高中数学必修五数列知识点.doc
Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学必修五数列知识点数列复习一、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(2)等差、等比数列的定义(3)等差、等比数列的通项公式(4)等差中项、等比中项(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法二、方法总结1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中，、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法3求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等三、知识内容：1.数列数列的通项公式： 数列的前n项和：1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式例1.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式.当时，,当时，,经检验 时 也适合,2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。等差数列的判定方法:来源:学*科*网（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 （2）等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。等差数列的通项公式：如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。说明：该公式整理后是关于的一次函数。等差数列的前项和： 说明：对于公式整理后是关于的没有常数项的二次函数。来源:学#科#网Z#X#X#K等差中项：来源:Z_xx_k.Com如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质：（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有来源:Z*xx*k.Com（2）对于等差数列，若，则。（、），则也就是：，如图所示：（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示：例7.等差数列a n中，已知，a n =33，则n为（ ）(A)48 (B)49 (C)50 (D)51例12.已知等差数列满足,则有( ) 例13. 已知数列的前项和，求证:数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式.解：,当时,时亦满足 , 首项且 成等差数列且公差为6、首项、通项公式为 3.等比数列等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）。等比中项：如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么，即。等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 来源:学科网ZXXK（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。等比数列的前n项和： 当时，等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有对于等比数列，若，则也就是：。如图所示：若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：例8.在等比数列中,则例9.和的等比中项为( ) 例10. 在等比数列中，求，解：是与的等比中项，例11.在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 4.数列前n项和（1）重要公式：；（2）等差数列中，（3）等比数列中，（4）裂项求和：；（）五、例析数列求和的常用方法数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。本文例析了一些求和的方法，仅供参考。（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式的推导。 （二）错位相减法：这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列。（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。例3已知数列满足，求其前项和。（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如 、等公式。（五）拆项（裂项）相消法：若数列能裂项成，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。例5已知数列满足，求数列的前项和（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。例求数列的前项和（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意的奇偶性。例7已知数列，求数列的前项和（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分为奇数、偶数进行讨论。例8若，求数列的前项和（九）利用周期性求和：若数列，都有（其中,为给定的自然数，），则称数列为周期数列，其中为其周期。来源:学科网例9已知数列中，求其前项的和.（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。例10求数列前项和，其中.（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。例11求，的和-
