乒乓球赛问题-数学建模题.doc

东华理工大学数学建模一周论文论文题目： 乒乓球赛问题 专 业：核工程与核技术班 级：1410401指导教师： 黄 涛 2016年1月7日摘要 “乒乓球赛”数学模型是根据参赛人出场顺序不同，来探讨如何有效地获取最大几率的胜利。就我们所知道的，在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，因为五局三胜制更能体现运动员的综合能力。如何最大可能获取胜利，是每个队共同追求的，建立乒乓球模型，可以帮助我们更快解决这一难题，乒乓球的建模问题可以与数学的建模问题联合起来。以“五局三胜制”进行乒乓球赛，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果，所以合理的安排是取得成功的关键。题中所给矩阵也只是打满五局A队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有不同的结果。当站在A队的角度，分析采取不同的出场方案。对“五局三胜制”的乒乓球赛，我们进行了假设、分析、建模、解模。A队以i次序出场、B队以j次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举，比较双方的实力。从矩阵中可知，A队以i次序出场而B队以j次序出场，则打满5局A队可胜局，A、B两支队伍实力的强弱与胜利的次数有关，由A队在5局比赛中获胜的概率分布为： , k=0,1,2,3,4,5 ,然后计算五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：在矩阵中A队以i次序出场、B队以j次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率。建模目的：通过两支乒乓球队过去所比赛胜负的记录来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析，最后以本次预测方式为基础，对乒乓球比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。问题重述1. 背景： 两队乒乓球比赛，由于各队员的不同出场顺序也是不同，导致比赛的结果也不同。基于以上问题，讨论不同队员出场顺序比赛对于比赛结果的影响。2. 问题： A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为 和）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场，则打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下：（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3） 如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？ 问题分析    乒乓球比赛对阵双方谁获胜可以看作是概率问题。根据题目意思，两队各派3名选手上场，并各有3种出场顺序（分别记为和）。而且根据以往经验给出了打满5局A队可胜的局数构成的矩阵（如题图）。我们可以通过这个矩阵求出在双方某种出场顺序下，A队每一局获胜的概率，并求出对应矩阵。由于是五局三胜制，获胜情况包括：1.前三局获胜，整场结束。 2.打完四局后才结束，即前三局只赢了两局。 3.打完第五局后才结束，即前四局只赢了两局。我们进而可以求出整场比赛下来，A队获胜的概率。      对于问题一，我们可以通过比较对阵双方在各种出场顺序情况下，赢得整场比赛的概率平均值来判断哪一方的实力更强。      对于问题二，我们可以求出每队在选择某一出场顺序下，赢得整场比赛的概率，这其实可以看成是条件概率的问题。概率平均值大的即为所求的稳妥方案。例如A队选择a1出场方案的情况下赢得整场比赛的概率，求出在B队以各种出场方案情况下，A队获胜概率的平均值，若此平均值比a2,a3的情况下大，则对A队来说，a1方案即为稳妥方案。在这里，还要求出B队的各种矩阵。  对于问题三，与问题二类似，较为稳妥的方案即为所要的方案。 对于问题四，由于比赛存在还没有打满五场就结束的情况，因为比赛是采取五局三胜制的，如果在还没打完五局的情况下比赛就结束了，那么接下来的比赛就没有进行下去的必要了。 模型的假设和约定1. 假设各队的队员都正常发挥。2. 不考虑外界因素对于各队员发挥的影响。3. 双方各队员的出场顺序都互补影响，相互独立。符号说明 ：A队的选手：B队的选手：A队获胜的概率 ：A队最后获胜的概率：在打满5局，A队可胜局数的矩阵。： 在打满5局，B队可胜局数的矩阵。: 在打满5局，A队每局可胜的概率矩阵。: 在打满5局，A队最终可胜的概率矩阵。: 在打满5局，B队每局可胜的概率矩阵。: 在打满5局，B队最终可胜概率的矩阵。模型的建立A队打满五局时A队可胜的局数局的矩阵已知：由此我们可知B队打满五局时B队可胜的局数局的矩阵如下：对于A队，由R矩阵可以求得矩阵R1，= 同理对于B队： 比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。 下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：一、A队最后获胜，可以分成下列几种情况：令（1）A队前三局获胜。这种情况的概率为 ；(图中为A队赢)赢赢赢（2）在前三局中A队胜二局，B队胜一局，第四局A队又胜一局。这种情况的概率为；赢赢输赢赢输赢赢输赢赢赢（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为；赢赢输输赢赢输赢输赢赢输输赢赢输赢赢输赢输输赢赢赢输赢输赢赢把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率 。