仿射变换在共线共点问题中的应用数学毕业论文.doc

新疆师范大学数学科学学院2012届数学与应用数学专业毕业论文 2014届本科毕业论文仿射变换在共线共点问题中的应用 学 院： 数学科学学院 专业班级： 数学与应用数学09-（3）班 学生姓名： 指导教师： 答辩日期： 2014年 5月8 日新疆师范大学教务处新疆师范大学数2014届本科业毕论文目 录引言.2一、仿射对应与仿射变换.2二、 仿射性质.3三、仿射变换在共线共点问题中的应用.4总结.9参考文献.10+仿射变换在共线共点问题中的应用摘 要:本文从仿射几何和仿射几何的一些理论与方法出发，探讨它们在初等几何的共点共线问题.本论文分为五大部分，分别是引言，仿射对应和仿射变换，仿射性质，仿射变换再共线共点问题中的应用和总结.首先给定了透视仿射对应，仿射对应和仿射变换的定义和性质.接下来利用这些定义推出了七个仿射性质（仿射不变量）.最后利用仿射性质和仿射变换来解决几个实际图形的共线共点问题.关键词：仿射对应，仿射变换，仿射性质，共线，共点，单比. 仿射变换在共线共点问题中的应用引言仿射变换是高等几何的重要组成部分，它是从欧氏几何到射影几何的桥梁，是联结高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道.本文讲述了仿射变换及其性质，然后提到实际问题和例子再讨论仿射变换在共线共点上的应用.实际上仿射变换的应用是多种多方面的，但这篇文章中我只讨论仿射变换在共线共点问题中的应用.一、 仿射对应与仿射变换定义1.1 在平面上设有直线和,为此平面上与，均不平行的另一直线，通过直线上个点分别作与平行的直线，顺次交于,这样便得到直线上点到上点的一个一一对应，称为透视仿射对应.定义1.2 设同一平面内有条直线，如图（2）.顺次表示到，到，到的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使上的点与上的点建立了一一对应，这个对应称为到的仿射对应，用表示，于是有如果直线与重合，则到的仿射对应叫做直线到自身的仿射变换.仿此可以得到二平面间的仿射对应.平面到的仿射对应. 如图（1） 如图（2）所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果.当与重合时，称为平面到自身的仿射变换.由于仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积（称为透视仿射对应链），因此不难证明它们具有下列性质：（1） 保持同素性和结合性；（2） 保持共线三点的单比不变；（3） 保持直线的平行性.但对两个点集来讲，在仿射对应下，对应点连线不一定平行.现在也可以直接用前两个性质定义仿射对应(变换). 定义1.3 若两个平面间(平面到自身)的一个点对应(变换)保持同素性,结合性和共线三点的单比不变,则这个点对应(变换)称为仿射对应(变换).注意 在这个定义下，可以证明仿射对应(变换)保持两直线的平行性.据此还可以证明，平行四边形经过仿射对应(变换)后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应(变换)后，其长度之比不变.二、 仿射性质下面我利用这些定义推出了一些性质. 我们在高等几何中已学过仿射变换的定义和仿射变换的一些性质.它在高等几何中的作用和地位是不能小看的.它的应用是多种多方面的.如:它在共线共点问题中的应用, 在椭圆问题上的应用.等等. 定义2.1 图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）. 性质1 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.性质2 两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线.性质3 共点直线经仿射变换后仍变为共点直线.性质4 两条平行线段之比是仿射不变量.性质5 两个三角形面积之比是仿射不变量.性质6 两个多边形面积之比是仿射不变量.性质7 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.以上说过的仿射变换的7个性质之中我们只证明性质5,其他的很容易得出的所以全部忽略.证明 设在笛卡儿坐标系下,已知不共线三点,经过仿射变换后,对应点为 ，于是的绝对值 （1）的绝对值 （2）将把代入（2），得的绝对值 的绝对值 所以 同理，同理,任意其它三角形经变换后,得对应三角形.其面积之比仍为所以既两个三角形面积之比是仿射不变量.三、仿射变换在共线共点问题中的应用 仿射变换在共线共点问题中的应用是很重要的.在初等几何中有大量的命题是研究图形的仿射性质的.我们利用仿射变换的性质来解决在初等几何中关于椭圆,圆,四边形的共线共点的问题.仿射变换在共线共点问题中有什么应用呢?现在我们利用仿射性质和仿射变换来解决图形的共线共点问题.例1试证任意梯形上,下底中点,对角线交点,两腰交点共线?(1978年全国数学竞赛题). 证:设此梯形可由一个等腰梯形经过一个仿射变换T后得到如图所示： 图1.1 图1. 2等腰梯形梯形的中点的中点E的中点的中点P由 （）=（） （）=（）知点可以作出由 （）=（） （）=（）知点可以作出 显然，四点共线由结合性知四点共线 例2 的每边三等分，将每分点与三角形的对点相连，这六条线构成一个六边形，求证它们的三对对顶点连线共点 证：设可由一正经过一仿射变换得到如图： 图2.1 图2.2显然，在从点向对边所作的中线上；同理，与，所作对边的中线，上 因正的三中线共点于，所以六边形三对对顶点的连线，共点于 根据仿射变换的性质，可知，也共点于 例3 证明椭圆的外切的顶点与对边上切点的连线交于一点 图3.1 图3.2 证: 设此椭圆可由一圆经过仿射变换后得到上面图形显然圆外切正的顶点与对边上切点的连线交于一点（因为， 所以的三条高线必交于一点） 根据仿射变换的性质，由切点，分别对应切点，对应，故，交于一点例4 求证：完全四边形的三条对角线的中点共线？证 将经仿射变换变为等腰（为直角顶点），且满足题设要求如图，建立直角坐标系： 图4.1 图4.2则 因的坐标满足 故三点共线 由仿射不变性，得知命题结论成立 例5 设两条直线相交于，在其中一条上取三点使；在另一条上取三点使，则三条直线相交于一点证 设经仿射变换变为，符合题设要求以为原点建立直角坐标系（如图所示）： 图5.1 图5.2 设根据定比分点公式得 因 且 故为重心延长与交于，故为中点，得现证三点共线因 故三点共线，从而三线共点 再将此三角形经仿射变换变为原三角形，结论依然成立 上面所说总之，仿射变换在高等几何中的应用确实很重要的仿射变换实现了在高等几何中更多的方便，更多的知识路径总结放射变换是高等几何的重要组成部分，本文利用仿射变换和放射的性质来解决一些初等几何共点共线问题。本文讲述了仿射变换及其性质，然后提到实际问题和例子再讨论仿射变换在共线共点上的应用。本文对中学数学教师，中学生和大专院校数学系学生学习和钻研几何知识会起到良好的辅导和启迪作用。实际上仿射变换的应用是多种多方面的，但这篇文章中我只讨论仿射变换在共线共点问题中的应用。参考文献1 梅向明，刘增贤，王智秋 .“ 高等几何” .北京: 高等教育出版社， 2007年第二版。2，李冠堂，李厚荣，梁康健.“仿射几何及其在初等几何中的应用”. 沉阳 : 辽宁教育出版社，1991年3 梅向明，刘增贤，王智秋.“高等几何” . 北京:高等教育出版社，2008年第三版。4 周建伟.“高等几何” .苏州:苏州大学出版社，2000年.第一版。 10