不确定性桥梁车辆系统动态分析的模型.docx

中文译文：不确定性桥梁车辆系统动态分析的模型摘要本文提出了关于车桥不确定的相互作用动态分析方法。把一座桥模拟成一简支梁欧拉伯努利简支梁，移动荷载作用在其顶部。该荷载随着时间的变化产生不同的变异系数，这被认为是高斯随机过程。车桥系统的数学模型,建立在系统的有限元模型上,其中KarhunenLoeve扩展代表高斯随机过程，用Newmark-方法来解决系统方程。文中提出的方法与蒙特卡洛法相比,，在力的作用下均值和结构反应的结果是非常准确的。和蒙特卡罗方法的比较，文中提出的方法在计算效率也有优异的性能。S.Q. Wu, S.S. LawCivil and Structural Engineering Department, Hong Kong Polytechnic University, Hunghom, Kowloon, Hong Kong, China文章历史：2009年3月24日初稿完成2010年1月9日修订完成 2010年5月20日发表关键词：动态；车桥系统；不确定性；移动荷载；高斯；有限元法；KarhunenLoéve扩展1.介绍近年来桥梁状态的评估在研究人员中是很受欢迎的。当一个车辆通过桥面板时,一个放大的需要加以考虑的力将会出现。受到移动车载负荷的桥梁动力响应结构已经被研究了十年之久。Fryba提出解析等截面的简支梁和连续梁。Green 和 Cebon给出了欧拉伯努利梁的动态响应在频域下使用迭代过程，来解决“quarter-car”车辆模型。类似工作被杨和林做过，两个人曾经研究过行驶中的车辆的动态互动和支护桥梁采用模态叠加技术的解决方案。Zheng et al也.研究了受移动荷载作用的变截面连续梁。梁桥模型是由Zhu and Law扩展在拉格朗日方程和模态叠加基础上通过一系列的移动荷载作用于正交各向异性板和简支矩形板的两个平行边而建成的。Marchesiello et al. 也提出了一种解析的方法, 在七个自由度车辆系统运作下以桥梁车辆系统之间的互动关系将载荷作用的连续桥面转化为各向同性。与上述工作中模态叠加的应用技术相比，用有限元分析方法来处理更复杂的桥梁车辆动态模型。Henchi et al.提出了一种高效算法来分析一座桥梁表面的动态模型，此时大量的车辆以规定的速度在桥面上行驶，作用于桥面车载轴载被描绘成使用形函数有限元模拟的节点力。耦合方程解决了在不用迭代法的情况下的桥梁车辆系统运动。类似的方法Lee ，Yhim 和Kim et al.曾经提出过。通过实验和现场分别测试数据，也有其他种类的有限元模型方法,如“移动单元法”和“移动质量单元法”,来解决移动荷载作用在框架和钢结构上的难题。虽然在车桥相互作用的问题中大多数的方法将路面不平度作为了不确定性的来源,但是传统的解决方法很准确。在ISO标准中根据其谱线密度的定义，路面不平度被认为是不规则的型材的样品。如果激振作用在不确定性桥面时，根据不同的粗糙度,不同的样品就可以获得不同的响应统计计算,并且可以完整描述桥梁车辆的动态响应系统。当从表面上看时，车桥系统经常展现一个固有的随机性。由于其中不确定性结构性能以及加载过程，传统的确定性分析一般只能解决近似的情况。此时，应该用随机分析来代替车桥系统的互动问题。近年来将桥面粗糙度的动态响应建模为高斯随机过程的研究工作已经开展进行了。由于车辆和桥梁的表面粗糙度参数认为是确定性，所以一些研究人员只考虑了随机性。这些工作主要可以分为频域法和时域方法。其他还包括移动车辆在整体质量、刚度、阻尼和移动速度上的随机性来评估结构的响应。另一个桥梁结构的随机性很少用在研究车轴的交互问题上。随机有限元方法通常用来分析模型结构的不确定性。一个单一的移动荷载作用在梁上，Fryba et al. 