将 各数值代入上式，可以计算出A队最后获胜的一个矩阵二、对于B队，最后获胜，可以分成下列几种情况：令;同理由上可知B队获胜情况可分为三种。（1）B队前三局获胜。这种情况的概率为 ；（2）在前三局中B队胜二局，A队胜一局，第四局B队又胜一局。这种情况的概率为 ；（3）在前四局中B队胜二局，最后B队又胜一局。这种情况的概率为 ；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率 。将 各数值代入上式，可以计算出B队最后获胜的一个矩阵。问题1： 最后平均获胜概率为：A队 B队 取p1,p2中大者所属队即为实力更强的。问题2： 对于A队，若选用出场顺序，平均获胜概率为； 若选用出场顺序，平均获胜概率为； 若选用出场顺序，平均获胜概率为； 对于B队，若选用出场顺序，平均获胜概率为 ； 若选用出场顺序，平均获胜概率为 ； 若选用出场顺序，平均获胜概率为 ； 稳妥方案即为选平均获胜概率最大的那种出场方案。 即：A队选用，中较大的那种出场顺序。 B队选用，中较大的那种出场顺序。问题3： 此问题类似问题2，选用较为稳妥的方案即是。问题4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。 模型求解问题1： 依题目所给的数据，, 。 问题2： 依题目A队所给的数据， 所以A队最稳妥的方案是出场顺序。 依题目B队所给的数据 所以B队最稳妥的出场顺序是出场顺序。所以当A队以，B队以出场顺序，时，找到对应的R2，或者Q2矩阵，得知，最终将是A队获胜。问题3： 由问题2，知在稳妥的方案下，A队获胜的概率为1，所以会选用以 的出场顺序参赛。问题4： 此问题将在模型优缺点分析中讲述。模型优缺点分析比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。优点： 虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场方案。缺点： 这只是在打满五局的情况下得到的，并不符合实际参赛规格，因此以上处理也仅供参考，但并不能完全凭借。 建模的推广及进一步讨论 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。众所周知，任何项目的体育比赛，其结果都会受到许多有关因素的影响，而这些因素又可以分为两类：一类是随机因素，例如参赛各方的临场发挥，比赛时的天气情况等；另一类是确定性因素，例如参赛各方的总体实力，比赛所采用的规则、赛制等。由于随机因素是人们无法控制的，所以人们总是在确定性因素例如比赛规则方面经常改进，以使得比赛更加精彩合理。作为体育赛事的组织者，除了尽可能地使参赛各方在平等条件下进行竞争之外，很重要的目标之一就是设法使比赛结果最大限度地体现出各队的真实水平。从数学观点看，就是要使得比赛中强队获胜的概率达到最大。就比赛中采用的规则而言，许多项目的比赛经常采用五局三胜制。而在“乒乓球赛”数学模型是通过参赛人出场顺序来探讨如何有效地获取更大几率的胜利，在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，五局三胜制更能体现运动员的综合能力, 乒乓的建模问题与数学的建模问题联合起来看的，可以通过以往的经验，在凭借以往的数据上通过计算预测对方和自身的实力，这样从而更好指导现实中生活，有计划、准备的训练队员，这在现实生活中是非常有必要的。 针对其他赛事，如网球，排球，以及其他的，我们也可以采取上述类似的方案，建立相应的模型，从而找到优解。 九、参考文献【1】陈汝栋,于延荣. 数学模型与数学建模（第2版）国防工业出版社2009.5 【2】罗万成. 大学生数学建模案例精选 M.成都：西南交通大学出版社，2007。 【3】李尚志. 数学建模竞赛教程 M.江苏：江苏教育出版社 1996 【4】马莉. 数学实验与建模清华大学出版社 2010.1 【5】百度文库。四、 附录数学建模评分表学生姓名：_、_、_ 班级：_学号：数学建模题目：项目内容满分实评选题能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求。（3人一题）5工作量适中，难易度合理10能力水平能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力10理论依据充分，数据准确，公式推导正确10能编程，资料搜集录入、加工、排版、制图等应用计算机软件进行10能体现创造性思维，或有独特见解10成果质量模型正确、合理，各项技术指标符合要求15摘要叙述简练完整，假设合理、问题分析正确、数学用语准确、结论严谨合理；问题处理科学、调理分明、语言流畅、结构严谨、版面清晰15论文主要部分齐全、合理，符合统一、编号齐全。格式、绘图、表格、插图等规范准确，符合论文要求10字数不少于2000字，不超过15000字5总分100指导教师评估： 指导教师签名： 年 月 日怎样写作数学建模竞赛论文一 如何建立数学模型建立数学模型的涉骤和方法建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：1. 形成问题要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。2. 假设和简化根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素)，忽略次要的因素。此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化3 .模型的构建根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。4. 检验和评价数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。