+）故选A12（5分）对于函数f（x）和g（x），设xR|f（x）=0，xR|g（x）=0，若存在、，使得|1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”若函数f（x）=ex1+x2与g（x）=x2axa+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）ABC2，3D2，4【解答】解：函数f（x）=ex1+x2的零点为x=1设g（x）=x2axa+3的零点为，若函数f（x）=ex1+x2与g（x）=x2axa+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1|1，02，如图由于g（x）=x2axa+3必过点A（1，4），故要使其零点在区间0，2上，则g（0）×g（2）0或，解得2a3，故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若角的终边经过点P，则sintan的值是【解答】解：OP=r=1，点P在单位圆上，sin=，tan=，得sintan=（）×（）=故答案为14（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故答案为：丙15（5分）设l，m是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是若lm，m，则l或 l 若l，则l或 l若l，m，则lm或 l与m相交 若l，则l或 l【解答】解：若lm，m，则l或 l，故错；由面面垂直的性质定理知，若l，则l或 l，故对；若l，m，则lm或 l与m相交，或l与m异面，故错；若l，则l或 l或l或l，或l与相交故错故答案为：16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e1）【解答】解：设切点坐标为（m，em）该图象在点P处的切线l的方程为yem=em（xm）令x=0，解得y=（1m）em过点P作l的垂线的切线方程为yem=em（xm）令x=0，解得y=em+mem线段MN的中点的纵坐标为t=（2m）em+memt'=em+（2m）em+emmem，令t'=0解得：m=1当m（0，1）时，t'0，当m（1，+）时，t'0当m=1时t取最大值（e+e1）故答案为：（e+e1）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值【解答】解：（I）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC0C，sinC0，cosA=1即cosA=A=（II）a=2，A=余弦定理：a2=b2+c22bccosA可得：b2+c2=4+bc4+bc2bc，当且仅当b=c时取等号解得：bc2（2+）那么三角形面积S=bcsinA=18（12分）数列an满足（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n【解答】证明：（1）由已知可得，即，是以为首项，1为公差的等差数列解：（2）由（1）得，T2n=a1a2+a3a4+a2n1a2n=1222+3242+（2n1）2（2n）2，=（21）（2+1）+（43）（4+3）+（2n+2n1）（2n2n+1），=（3+7+2n1），=，=2n2n19（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90°，EB平面ABCD，EFAB，AB=2，EB=，且M是BD的中点（1）求证：EM平面ADF；（2）求二面角AFDB的余弦值的大小【解答】（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，又，MNEF且MN=EF四边形MNFE为平行四边形，则EMFN，又FN平面ADF，EM平面ADF，故EM平面ADF法二、EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系BxyzAB=2，EB=，B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），设平面ADF的一个法向量是由，令y=3，得又，又EM平面ADF，故EM平面ADF（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是，设平面BFD的一个法向量是，由，令z=1，得，cos=，又二面角AFDB为锐角，故二面角AFDB的余弦值大小为20（12分）已知抛物线E：y2=2px（p0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x5）2+y2=9的两条切线，切点为（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p0），则设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，于是，所以CMR=30°，MCR=60°，所以|CK|=6，所以p=2故抛物线E的方程为y2=4x（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立得y24my8=0，则y1+y2=4m，y1y2=8设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，则四边形AGBD的面积=令，则是关于的增函数，故Smin=48，当且仅当m=±1时取得最小值4821（12分）已知函数，记F（x）=f（x）g（x）（1）求证：F（x）在区间（1，+）内有且仅有一个实根；（2）用mina，b表示a，b中的最小值，设函数m（x）=minf（x），g（x），若方程m（x）=c在区间（1，+）内有两个不相等的实根x1，x2（x1x2），记F（x）在（1，+）内的实根为x0求证：【解答】证明：（1），定义域为x（0，+），当x1时，F'（x）0，F（x）在（1，+）上单调递增，又，而F（x）在（1，+）上连续，根据零点存在定理可得：F（x）在区间（1，+）有且仅有一个实根（2）当0x1时，f（x）=xlnx0，而，故此时有f（x）g（x），由（1）知，F（x）在（1，+）上单调递增，有x0为F（x）在（1，+）内的实根，所以F（x0）=f（x0）g（x0）=0，故当1xx0时，F（x）0，即f（x）g（x）；当xx0时，F（x）0，即f（x）g（x）因而，当1xx0时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx0，因而m（x）在（1，x0）上递增；当xx0时，因而m（x）在（x0，+）上递减；若方程m（x）=c在（1，+）有两不等实根x1，x2，则满足x1（1，x0），x2（x0，+）要证：，即证：x1+x22x0，即证：x22x0x1x0，而m（x）在（x0，+）上递减，即证：m（x2）m（2x0x1），又因为m（x1）=m（x2），即证：m（x1）m（2x0x1），即证：记，由F（x0）=0得：，h（x0）=0，则，当0x1时，g'（x）0；当x1时，g'（x）0故，所以当x0时，2x0x0，因此，即h（x）在递增从而当1x1x0时，h（x）h（x0）=0，即，故得证请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（为参数）（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|BN|的值【解答】解：（1）点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，由直线l过点A可得，故，直线l的极坐标方程为sin+cos=8，直线l的直角坐标方程为x+y8=0曲线C1的参考方程为（为参数）根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，（2）由（1）知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）又曲线C1的普通方程为把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得：，依据参数t的几何意义可知选修4-5：不等式选讲23设a0，b0，且求证：（1）a+b2；（2）a2+a2与b2+b2不可能同时成立【解答】证明：（1）由，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有，即a+b2（2）假设a2+a2与b2+b2同时成立，则a2+a2且b2+b2，则a2+a+b2+b4，即：（a+b）2+a+b2ab4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b6而a+b2，因此（a+b）2+a+b6，因此矛盾，因此假设不成立，原结论成立第27页（共27页）