通过摄动刚度和被模拟成高斯随机变量期望值的阻尼来评价梁的动态响应。当不确定性数值增加时，摄动法会失去它的准确性，此时Karhunen_Loéve expansion将被采用来代表高斯随机过程。 在高斯车载荷载的作用下，这座桥的反应可能会有非高斯特性，但是可以近似看成具有高斯随机的特性。这种方法跟Ghanem 和Spanos所提出的在一个多项式的基础上通过随机有限元方法来预测非高斯随机响应特性是相似的。它是一种更普遍的能处理变量范围更广的方法.。然而,在大量的KarhunenLoeve组件的数量代表系统参数和励磁时，在解决多项式扩大的问题上，它却受指数增长的维度困扰。在车桥相互作用问题,随机激励力是一个复杂的需要大量的高频的K-L组件来表示的随机过程,因此多项式混乱数量会变的非常大。在实践中, 由于道路表面粗糙度，激振力的随机性可能会成为非常大的, 当道路状况恶劣时根据ISO标准，该力的变异系数会超过0.8,而桥梁的系统参数随机性是相对较小的。在随机有限元模型的基础上,本文提出了动态响应来计算桥梁结构，此结构是一个车轴固有的随机性系统。基于此模型的算法可以处理复杂的不确定的激发力。这座桥是模拟成一个欧拉伯努利简支梁。该简支梁顶部作用着一个移动荷载。该荷载随着时间的变化产生不同的变异系数，这被认为是高斯随机过程。使用KarhunenLoeve扩展和响应的统计数字通过Newmark-方法求解得到该系统的运动方程。数值仿真结果表明,该方法与Monte Carlo模拟吻合。第二节主要介绍车桥系统的确定性和激发力。第三节介绍的KarhunenLoeve膨胀的基本理论及应用。第四节介绍随机有限元模型车桥系统包括随机系统参数进行随机移动。第五节中给出了在实际应用中数值模拟的影响和各种因素对精度的影响。最后一节得出结论。2 系统的运行方程这座桥可以转化成多个负载移动作用的欧拉伯努利简支梁。这个方程运动可以写成是质量密度，A是截面面积，c和EI分别横梁上的阻尼和抗弯刚度; w(x,t)是位移和时间的函数；vi是移动荷载Fi.t/的速度；是拉克三角函数；是移动荷载作用的数量。厄密共轭立方插值形函数和这个假定的方程,对瑞利阻尼运动可以用桥用矩阵的形式表示Mb, Cb和Kb分别是质量、阻尼和桥梁结构的刚度矩阵； ，分别代表矢量结构结点位移，速度和加速度。HbF是等效节点负载向量的车桥系统的相互作用力。当=2的时候可以写成这种形式当NN是在考虑边界条件桥梁结构自由度的数目时，可以写成中在时间t之内力j的作用次数i， ，l是梁的长度。在移动荷载的作用下的桥的节点响应的模型能通过公式（2）直接解决。桥的位移x和时间t的关系可以表示为：在和形函数中，是向量1*n除了x作用梁的位置。3.1. 原理Karhunen_Loéve expansion的随机变量是基于它的误差协方差函数。此函数可以用下面光谱分析：其中和分别是特征值和特征向量协方差, 他们可以证明下面积分方程24的解：由于非对称性协方差,相互正交的特征，他们是正交协方差函数的代表。特征向量可以归化为以下其中是克罗内克函数。随机函数可以写成：其中是个独立的随机变量。代表的是自由度。可以表示为其中代表的是期望值。3.2 向量的随机过程随机过程可以写成：其中和可以分别表示为其中代表的是期望值。随机变量过程可以离散的等同于时间间隔，时间的次数n=T/t+1，其中T是总时间。Karhunen_Loéve中的离散矢量的随机过程可以证行为一维过程VV:协方差矩阵可以定义为：也可以写成矩阵形式:其中*n 相应的K_L expansion可以定义以下特征问题：VV的K_L表示可以为：其中是均值向量，是Karhunen_Loéve向量，可以表示为其中表示的是当尺寸是1*n时，代表的是第j个K_L组件在中的第i项。根据方程（15）（19）它们可以从Karhunen_Loéve向量中提出来。