一阶微分方程解法研究.doc

新疆农业大学专业文献综述题目 一阶微分方程解法研究姓名 学院 数理学院专业 数学与应用数学班级 数学与应用数学101班学号 104131135 指导老师  摘要本文运用罗尔定理，零点定理，拉格朗日中值定理，极值定理，泰勒公式来研究一阶微分方程的解存在性，唯一性，总结了3种根的存在性及唯一性的证明思路，并举例给以应用，进一步对方程解的个数进行了讨论关键词：解的存在性；解的唯一性；解的个数1.1 引言研究微分方程解的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的情况。牛顿建立微积分的同时，又简单的研究了微分方程用级数求解，后来瑞士学家雅各布贝努利，欧拉，法国数学家克雷洛，拉各朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。 微分方程的存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的，本文主要来讨论方程是否有解，如果有解，是否唯一呢？如果不唯一，解的个数又是多少呢？第二章 一阶微分方程解的研究研究方程的解，关键是看方程的根是否存在，若存在，是否唯一，若不唯一，那么方程的解是几个呢？ 2.1 关于方程的解（或的零点）存在性的证明思路 知道在a b或(a b)上连续，而没有说明是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零值定理证明 做出的一个原函数。证明满足罗尔定理的条件，从而得出的零点证明。 用反证法证明 例1： 设在a b上连续，=0， 证明:在(a b)内至少存在一点，使得分析 本题仅在a b上连续，因而只能用零值定理证明 证：由假设与同号，不妨设由导数定义有 由极限定理知一个 当 时 有 又=0 必定 同理 由 ，一个 当 时， 有令 0 ， 则当时， 当时， 又显然 在（）上连续 ， 由零值定理，在（）内，从而在（a b）内至少 一个，使得 0 例2 ：设，在闭区间 a b 上连续，在（a b）内可导，且对于（a b）的一切x 有 证明 ：方程=0的两个相邻的根之间至少有=0的一个实根证明：设（a b）,且是=0的两个相邻的实根，若（） 没有的实根，则可以在对函数应用罗尔定理，于是存在（），使得 则有式子 与题中的条件相矛盾，则有命题得证 2.2 方程=0的解的唯一性的研究， 我们了解一下存在唯一性的定理 ，定理如下：如果在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程 (1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里 （利用罗尔定理证明=0至少存在一个解; 利用函数单调性证明=0最多有一个实数解; 也可以利用反证法来证明=0最多有一个实数解.下面的例题给以说明上面的证明唯一性的思路:例3：设函数在闭区间0 1上可微，对于0 1上的每一个x，函数 的值都在开区间（0 1）内，且，证明：在（0 1）内有且仅有一个x，使=x证明 ：令，由题设知道在0 1上连续又由于，所以，由闭区间上的连续函数的零值定理可知：在（0 1）内至少一点x，使 =0，即另：用反证法证明在（0 1）内至多有一个零点，若不然 （0 1），且，使得，,由拉格朗日中值定理，至少存在一个，使得与题中的条件 相矛盾综上所述，在（0 1）内有且仅有一个x，使=x.例4：设在1 上处处有 且f(1)=2,f(1)=-3，证明：在（1 ）内方程=0仅有一个实数解证明： 把在x=1处展成一阶的泰勒展式,因此= 由题中的条件，则， 于是，有， 可知，取时，又， 由罗尔定理可知，使 即方程=0，当时，方程有实数解.又由题设时处处有，所以是单调递减的于是，当时 可知，当时是严格单调递减函数，因此最多有一个实数解，综上所述，在（1 ）内方程=0仅有一个实数解。2.3 对方程的解的个数的讨论方程根个数讨论的一般步骤如下： 求出的拐点和的不存在点划分的单调递减性区间; 求出各单调之间的极值（或最值）; 分析极值（或最值）与x轴的相对位置。 下面的例题给以应用. 例5：讨论方程，（）的解解： 令，则 ,i）当时，因此可知，是单调递增的函数,而 ，由罗尔定理及单调性可知，在（）内存在且仅存在一个，使得，即 ,所以;三 应用举例例1 解方程. （10）解 方程（10）可化为，此时,，则,，所以不存在只与或有关的积分因子由于，取,则有 .则根据定理1，方程（10）有只依赖于形式的积分因子.于是方程（10）有积分因子. 例2 求解方程. （11）解 方程（11）可化为 令,则 ,，所以不存在只与或有关的积分因子由，取 ，则有.根据定理2,方程（11）有只依赖于形式的积分因子.设，求得原函数.于是方程（11）有积分因子 ，进而可求得其通解为 .例3 求解方程. (12)解 ,则,可得.取,.则有 从而由定理知方程有积分因子 .文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索参考文献1王高雄,周之铭等 常微分方程M.北京.高等教育出版社.2001年3月第三版；2华东师范大学数学系 数学分析M .北京. 高等教育出版社.2001年7月第三版；3同济大学数学系研究室 高等数学M.北京.高等教育出版社.2001年6月第四版。