函数最值问题揭发的探究毕业论文.doc

本科生毕业论文函数最值问题揭发的探究院 系： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2009级数学与应用数学(2)班 学 号： 200907110218 姓 名： 指导教师： 完成时间： 2013年5月25日 函数最值问题解法的探究 摘 要 函数最值问题是数学领域中的重要研究内容，它不仅只在教学中解决一些数学问题，而且被广泛运用于解决一些生活中的实际问题.比如在工农业生产、经济效益中，经常会遇到一些解决在满足一定条件下如何让产量最多、效益最高但投入最少之类的问题，而这些生活和经济问题一般都可以转化为数学中的函数问题来进行研究，也就是函数最值问题的探讨.这对于需要解决这些实际问题的人们来说非常重要,函数最值问题的解决包括解一元和多元函数的最值，而解法多种多样、灵活多变.本文主要从几种最常见的解法对函数最值问题进行研究探讨，探究各种不同的求解方法，阐述研究函数最值问题解法的重要性，得到求解函数最值的几种常用方法以及求解时应注意的一些问题.关键词 函数 最值 常见方法目录1 引言42 求函数最值的几种解法探究42.1定义法42.2配方法52.3判别式法72.4换元法82.5均值不等式法92.6 单调性法112.7导数法122.8 平方法132.9 数形结合法142.10 线性规划法153 求解函数最值时应注意的一些问题163.1定义域163.2值域173.3参变量的约束条件183.4判别式的运用193.5均值不等式的运用194 函数最值在实际问题中的应用22结论24谢辞25参考文献261 引言随着我们对函数学习和认识的不断深入，让我们逐渐揭开了函数神秘的面纱.看到了它诸多性质和特点，而有关函数最值问题的解法就是与函数性质和特点密切相关的重要知识点.函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分，许多学生对该问题的理解不深刻，应用它处理问题也是异常模糊，有的同学甚至不知道如何着手. 处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化.虽然解决问题的方法各种各样、灵活多变，但就其思维方式来说，通常都是将问题逐步进行转化，直到转化为一类较容易解决或者已经解决的问题，从而获得原问题的解答1.最值问题是函数研究中极为重要的一个问题，在实际生活中会遇到求最大经济效益、最短路径选取等问题，对于这类问题就可以转化为数学中求最值的问题，通过解决数学问题来最终达到解决现实问题的目的2.函数最值问题发展至今已遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在各类考试中最值问题也是热门的考点之一.因此，对函数最值问题解法的归纳总结以及创新,对我们学习函数、应用函数最值问题具有重要意义.挖掘其内在联系，能使我们更清楚的认识它，达到熟悉掌握并且应用它来帮助我们解决实际问题.2 求函数最值的几种解法探究2.1定义法函数最值的定义函数的最值分为最大值和最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M(2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值，记作ymax =M.设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)对于任意的 xI，都有f(x)m;(2)存在x0I,使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值，记作ymin=m.我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题.例1 设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题： 若存在常数M，使得对任意xR,有f(x)M,则M是函数f(x)的最大值； 若存在x0R,使得对任意xR,且xx0,有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值; 若存在x0R,使得对任意xR, 有f(x) f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值;这些命题中真命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解析 根据函数最值的定义知，是假命题；虽然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故错误，正确，实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件，故选 C.注意 利用定义解决函数最值的相关问题时，重要的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用，函数一定有值域，但不一定有最值，如函数f(x)= 的值域为 （-，0）（0，+），但它没有最大值，也没有最小值.2.2配方法如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用配方法求解.