所以可以变为：均值向量4 高斯励磁系统和系统参数4.1 随机有限元算法质量密度，杨氏模量，阻尼被假定为高斯随机过程。均值，标准偏差和它们的随机组件可以表示为。随机结构的运动方程和随机激励可以被写成：其中A是截面面积，I是梁的惯性转矩，代表是自由度。公式（22）还可以写成：其中分别代表相对于结点的位移向量，速度向量和结构加速度向量。M，C，K分别是桥梁结构的质量，阻尼和刚度。分别是系统的质量、阻尼和刚度矩阵。他们可以写成：其中是组件的数量在the K_L expansion的杨氏模量中。刚度矩阵的元素构成为：系统刚度矩阵K等于其中可以等于，让，又可以得到：类似的系统的质量矩阵可以表示为：根据方程（25），瑞利阻尼矩阵是系统的质量和刚度矩阵的线性组合。阻尼矩阵可以表示为：其中分别是K_L expansion中质量密度和阻尼的组件数目；。根据方程（21），随机激振力向量可以被K_L expansion表示。其中是K_L expansion中移动荷载的数目。是K_L组件的数量。因为在方程（17）协方差的矩阵不已知的，所以根据方程（21）K_L expansion不能看成节点位移矢量。然而可是，它假定了随机性系统参数并不是很庞大和路面结构响应近似具有高斯分布的性质。因此采取的形式为：其中是相应的组件数量，受K-L的激振力和系统参数的数量所决定的。像。同样,节点的速度矢量和节点加速度向量形式为：其中分别代表对时间t的一次和二次导数。将方程（29）-方程（35）带入到方程（23）并将带入到公式的两边，在根据方程（11）的正交性质，我们可以得到：改为矩阵形式，方程（36）改为其中和可以计算解析。4.2. 响应统计通过使用Newmark-方法获得的结果来解决桥的结点响应计算。方差的结点位移可以写为：根据方程（5）桥的坐标x与时间t的关系：因此均值和方差的位移在位置x和时刻t的关系为：在方程（40）中，将的一次和二次导数代替，可以得到速度，加速度的均值和方差。通过方程（40）计算得到的结果后，在位移x和时间t影响下即可得到桥面的概率密度函数。5. 数值模拟车桥系统的模型见下图。下列是模拟桥梁性能的模型：桥面的长度L=40m；横截面面积A=4.8平方米；断面的惯性矩I=2.5498；阻尼比=0.02；弹性模量E=和质量密度=；他们有空间相关性以图表的形式显示。其中是系统参数E，a的标准偏差；两个随机弹性模量E和质量密度的假设同样的空间相关系数；这一选择是武断的，同样分析适用的情况，在随机性在弹性模量E和质量密度是完全不同的。提出了随时间变化的荷载假设为高斯随机过程的平均值。和在所有时间相同的变异系数的实例相比。这两个负荷是在一个特定的速度移动四米。这座桥模型分为八个相等单元，每个单元5米。所有单元的采样频率为200HZ。系统本身移动荷载的作用速度是40m/秒。在移动荷载作用下的梁模型统计数据与Monte Carlo相比较。这之间的误差定义为：5.1. Monte Carlo模拟验证在一万个激励力的实例采用Monte Carlo模拟进行响应统计计算。目前所提出的方法，根据方程（17）激励力的协变性能3.2章节中取得实例。K-L单元力可以从下述的特征值分析。相对lParge特征值根据标准保留该系统的协方差定义根据方程（41），得到与变异系数的关系如下图。采用特征值分析协方差系统参数，在桥梁的模型中代表每一个随机波动的领域都采用了K-L单元。通过方程（37），使用Newmark-方法，可以得到。通过方程（40），桥梁的模型响应和统计位移可以计算出来。研究确定性的激励力（）和随机性的力（）作用在梁上的结果。研究指出前者的向量力为非零。下图为梁位移的均值和方差的计算与MCS的比较。结果表明两种方法的结果基本一致。