这里包括：(1).数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；(2).适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；(3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。5. 模型的改进模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。针对发现的问题作出相应的修正。然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。6. 模型的求解经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。这种能力的培养要依靠长期的积累。此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。二 写作数学建模竞赛论文应注意的问题：1. 论文格式论文的封面：题目 参赛队员： 指导教师：单位：论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：一. 问题的提出二. 问题的分析三. 模型的假设四. 模型的建立五. 模型的求解六. 模型的检验七. 模型的修正八. 模型的评估九. 附录以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。例如：问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。2. 审题：赛题一般有两道(研究生的竞赛有4道题)，我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。因此，首先必需弄清题目的意义。数学建模的题目有时很长，有时很复杂。不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。因此我们要求：(1). 深刻理解题意(2). 弄清题目的实际背景(3) 正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。3. 当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。下面的几项工作是必需要做的：(1). 在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。(2). 列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。(3). 列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。(4). 给出研究对象的关键信息内容。4 . 在分析问题的基础上，提出合理的假设模型是在假设的前提下建立起来的。对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：(1) 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。(2) 所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考(3) 假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？a .假设应合乎生活常识。b. 假设不能与已知的科学定律相悖。c. 假设必需是对建模有用的。d. 尽量使用数学的语言。e. 假设不要超出题目要求的范围。假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力，提出适当的、合理的、有创新的见解。如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。5 在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。在建立模型之前要引进变量及其记号。每个字母所表达的确切含义。经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。在建模过程中要注意以下几个问题：(1) 要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。(2) 上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。(3) 需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。6. 模型的求解把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求解多数是数值求解。在求解时应对计算方法有所说明。使用何种数学软件，给出计算程序(通常以附录形式给出)。有时还用图形或表格形式表出计算结果。有些模型还要作稳定性或灵敏度分折。7. 模型的检验数学模型未必都是正确的，这就需要检验，如何检验 (1) 检验是否符合生活常识；(2) 用己给的数据检验；(3) 用分析推理检验。8. 模型的评估(1) 模型的优缺点 对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不要过分谦虚，也不要过分誇张。(2) 模型的推广,模型的适用范围。对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模型的变化。还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得结果。甚至可以拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。