配方法是求二次函数最值的基本方法，利用配方可把二次函数的一般式 y=ax2+bx+c （a0） (1)化成顶点式 y=a(x + m)2+k, (2)其中m=,k=,从而求出二次函数的最大或最小值.如F(x)=af2(x)+bf(x)+c形式的函数的最值问题，也可以考虑用配方法.即： F(x) = af2(x) + bf(x)+c =a f2(x) + f(x) +c =a f(x) +2 +c- =a f(x) +2+ (3)例2.把一根长为4m的铁丝围成一个矩形，当边长为多少时，它的面积最大？解 设一边长为xm,则另一边长为（2-x）m,矩形的面积为ym2.根据题意： y=x(2-x) =-x2+2x =-(x2-2x) =-(x-1)2+1 当x取1时，y取得最大值，最大值为1. 该矩形当边长都为1m时，面积最大为1m2.例3.已知函数y=(ex-a)2+（e-x-a）2(aR, a0),求函数y的最小值.分析 将函数表达式按ex+ e-x配方，转化为关于变量ex+ e-x的二次函数.解 y=(ex-a)2+（e-x-a）2 =(ex+ e-x)2-2a(ex+ e-x)+2a2-2令 t=ex+ e-x, f(t)=t2-2at+2a2-2t2, f(t)=t2-2at+2a2-2 = (t-a)2+a2-2定义域为2，+）.抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,当a2且a0时，ymin=f(2)=2(a-1)2； 当a2时，ymin=f(a)=a2-2.配方法是求最值的一种重要方法，在求二次函数最值时，经常应用，应熟练掌握，值得注意的是，在有些实际问题中，还要考虑自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系.如例3中化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分对称轴与区间的位置关系，然后根据不同情况分类解决.2.3判别式法 对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当的变形，将函数转化为关于x的二次方程F(x ,y)=0的形式，使函数f(x)出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0来求出函数f(x)的最值.判别式法多用于求形如y=（a ,d不同时为0） (4)的分式函数的最值3. 在函数y=ax2+bx+c(a0)中，将其变形后,即ax2+bx+c-y=0 (a0) (xR)所以有 =b2-4a(c-y)0 (5)时，即b2-4ac+4ay0 4ay4ac- b2 当 a0时，ymin= (6) a0时，ymax= (7)例4.求函数y=的最大值和最小值.分析 本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分母恒为正，故可以应用判别式法求解.解 x2+3x+4=0的判别式 1=324·1·4=-70 x2+3x+40对一切xR成立.函数的定义为R.函数表达式可化为（y-1）x2+(3y+3)x+4y-4=0当y1时，x=0；当y1时，由xR，上面的一元二次方程必须有实根，=（3y+3）2-4(y-1)(4y-4)0,解得 y7 (y1)所以综上：ymax =7, ymin =.注意 用判别式法求函数最值时，0表示0或=0，并非此二者同时成立，因此，在利用0求出的y的取值范围时，不能随意断定ymin=a，ymax=b或ymin=b，ymax =a,还必须求出与a ,b对应的x的值，并将其代入原来的函数中进行验算，只有当x ,y的对应值存在，并满足0所求得的不等式时，才能确定为原来函数的最值.而在本例题中，对转化的（y-1）x+(3y+3)x+4y-4=0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若y-1=0,即y=1,有（3+3）x+4-4=0,所以x=0,一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2+h(y)x+(y)=0 (g(y)0)的判别式去求解0，要注意验证g(y)=0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)=0的y的值在函数的值域内，否则函数 g(y)x2+h(y)x+(y)=0变为h(y)x+(y)=0，可以根据原函数定义域求解即可.2.4换元法 换元法是通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量（或代数式），以便使问题得以解决的一种数学方法，在学习中常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数问题转化为简单函数的最值问题，达到化繁为简，化陌生为熟悉，从而求出原函数的最值.如可用三角代换解决形如a2+b2=1及部分根式函数形式的最值问题.例5.设a ,bR,a2+2b2=6,则a + b的最小值.分析 由条件a2+2b2=6的形式知，可利用换元法求a+b的最值.解 a ,bR, a2+2b2=6 令a=cos, b=sin, R. a + b=cos+sin =3sin(+). a + b的最小值是-3.例6.求函数y=x-2的最值.解 因为4-x20时，-2x2. 所以给定函数的定义域为x-2,2.令 x=2sin（-，）.