然而通过用一台奔腾cpu，主频3.0，内存为2G电脑得出文中提出的方法比理论计算方法更快。5.2. 车辆速度的影响本小节研究的是对不同层次的系统所提出的方法的确定性。通过Monte-Carlo模拟和10万个例子来证明它的正确性。又研究了确定的激励力和随机的激励力。变异系数为1%,2%，5%，10%的弹性模量E和密度在跨中统计和计算位移方法被采用。不同车速 与跨中位移的对应关系：车辆速度10203040501020304050方差均值0.0030.0090.0050.0550.550.10.080.0270.0340.0221.6331.6491.311.4551.6754.6285.1335.8124.3445.862跨中位移与百分比的关系：车辆速度1%2%5%10%1%2%5%10%方差均值0.0020.0080.0550.0890.0320.0410.0340.0990.6211.2931.4556.6243.6974.1694.3445.826跨中位移与力的关系：5%10%20%50%80%方差均值0.020.0320.0610.1530.2514.8214.3442.552.1171.81这些结果与MCS所得到的结果一致。随着系统参数随机性计算均值和相对差有点差别。当系统参数变化很小时，相对差看成方差计算是很准确的。当随机性的系统参数变大时，高斯假设是不正确的。在这种情况下,非高斯假设和多项式的结果应使用代表混乱的结果。5.4 激励效应随机性的影响当时，系统参数的变异系数是不变的。在本小节中，在激励效应的作用下，不同方法的精确性。在车桥系统互动问题上随机性的激发力往往会很大，这是因为路表面粗糙恶劣的路况，所以该力系数的变化设置为5%，10%，20%，50%，80%。在表三中根据方程（44），使跨中位移的MonteCarlo模拟方法与建议的随机力的方法相比较，对这两种方法的均值和方差进行计算，结果表明大的不确定激励力在 K-L扩张中是准确的。在平均增加值中的一个小幅的激发力，其相对差异的随机性增加，而相对误差的方差略有下降。后着表明误差的算法主要受系统参数COV的影响。当激励力的随机性很大时，从COV的系统模型效果将变得不那么重要，并从该方法的结果将更加准确。5.5 讨论该方法的好处是通过该方法使桥梁反应方便快捷地生成其他任何应用技术，例如识别反应力与结构安全评估的可靠性分析。概率密度函数的反应也可以当随机成分的响应进行计算。该方法已被证明比Monte Carlo模拟法更为有效。K-L单元的数量展现了随机过程是一个非常有效率的计算方法，它是内核选择的协方差。有最小期限的内核协方差经常被高自由度的系统选择。当单元数量或者实例的数量导致长时间的特征分析时，在方程（17）中协方差矩阵往往会变得非常大。因此数据的高采集率不能作为上述论点的结果。可以通过Fredholm方程来解决特征值计算效率的问题。本文多提出的方法只做一种参考。6 结论一种新的方法关于解决车桥系统动态分析问题的不确定性和激励被提出。当一个移动的荷载作用在桥面板被假定为高斯随机过程时，KarhunenLoéve扩展已经被用来代表在随机建模中的高斯随机过程。在假设系统随机性参数小的情况下，高斯模拟的结果可以被使用。通过Newmark-方法解决了桥梁车辆系统所建立的数学模型。该结果检验Monte Carlo Simulation是令人非常满意的。结果表明该计算方法有非常高的效率，对实际移动荷载的速度不敏感但对大激发力很敏感。虽然本文的方法是对简支梁做的实验，但这种方法可以处理更为复杂的有多个自由度的桥梁车辆系统。对于那些系统参数不确定性大的以及高阶多项式混乱的车桥系统也可采用，但已超出本文的范围。参考文献1 Fryba L. 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