9. 论文写作中语言表述应注意的问题。语言是构成论文的基本元素，数学模型论文的语言与其他科学论文的语言一样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。语言中应多用客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。要特别注意以下几点：(1) 语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。(2) 不要随意造句。(3) 不要用倒装句(4) 要通俗易懂10. 如何写论文摘要竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。摘要不是提纲，摘要应把论文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清楚。让人看到论文的新意。摘要是给读者和评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖的重要因素。从98年开始，由于参赛规模的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规定论文摘要写祥细一些(研究生的也一样)。即评阅论文时，先看摘要，如果看了你论文的摘要, 认为这篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。因此希望大家要十分重视论文摘要的写作。最后论文要用计算机打印出来，装订好连同电子版上缴，论文一律用A4打印。数学建模竞赛为大学生(研究生)提供了一个表达聪明才智的舞台。你们有这样的机会应该感到高兴。希望大家发扬赶想、赶干，勇于创新，不畏困难的精神。多用形象思维的方法。什么是形象思维，李大潜院士举了两个非常生动有趣的例子：一个是毛主席诗词的“渔家傲”词的最后一句“换起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱”用了共工头触不周山的故事。毛主席的原词是：渔家傲 反第一次大“围剿” 一九三一年春万木霜天红烂漫，天兵怒气冲霄汉。雾满龙冈千嶂暗，齐声唤，前头捉了张辉瓒。二十万军重入赣，风烟滚滚来天半。唤起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱。关于共工头触不周山的故事：“淮南子.天文训”：“昔者共工与颛顼(zhuanxu)争为帝，怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。天倾西北，故日月星辰移焉；地不满东南，故水潦尘埃归焉。”。毛按：诸说不同。我取淮南子.天文训，共工是胜利的英雄。你看“怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。”他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。毛主席亲自加了按语，说他用了维南子.天文训的典故：“怒而触不周山，天柱折，地维绝”。毛主席写道：“他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。”这就完全是一种形象思维。若按形式逻辑，“他死了没有呢？”没有说，就存在两种可能性：一是死，一是活：如果再细分一下，活的当中还可分为未受伤、受轻伤、受重伤、伤重垂危等等情况。这样一来，诗味就完全没有了。而毛主席用形象思维，从“没有死”，到“看来没有死”，到“确实胜利了”， 思维大踏步跳跃前进，为他的诗作提供了依据，也充分表现了对一个英雄的歌颂和崇敬的心情，使诗意得到了升华。李大潜院士说：在文学与诗的境界里，如果滥用逻辑思维，就会失去诗的意境，味同嚼蜡。他举了另一个例子，李商隐(晚唐时期著名诗人，特别专长写爱情诗)的爱情诗是很有名的，他的一首“无题”是这样写的：相见时难别亦难，东风无力百花残。春蚕到老丝方尽，蜡炬成灰泪始干。晓镜但愁云鬓改，夜吟应觉月光寒。逢山此去无多路，青鸟殷勤为探看。对首句“相见时难别亦难”。一本唐诗三百首中是这样解释的：“无见也无别。正因为相见不易，所以离别也觉难得了。实有互文意”。李大替院士说，这位先生于其说是诗家，还不如说是形式逻辑的信徒。按他的说法，对这句诗可以写出一个数学模型：离别次数=相见次数，因为相见次数少(难)，故离别次数也同样少(难)。这哪里还有诗味，哪里看得到那种难分难舍而又刻骨铭心的离别之情。一句好诗给他这么一解释就被破坏无遗了。数学家要重视逻辑思维，又要看到逻辑思维的的不足，注意从形象思维中汲取营养。这不仅是为了做诗作文，更重要的，在数学上要作出出色的创造，要提出新的数学思想、概念、理论和方法，不能单靠简单的逻辑思维，而要有思维的跳跃，要有发散的思维，要敢于想象，大胆猜想，突破前人的成果及思维模式，才能有大的发明创造。数学建模竞赛要鼓励形象思维，发扬同学的创造精神和创造力，几年来通过开展数学建模教育和数学建模竞赛出现了大量的优秀成果和人才。我也希望我们同学在思维数学模型的时候，多从形象思维的方式去考虑问题，这样才会写出有新创意的好文章。最后再谈一个问题，就是如何入手？很多人都提出这个问题。我的回答非常简单就是四个字“模仿借鉴”。模仿是所有科学研究工作的最基本的方法之一。模仿不是抄袭，在前人成功的基础上，借鉴别人的经验知识，结合当前的实际，加以修正、提高，提出新的看法和论点，这就是创新。当问题出现后，如果你还不具备相关的知识和解决问题的办法，而又没有时间获得这些知识时，最好的办法就是查找相关的科学文献资料，借鉴别人的做法和思想。当然不能生搬硬套照抄，要结合自己的实际进行修改创新，要注明文献资料的出处(在附录中标明)。所以希望大家要学会又快又好地查找资料的方法，现在大多在网上查找，但要注意辩别真伪，要采用有一定知名度、权威性的刊物和人物的文章。17