函数极值的求法毕业论文.doc

毕业论文题 目: 函数极值的求法 系 别: 数学系 专 业: 数学教育 班 级: 10级（2）班 学 号: 131002055 姓 名: 指导老师: 2013年4月 4日 目 录1. 一元函数极值的求法11.1 费马定理11.2 稳定点21.3 极值的第一充分条件21.4 极值的第二充分条件21.5 极值的第三充分条件21.6 求一元函数极值的步骤32. 二元函数极值的求法42.1 极值必要条件42.2 极值充分条件42.3 求二元函数极值的基本方法43. 多元函数极值的求法83.1 普通极值问题93.2 条件极值问题 113.3 求条件极值的步骤13参考文献15致 谢16 函数极值的求法摘 要：这篇论文主要讨论了函数的极值问题，包括一元函数极值，二元函数极值，多元函数极值，以及条件极值拉格朗日方法等.本文以定理的形式给出了一元函数、二元函数，以及多元函数的求解方法.同时也给出了求多元函数条件极值的拉格朗日乘数法.关键词：极值、极值点、稳定点、拉格朗日 Abstract: this paper discusses the issue of extreme value of function, including the extreme value of a function, binary function's extremism, extreme value of function of many variables and Lagrangian methods for conditional extremism. This form of the theorem gives a unary function binary function and method for solving multivariate function. It is also seeking conditional extreme value of function of many variables are given Lagrange multiplier method.Tags: extreme, extreme points, a stable point, Lagrange引言：在生产实践、科学实验和社会生活中，经常遇到待解决“最好”、“最大”、“最省”、“最小”等问题，这类问题可归结为数学中的最大值和最小值，函数的极值和最值有一定的联系，可以为求函数的最值作一定的参考.函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数形态的一个重要特征，多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用.对函数极值问题求解方法的探讨有利于我们解决现实生活中的很多最优问题.本文就函数极值的问题进行了一些探讨，总结了一些求函数极值的方法，包括一元函数、二元函数、多元函数的极值求解方法，深化了课本中的一些定理和概念，为更好的解决现实中的最优问题提供了一些参考.1.一元函数极值的求法 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征，那么对一元函数的极值问题我们该怎样解决呢？定义： 设函数，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。若函数在点处可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.1.1 费马定理设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导.若点为的极值点，则必有 1.2 稳定点我们称满足方程的点为稳定点.对于函数，点是稳定点，但却不是极值点.1.3 极值的第一充分条件 设在点连续，在某邻域内可导. 若当时，当时，则在点取得极小值； 若当时，当时，则在点取得极大值.1.4 极值的第二充分条件设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且， 若，则在取得极大值；. 若，则在取得极小值.1.5 极值的第三充分条件设在的某邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且 ，则 当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值；. 当为奇数时，在处不取极值.1.6 求一元函数极值的步骤 1. 求函数的导数；2. 令，解出稳定点；3. 判断两侧的符号，找出局部极值点；4. 根据极值的第二充分条件进行判断； 5. 根据极值的第三充分条件进行判断.例1 求的极值点和极值 解 在上连续，且当时有 易见，为的稳定点，为的不可导点.这两点是否是极值点，需作进一步的讨论.不存在递增递减递增由上表可以看出：点为的极大值点，极大值；为的极小值点，极小值.例2 求函数的极值 解 由 得 得稳定点为或 又 于是 故是的极大值点，极大值，是的极小值点，极小值.例3 试求函数的极值 解 由于 得 则，故不是的极值点；，故是的极小值点；，故是的极大值点.所以极小值，极大值.2. 二元函数极值的求法以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题，那么对二元函数极值的问题我们又该怎样解决呢？定义： 设函数在点的某邻域内有定义.若对于任何点，成立不等式 （或）则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值点.极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.2.1 极值必要条件若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有，反之，若函数在点满足上式，则称点为的稳定点.需要说明的是与一元函数的情形相同，函数的偏导数不存在的点上也有可能取得极值,如函数在原点无偏导数,但在原点取得极小值.2.2 极值充分条件 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令,令, , 则在处是否取得极值的条件如下: （1），时,在取极大值；（2），时,在取极小值；（3）时,在不取极值.（4）时,不能肯定在是否取得极值.证明 记 将按照具有拉格朗日型余项的泰勒公式展开到第二项,结合稳定点条件有(1.2)令，由二阶偏导数的连续性,有，时，、均趋于0.令 ,其中 ,于是有(1.3)(1)时这时,故，(1.3)式括号中前三项可表示为 (1.4)显然(1.4)式恒不为零,且与A同号.其绝对值为内的的连续函数，有最小值.另一方面,时,由于、均趋于0，则对一切都有， (1.5)只要充分小.因此：时,函数取极小值；时,函数取极小值.(2)时(I)若，仍可利用(1.4)的变换.时,内表达式变为,故为正.