则给定函数可变形为 y=2sin-2+ =2sin+2cos-2 =2sin(+)-2 -，, (+)-, sin(+)-, y=2sin-2+ =2sin(+)-2的值域为-4，0 函数y=x-2的最大值ymax=0，最小值ymin=-4注意 在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值范围，如上例题中，由原函数确定的定义域，从而确定的范围.2.5均值不等式法 设a1,a2,an是n个正数，则有n (8)其中等号成立的条件是a1=a2=an. 运用均值不等式求最值，必须具备三个条件，即“一正二定三相等”，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件.“定”是指各项的和或积为定值，“等”是等号成立的条件4. 利用不等式法求解函数最值，主要就是运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法，常常使用的基本不等式有以下几种： a2+b22ab(a ,b为实数) (9) （a0,b0） (10)ab()2（a ,b为实数）. (11) 例7.设x ,y, z为正实数，x-2y+3z=0,则的最小值为. 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值. 解 因为x-2y+3z=0, 所以y=,=.又x ,z为正实数，所以由基本不等式得=3.当且仅当x=3z时，等号成立.故的最小值为3.例8.在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)= 的图象交4_2_2_4_y_5_5_x_P_Q _y=kx_O于P,Q两点，则线段PQ长的最小值是. 图1分析 由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式整理后应用基本不等式求解即可.解 由题意可知f(x)= 的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可以设两交点分别为P(x, )与Q（-x,- ）.由两点间距离公式可得：PQ=4当且仅当x2=2时等号成立.即x=±时取得.所以线段PQ长的最小值是4.一般地，若碰到如例7一类的三元分式函数的最值问题，可将这类函数问题转化为二元函数问题来解决，在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”是我们易忽略的地方，容易产生失误.2.6 单调性法 当自变量的取值范围为一个区间时，有时也用单调性法来求函数的最值，在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况.若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个小区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值 5. 例9.设函数f(x)是奇函数，对任意x，yR均有关系f(x + y)=f(x)+f(y),若x0时，f(x)0且f(1)=-2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解 先确定f（x）在-3，3上的单调性，设任意的x1,x2-3，3且x1x2，则x2- x10.所以有： f(x2)-f(x1)= f(x2)+ f(-x1)=f(x2- x1) 0即f(x2) f(x1)所以f(x)在-3，3上是减函数.因此，f(x)的最大值是f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-f(1)+f(1)+f(1)=6; f(x)的最小值是f(3)=3f(1)=-6.例10设a1,函数f(x)=ax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a=.分析 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值.解 a1， 函数f(x)=ax在区间a,2a上是增函数， 函数在区间a,2a上的最大值与最小值分别为a2a, aa=1.又它们的差为， a2=，a=4. 故填4.解决这类问题的重要一步就是判断函数在给定区间上的单调性，这一点处理好了，以下的问题就变得容易解决了.一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间m ,n上的最值：若函数f(x)在m ,n上单调递增，则f(x)min=f(m),f(x)max=f(n); 若函数f(x)在m ,n上单调递减，则f(x)min=f(n),f(x)max=f(m); 若函数f(x)在m ,n上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理.2.7导数法 设函数f(x)在区间a ,b上连续，在区间（a ,b）内可导，则f(x)在a ,b上的最大值和最小值应为f(x)在（a ，b）内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.如果连续函数f(x)在区间（a ,b）内有且仅有一个极大（小）值，而没有极小（大）值，则此极大（小）值就是函数在区间a ,b上的最大（小）值.