高等代数试题2(附答案).doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高等代数试题2(附答案)20 至20 学年第 学期期末考试试卷科目名称：高等代数姓名：班级：考试时间：120分钟 考试形式：闭卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、 在中，向量关于基的坐标为 。2、 向量组的秩为 ，一个最大无关组为 .。3、 （维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么 。4、 假设的特征根是 ，特征向量分别为 。5、实二次型 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）2、在中，定义变换,其中，是一固定的数，那么变换是线性变换。（ ）3、设是向量空间的两个子空间，那么它们的并也是的一个子空间。（ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）5、 令是的任意向量，那么是到自身的线性变换。其中。（ ）6、 矩阵的特征向量的线性组合仍是的特征向量。（ ）7、 若矩阵与相似，那么与等价。（ ）8、 阶实对称矩阵有个线性无关的特征向量。（ ）9、 在中，若由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么是的子空间。（ ）10、齐次线性方程组的非零解向量是的属于的特征向量。（ ）三、明证题（每小题××分，共31分）1、设是线性空间的一组基，是上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。（10）2、设是维欧氏空间的一个线性变幻，证明：如果是对称变幻，=是单位变幻，那么是正交变换。（11）3、设是一个维欧氏空间，证明：如果都是得子空间，那么。（10）四、计算题（每小题8分，共24分）1、 求矩阵的特征根与特征向量，并求满秩矩阵使得为对角形矩阵。2、 求一个正交矩阵，使得使对角形式，其中。3、 化二次型 为平方和，并求所用的满秩线性变换。科目名称：高等代数姓名：班级：考试时间：120分钟 考试形式：闭卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、 （3,4,1）2、 秩为2，一个最大无关组为3、 维（）+维（）=维（）+维（）4、 特征根是1，1，2，特征向量分别为5、秩为 3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是 ）2、（是 ）3、（是 ）4、（否 ）5、 （否 ）6、 （否 ）7、 （是 ）8、 （是 ）9、 （是 ）10、（是 ）三、明证题（每小题××分，共31分）1、证明 设可逆，则存在，且也是的线性变换，（1）若线性相关，则，(2)即也线性相关，这与假设是基矛盾，故线性无关。(5)反之，若线性无关，因是维线性空间，故它也是的一组基，(7)故对中任意向量有，即存在，使，故为到上的变换。(8)若又有，使，即，因为是基，即，从而又是一一的变换，故为可逆变换。（10）2、证：,(4) = ,(8)=, (10)=0 ,（11）3、证：（1）,(5)同理， (8)则。 （10）四、计算题（每小题8分，共24分）1、解：=，则的特征根为，, (3)，它们对应的特征向量分别为， (6)易知线性无关，取，那么就得。(8)2、解：，则特征根为， (3)对应它们的线性无关的特征向量分别为， (6)他们单位化后分别为，取正交矩阵， (7)则,。 (8) 3、解 ， ，得 (2) 整理得 (4)在令， (6) ，, (8)-