反之，若由条件 ()确定，则内将变成，故为负. 充分小时，(1.3)式括号中后三项，不论在或时都可成为任意小，故的符号即由前三项的符号决定. 这样，在被考察的点的任意近处，在由角度及确定的射线上，有异号的值.因此，在这点，函数不可能有极值.(ii)若，(1.3)式括号中前三项就变成此时必有,故可这样来确定使，于是，当及时，上面的三项式就有相反的符号，讨论可同上面一样完成.所以，时，在取极值，有极大值，有极小值；时，在取不到极值，定理证毕. 2.3 求二元函数极值的基本方法（1）利用函数极值的定义求极值（2）利用函数极值存在的充分必要条件求极值，则求的极值的一般步骤为:解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点；对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值；确定的符号，按定理2的结论判定是否是极值，是极大值还是极小值；考察函数是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极值点。例1 解 解方程组得稳定点，由于，故极值不存在.例2 .解 解方程组解得稳定点及.在处，,.于是,故在取得极大值 .同法可得函数在点取得极小值.例3 造一个容积为的长方体盒子，如何设计才能使所用材料最少？解 设盒子的长为，宽为，则高为故长方体盒子的表面积为这是关于的二元函数，定义域为 由，得驻点根据问题的实际意义，盒子所用材料的最小值一定存在，又函数有唯一的驻点，所以该驻点就是取得最小值的点即当时，函数取得最小值，也即当盒子的长、宽、高相等时，所用材料最少3. 多元函数极值的求法 以上我们分别解决了一元函数极值问题和二元函数极值的问题，进而推广，面对多元函数的极值问题我们又该如何进行分析解决呢？3.1 普通极值问题 设是集合上的函数，如果对，存在在中的邻域，使得，恒有 则称为在上的局部极大值（极小值），称为的局部极大值（极小值）点，如果是开集，则称为普通极值点，否则称为条件极值点. 定理1 如果是的普通极值点，且 在存在偏导数，则证明 是内点，因而是一元函数的极值点，因此定义：设在区域上处处存在偏导数，如果在点成立，则称为的判别点.如果为的极值点，则其实的判别点，但反之并不成立.例：令，则，但并不是的极值点.与一元函数相同，我们需要利用在判别点处的二阶Taylor展开来讨论所给判别点是否是极值点以及是什么样的极值点.为此我们需要下面的引理引理：设阶对称矩阵是正定（负定）的，则存在，使得对任意，恒有 证明 中单位球面是有界闭集，因而是紧集，上的函数连续且处处不为零，因而在上 达到最小值，设为，则对任意恒有 引理得证.定理2 设是在区域内的判别点，若果在的黑赛（Hesse）矩阵是正定的，则是的严格极小点，如果是负定的，则是的严格极大点，如果是不定的，则不是的极值点.证明 设正定，取满足上面引理，将在点作二阶Taylor展开，由是判别点得由于在趋于时是无穷小，因此存在的邻域，使得时，得，是的严格极小点.如果不定，则存在维向量和，使得，而，令，则充分小时和都在内且充分小时，因此不是极大值点，同理 在充分小时小于零，因此不是极小值点，得不是极值点.3.2 条件极值问题 我们把附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.条件极值问题的一般形式是在条件组 ， 的限制下，求目标函数 的极值. 在一般情况下要从条件组中解出个变元并不总是可能的，下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 我们从，皆为二元函数这一简单情况入手，欲求函数 的极值，其中受条件 ： 的限制. 若把条件看作所满足的曲线方程，并设上的点位在条件下的极值点，且在点的某邻域内方程能唯一确定可微的隐函数，则必定也是的极值点，故由在可微，在可微，得到 而当满足隐函数定理条件时 把代入后又得到 从而存在某一常数，使得在处满足 如果引入辅助变量和辅助函数 则中三式就是 这样就把条件极值问题，转化为讨论函数的无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日乘数法，中的函数称为拉格朗日函数，辅助变量称为拉格朗日乘数.对于由，两式所表示的一般条件极值问题的拉格朗日函数是 其中，为拉格朗日乘数，并有下面定理设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中与在区域内有连续的一阶偏导数.若的内点是上述问题的极值点，且雅可比矩阵的秩为，则存在个常数，使得为拉格朗日函数的稳定点.3.3 求条件极值的步骤如下： 作拉格朗日函数 ； 分别令 ，得到相应的方程组； 解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定.例 求函数在条件下的极值 解 构造函数解方程组得，故点是函数的可能极值点因为只有唯一的一个驻点，且问题的最小值是存在的，所以此驻点(5, 3)也是函数的最小值点最小值为(万元)例6 求函数在条件及下的极值解 作拉格朗日函数 令 得解得，或，将上式代入得其值分别为和，故原函数在其条件下的极大值为，极小值为，不是极值.例7 已知，其中，求在条件下的极小值 解 作拉格朗日函数 令 得 ， ，将所求的，代入原方程可得故所求的的极小值为.参考文献1 邝荣雨等编著：微积分学讲义（第二版）第一册，第三册，北京师范大学出版社，2006 年6 月2 卓里奇编著： 数学分析（第四版）第一，二卷，高等教育出版社，2006 年12 月3 陈公宁编著：矩阵理论与应用（第二版），科学出版社，2007 年8 月4 华东师范大学数学系编：数学分析（第三版）上册，高等教育出版社，2001年6月5 华东师范大学数学系编：数学分析（第三版）下册，高等教育出版社，2001年6月6 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编：高等代数（第三版），高等教育出版社，2003年97 同济大学数学教研室编：高等数学（第三版）下册 致 谢在大学三年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余，自身综合能力也得到了极大限度的提高.在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师连玉平，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.感谢和我一起走过大学三年的好朋友们,是他们一路的陪伴与爱护，才有了我现在的成绩.他们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情他们的待人处事，治学态度将会影响我的一生.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！ 2011年4月4日 17