若要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数式的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视.例11.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是.分析 先求闭区间上的函数的极值，再与端点的函数值比较大小，确定最值.解 求导得 f(x)=3x2-3令f(x)=0得x=-1,x=1(舍去). 又f(-3)=-17, f(-1)=3, f(0)=1.比较得：f(x)的最大值为3，最小值为-17.故填3，-17.例12.求函数f(x)=x3-3x2+6x-2,x-1,1的最大值和最小值.解 求导得f(x) = 3x2-6x+6. 令f(x) =0，方程无解. 因为f(x) = 3x2-6x+63（x-1）2+30. 所以函数f(x)在x-1,1上是增函数. 故当x=-1时，fmin(x)=f(-1)=-12; 当x= 1时，fmax(x)=f(1)=2.注意 （1）利用导数法求函数最值的三个步骤： 求函数在（a ,b）内的极值； 求函数在端点的函数值f(a),f(b)； 比较上述极值与端点函数值的大小，既得函数的最值. （2）函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点.2.8 平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将此类函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题.例13. 已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,则的值为（ ）.A. B. C. D. 分析 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决. 1-x0,解 由题意得： x+30.所以函数的定义域为x|-3x1.两边平方得： y2=4+2 =4+2. 所以当x=-1时，y取得最大值M=2； 当x=-3或x=1时，y取得最小值m=2. 所以=. 故选C. 对于形如y=+的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题转化为函数y2=(a+b)+2 的最值问题，这只需要利用二次函数的最值即可求得.2.9 数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法，这种方法借助几何意义以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确理解、提高能力的一种重要途径，因此，在学习中我们对这种方法要细心研读、认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中. a , ab,例14. 对a ,bR,记max|a ,b|= b , ab.函数f(x)=max|x+1| , |x-2| (xR)的最小值是. 分析 本题实质上是一个分段函数的最值问题，先根据条件将函数转化为分段函数，再利用数形结合法求解.解 由|x+1|x-2|，得：（x+1）2(x-2)2, 所以x, |x+1|, x,所以 f(x)= |x-2|，x.其图像如图所示： O122 1 2 1 -1 -2xyy=| x-2 |y=| x+1| 图2由图形易知，当x=时，函数有最小值.所以f(x)min=f()=|+1|=, 故填.注意 用数形结合的方法求解最值问题，其关键是发现问题条件中所隐含的集几何意义，利用这个几何意义就可以画出图形，从而借助图形直观解决问题.如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段函数最值的方法求解.2.10 线性规划法 线性规划法，是指利用线性规划问题（一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件得解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素）的基本知识求解函数最值的方法.线性规划法求解最值问题，一般有以下步骤：（1） 由已知条件写出约束条件；（2） 画出可行域，并求出最优解；（3） 根据目标函数及最优解，求出最值.例15. 已知点P(x ,y)的坐标同时满足以下不等式：（1）x + y4；（2）yx；（3）x0.如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于，最大值等于.分析 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画出可行域，最后求出最值. x+y4, 解 由题意得：点P(x ,y)的坐标满足 yx， x0.画出可行域，如图所示：_4_2_2_4y_5_5xC BAx=1Oy=xx+y=4图3由条件得：A（2,2）, |OA|=2； B（1,3）, |OB|=； C（1,1）， |OC|=.故|OP|的最小值为，最大值为.故填，.注意 本题求解，先要把问题转化为线性规划问题，再利用线性规划方法求其最值.如已知函数x ,y满足y=,求函数的最值.可先画出可行域，即以原点为圆心，以1为半径的上半圆，这样问题就转化为求半圆上的点与点（-2，0）连线斜率的最值问题.3 求解函数最值时应注意的一些问题3.1定义域遇到求最值问题的时候，我们要切记在求解的过程中，要注意观察定义域的变化情况，在解题之前，应当先确定函数的定义域，在解题过程中，当函数变形时应注意定义域是否发生变化，如果要引入新变量就要确定这个新变量的取值范围，以免在后面的求解过程中出现错误，在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含在定义域的范围内.例16.求函数y=的最值.错误解法 将y=两边同时平方去分母得y2x2-(4y2-1)x+4y2-1=0.因为xR,所以=（4y2-1）2-4y2(4y2- 1)0.化简得：4y21所以-y故 ymin=-, ymax=.分析 这种解法错误的原因是两边平方去分母，使函数的定义域扩大了.正确解法 将y=两边同时平方去分母，得 y2x2-(4y2-1)x+4y2-1=0.因为xR,所以=（4y2-1）2-4y2(4y2- 1)0.化简得 4y21所以-y.注意到原函数的定义域是x1,则有0，x-20.于是必有 y0.所以 -y0，故ymin=-，ymax=0.3.2值域 求函数的最值，不但要对几种基本初等函数的值域非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化. 例17. 求函数y=的最值. 错误解法 原式可变形为（y-1）x2+(y+2)=0. 因为xR,所以=-4（y-1）(y+2)0. 解得 -2y1. 所以ymin=-2，ymax=1. 分析 把y=1代入y=得=1. 而这个方程无解，故y=1不在函数的值域内.事实上，由y=1-知y-2,1）故 函数y=只有最小值-2而无最大值.由此可以看出用“判别式法”求最值，有可能扩大函数的值域.3.3参变量的约束条件有一类求函数最值的问题在题设函数中含有参变量，在计算的过程中，当将问题转化为含参变量的二次函数时，如不考虑参变量的约束条件，易误入用一般情况下求函数最值的方法代替求函数在特定区间内最值的歧途.例18. 1x3, y,x+2y=4,求x2+y2的最值.错误解法 由题设1x3, y.对其分别平方得：1x29，y2.则x2+ y2.所以 （x2+y2）min=,（x2+y2）max=.分析 根据约束条件：1x3,y.要使（x2+y2）=，只有x=1且y=而x=1，y=又不满足x+2y=4。因此不是x2+y2的最小值.类似可知也不是x2+y2的最大值.错误出在上面不等式的变形不是同解变形，为了避免这类错误，一方面要尽量减少不等式之间的四则运算，另一方面对不等式进行四则运算时，要注意等号成立的条件.6正确解法 通过y=2-把原式转化为一个一元二次函数，即f(x)= x2-2x+4 (x 1,3 )，从而转化为求函数在给定区间上的最值问题.3.4判别式的运用用判别式求函数的最值时，由于各种因素，条件的互相约束，很容易出现错误，因此，用这种方法解题时应注意把握好约束条件.例19. 求函数y=的最值.错误解法 原式可化为ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0.因为sinxR, 所以=-（2y-1）2-4y(2y-1)0.即（2y+1）(2y-1)1解得 -y则ymin=-, ymax=.分析 本题错在0只保证ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0有实根.而不能保证其根是否属于-1，1.当y=-时，方程变为sin2x-4sinx+4=0.解得sinx=2不属于-1,1.因此不能立即就断定函数最小值是-，最大值是.应对其判别式取等号时的y值进行验证.事实上，因为sinx-1,1,所以1-sinx0,2-2sinx+sin2x0.即y0, 所以可知原函数最小值ymin=0，最大值由前面分析可知即为.3.5均值不等式的运用在对均值不等式的运用中，较容易出现的一些错误如下:（1）注意当且仅当这些正数a1,a2,an相等时，积（和）才能取得最大（小）值.例20. 求函数y=x2+ (x0)的最小值.错误解法 因为x0，所以x20，0，0.于是y=x2+= x2+ 3 =3所以y的最小值是3.分析 上面解法错误是没有注意到当且仅当x2=时，函数y才能取得最小值.但显然不等于，所以y不能取3.正确解法 由原函数可知导函数y=求得极值点x=又因为函数在（0,）上为减函数，在（,+）上为增函数.所以函数在点x=处取得最小值，最小值为. （2）对均值不等式中等号成立的条件生搬硬套.例21. 已知x ,y ,zR+,且+=1，求xyz的最小值,并求xyz取得最小值时的x ,y ,z的值.错误解法 因为x ,y ,zR+，所以+R+.1=+3=30,从而31，所以xyz162.当且仅当x=y=z时，上式取等号，又+=1，所以当且仅当x=y=z=6时，xyz有最小值162.分析 上面解法错误，是对均值不等式中等号成立的条件没有理解而直接套用的结果，事实上，当x=y=z=6时，xyz=63=216不等于162.正确解法 当xyz162时.即+3中，等号成立当且仅当 x=3,y=6,z=9.此时，xyz有最小值162.(3)连续进行几次不等式变形，并且各项不等式中的等号不能同时成立而造成的错误.例22. 已知x ,yR+,且+=1，求x+y的最小值.错误解法 因为x ,yR+, 所以0xy16x+y28因此x+y得最小值是8.分析 上面解法中，连续进行了两次不等变形即 x+y2,且这两次不等式中的等号不能同时成立，第一个不等式当且仅当x=y时等号成立，第二个是当且仅当=即 x=2,y=8时等号成立，因此x+y不可能等于8.事实上，题中的y依然可以由x替换，从而将x+y转化为关于x的函数：f(x)= =x+4+=x-1+5由题意知：x1,所以运用均值不等式即求得该函数的最小值，即当x-1=时取得最小值，求得x=3,y=6,符合题意，所以最小值为9.4 函数最值在实际问题中的应用例23.某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3,深为3m3,如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析 从题中分析可以得出，水池高度已知，进而问题转化为求池壁的长和宽的问题，从而确定取什么值能使总造价最低，因此涉及到两个变量，因为池壁的长和宽不可能为负数，由此我们可以想到利用均值不等式来求解.解 设底面长为xm,宽为ym,水池的总造价为Z元.根据题意得：Z=150×+120×2（3x+3y） =240000+720(x+y)由容积为4800m3 可得3xy=4800,由此，xy=1600.由均值不等式与不等式性质可得： 240000+720（x+y）240000+720×2即Z240000+720×2 =240000+720×2 =297600当且仅当x=y 即x=y=40时等号成立.所以将水池的底面设计成边长为40m的正方形时，总造价最低，最低总造价为297600元.例24某工厂2003年的纯收入为500万元，因设备老化等原因，工厂的生产能力将逐年下降，如果不对技术进行改造，从今年起预计每年将比上一年减少纯收入20万元，所以今年年初该工厂为了进行技术改造，一次性投入资金600万元，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（第一年从今年算起）的利润为500（1+）万元（n为正整数）.设从第一年起的前n年，如果该工厂不进行技术改造的累计纯收入为An万元，进行技术改造后的累计纯收入为Bn万元（须扣除技术改造资金），则从今年起该工厂至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯收入超过不进行技术改造的累计纯收入？分析 首先根据题意可写出An，Bn的表达式，可知它们都是数学中一个简单数列求和问题，然后对它们作差就可以建立一个函数关系，即可转化为数学中的函数最值问题，再利用合适的方法进行求解即可.解 根据题意可得：A n=（500-20）+（500-40）+（500-20n） =490n-10n2Bn =500(1+)+(1+)+（1+）-600 =500n-100.则Bn- An =（500n-100）-（490n-10n2） =10n2+10n-100 =10n(n+1)- -10.因为函数y=x(x+1)- -10在（0,+）上为增函数所以 当1n3时n(n+1)-1012-0； 当n4时n(n+1)-1020-100.所以当且仅当n4时BnAn.即至少需要经过4年，该工厂进行技术改造后的累计纯收入超过不进行改造的累计纯收入.由此我们我们可以总结出实际问题利用函数求最值的一般步骤：7（1） 分析实际问题中各量之间的关系，正确选择自变量和因变量， 找准等量关系，把实际问题转化为数学问题，建立函数关系式这是关键的一步；（2） 确定函数定义域，根据函数关系式，选择合适的求解方法；（3） 求出满足条件的值域范围，结合实际确定最值和最值点.结论本文简单的介绍了几种有关求函数最值问题的常见解法，以及在解题时需要注意的一些问题，尽量选择合适的解法，从而简便快速的解决问题通过一些实际问题的运用分析，解决生活中尤其是经济问题中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述介绍的十种常见方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的.有时一个问题需要多法并举，互为补充.有时一个题目又会有多种解法，函数的最值解题方法是灵活多样的，除了以上的十种，还有很多种方法，如：消元法、三角函数法、待定系数法、万能公式法等等.因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间.本文中只作了部分介绍与探讨，具体更多的还需我们更进一步的研究和总结.谢辞行文至此，我的这篇论文也快完成了，同时我的大学生活也即将走完，我的校园生活也即将结束，回顾四年来的学习经历，有辛酸也有快乐，而此时，我感到无限的欣慰.在此论文撰写过程中，要特别感谢我的指导老师周春梅老师的指导与督促，同时感谢她的谅解与包容，在整个过程中花费了周老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心的感谢！求学的历程是艰苦的但又是快乐的，感谢四年来传授我专业知识的各位老师，是你们的细心教导使我有了良好的专业课知识，这也是论文得以完成的基础，同时感谢我身边的同学以及朝夕相处的室友们，感谢你们的帮助与支持，我才能克服一个个困难解明疑惑，才使我顺利的完成了这篇论文在此表示深深的谢意！参考文献1 方晓华，吴凤香，黄宝存.函数最值问题的解法探讨J.金华职业技术学院学报，2002.（2）：1-3.2 石正华.关于函数最值问题解法的探讨J.科技资讯，2012. (8)：1-2.3 戴宝尔，李杏莲.初等方